天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期12月学生学业能力调研数学试题

静海一中2024-2025第一学期高二数学（12月） 学生学业能力调研试卷 命题人：尹海燕 审题人 ：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（17分）两部分共147分，卷面分3分，共150分。 知 识 与 技 能 学习能力（学法） 内容 空间向量与立体几何 直线 直线与圆 圆锥曲线 数列 计算能力 数形结合 转化化归 分数 37 10 70 30 60 48 39 第Ⅰ卷 基础题（共130分） 1、 选择题: 每小题5分，共40分. 1.已知数列满足：，，则（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 3. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 4．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（  ） A． B． C． D． 5.已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B．x2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－y2＝1 7．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（  ） A． B．2 C．3 D． 二、填空题：每小题5分，共30分. 9．已知为数列的前n项和，且满足，则的通项公式为 . 10.已知圆与圆外切，直线被圆所截的弦长为 . 11．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为 . 12.已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 . 13．一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，该直线与圆相交于A，两点，则 . 14. 设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 三、解答题：(本大题共4小题，共60分) 15.（13分）(1)已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 16. （15分）如图，直线垂直于梯形所在的平面，， 为线段上一点，，四边形为矩形. (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)若点到平面的距离为，求的长. 17.（15分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积． 18.（17分）求通项公式 （1）数列求通项公式； （2）在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式； （3）数列的首项为1，且前项和满足.求数列的通项公式； （4）数列满足，，求数列的通项公式； 学法题：解决数列问题的关键是求通项公式，请同学们通过解答18题归纳求通项公式的方法（至少2种） 第Ⅱ卷 提高题（共17分） 19（17分）已知A，B分别为椭圆C：(a>b>0)在轴正半轴、轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|＝. （1）求椭圆C的离心率； （2）直线l：y＝kx＋m与圆相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝，求k的值． 20. （3分）卷面分 静海一中2024-2025第一学期高二数学（12月） 参考答案 1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.D 7.B 8.C 9. 10. 11.. 12. 13. 14. 15.（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 16.（1）设，连接， 因为四边形为矩形，所以为中点， 又为中点，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的正方向分别为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系，    则 ， 设平面的法向量为：， 且，令，解得：； 设直线与平面所成角为，所以. 则直线与平面所成角的正弦值为. （3）， 设 由平面的法向量为：， 点到平面的距离为：. 解得：，且， 所以. 17.解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意可得解得 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得 x2＋mx＋m2－1＝0， 由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4， 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1. 由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋ ＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2 ＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝. 又|AB|＝ ＝·， O到直线AB的距离d＝＝， 所以S△AOB＝·|AB|·d ＝×××＝. 18.（1） （2） （3） （4） 19.(1)由题设知，A(b,0)，B(0，a)，直线AB的方程为＋＝1， 又|AB|＝＝，＝，a>b>0， 计算得出a＝2，b＝，则椭圆C的离心率为e＝＝. (2)由(1)知椭圆方程为 ＋＝1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 消去y，得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0， 直线l与椭圆相交，则Δ>0， 即48(3k2－m2＋4)>0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝. 又直线l与圆x2＋y2＝2相切， 则＝，即m2＝2(k2＋1)． 而|MN|＝ · ＝ ＝ ＝， 又|MN|＝， 所以＝， 即5k4－3k2－2＝0，解得k＝±1，且满足Δ>0，故k的值为±1. 高二数学（12月）学生学业能力调研试卷 第 1 页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$