精品解析：浙江省湖州市长兴县龙山中学共同体素养检测2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养检测（三） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 瓜熟蒂落 D. 瓮中捉鳖 2. 已知的半径为，点在圆内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 在此函数图象上 4. 如图，直线，，，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 二次函数向上平移2个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知半圆的直径为，点，是半圆上两点，连结，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示为关于的二次函数的部分图象，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 8. 如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 12 10. 已知二次函数，当时，．若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二．填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 12. 一个不透明袋子里装有2个红球和1个黑球，它们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率是__________． 13. 已知圆的半径为5，圆心角为，则圆心角所对的弧长为__________．（结果保留） 14. 如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 16. 如图，已知半径为4，弦，点是弦上一动点，点是圆弧上一点，且满足线段，过点作的垂线交于点，连结．当点在弦上移动时，点到的距离的最小值是__________． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知线段，，满足． （1）求的值． （2）当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 18. 有3张背面相同的纸牌，，，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率； （2）小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用，，表示） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于轴对称的． （2）以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出． （3）设与的周长分别为、，则__________． 20. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴正半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式． （2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连接，，． （1）求证：． （2）若，求边的长． 22. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； （2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 23. 如何设计跳长绳方案 素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳14人，摇绳2人，共计16人.图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距8米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.6米． 素材2 某队跳绳成员有8名男生和6名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米.跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，男女生跳起的高度均约为0.1米，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米． 问题解决 任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式 任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？ 任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围． 24. 如图，点是以为直径的上一点，点是上一点且，过点作与点，延长交于点，连接交于点，连接，． （1）求证：． （2）求与的数量关系． （3）若，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养检测（三） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 瓜熟蒂落 D. 瓮中捉鳖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间． 旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件， 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：B ． 2. 已知的半径为，点在圆内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键． 设点到圆心的距离为，圆的半径为，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， ∴四个选项中，只有A选项题意符合， 故选： A． 3. 下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 在此函数图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 根据二次函数的图象与性质，对每一个选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意得， A、，二次函数图象开口向下，说法错误，该选项不符合题意； B、，对称轴是直线，说法错误，该选项不符合题意； C、，顶点坐标为，说法正确，该选项符合题意； D、当时，，不在函数图象上，说法错误，该选项不符合题意． 故选： C． 4. 如图，直线，，，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，代入已知数值求解即可． 【详解】解：， ． 已知，，，代入， 可得， 解得：． 故选B． 5. 二次函数向上平移2个单位后解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象平移规律是解题关键． 直接利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”，进而得出平移后的解析式即可． 【详解】解：二次函数向上平移个单位后的解析式为， 故选：A ． 6. 如图，已知半圆的直径为，点，是半圆上两点，连结，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，得出，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆的直径为， ∴， ∵，， ∴， 故选：B ． 7. 如图所示为关于的二次函数的部分图象，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题． 利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标，再结合图象，得出y的取值大于0时，图象为x轴上方部分，即可得出自变量x的取值范围． 【详解】解：二次函数对称轴为直线，与轴交点为， ∴根据二次函数的对称性，可得到图象与轴的另一个交点坐标为， 又函数开口向下，x轴上方部分， ． 故答案为：C． 8. 如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：为的直径，于点F，如图，连接，设的半径为r， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径长是5， 故选：C． 9. 如图，点是重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例定理，中线的性质，平行四边形的判定与性质．由平行线分线段成比例定理和三角形面积公式推出与的数量关系是解题的关键． 连接、，由三角形重心的性质推出，由平行线分线段成比例定理推出，得到，由点是边的中点，得到，从而得出，最后根据平行四边形的性质求出后即可求得． 【详解】解：连接、， 是的中点，点是的重心， 、、三点共线， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选C． 10. 已知二次函数，当时，．若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，当时，．得出二次函数的开口向下，且对称轴对称轴，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，又因为，是抛物线上两点，且，列式，解出或，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，． ∴二次函数的开口向下，且对称轴， 则越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，是抛物线上两点，且， ∴， 整理得， ∴， 则或， 解得或， 故选：D． 二．填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 12. 一个不透明的袋子里装有2个红球和1个黑球，它们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用红球的个数除以球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有3个球，其中红球有2个，且每个球被摸出的概率相同， ∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 13. 已知圆的半径为5，圆心角为，则圆心角所对的弧长为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式直接计算其可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 14. 如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 【答案】2或##2或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 16. 如图，已知的半径为4，弦，点是弦上一动点，点是圆弧上一点，且满足线段，过点作的垂线交于点，连结．当点在弦上移动时，点到的距离的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，连接，，，过作于，过作于，于，即可证明，得到，再由得到，当点与重合，即时，最小，此时最小，利用垂径定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，，过作于，过作于，于，则， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点与重合，即时，最小，此时最小， 故答案为：． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知线段，，满足． （1）求的值． （2）当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】（1）的值为 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：设，， 则原式． 【小问2详解】 解：当时，， ∵是线段，的比例中项， ∴ ∵线段， ∴． 18. 有3张背面相同的纸牌，，，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率； （2）小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用，，表示） 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有2种，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得摸出两张牌的所有等可能的结果，再找出摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果，然后利用概率公式求出摸出两张牌面图形都是轴对称图形、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意，随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌，共2种， 则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，摸出两张牌共有9种等可能的结果，其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有4种、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的结果有5种， 则摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是，摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是， 因为， 所以这个游戏不公平． 【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于轴对称的． （2）以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出． （3）设与的周长分别为、，则__________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图：位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，也考查了轴对称变换． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示； 小问3详解】 解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来得到. ，相似比为.即周长比为. 故答案为： ． 20. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴正半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式． （2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使的面积为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标： （1）先求出点C的坐标，进而求出的长，再根据题意求出A、B的坐标，进而利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出的长，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵点在x轴上方，且的面积为， ∴， ∴， ∴ 在中，当，解得，， ∴或． 21. 如图，已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，折痕与边交于点，连接，，． （1）求证：． （2）若，求边的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理与折叠，三角形相似的判定和性质，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据矩形和折叠的性质易证，即可证，得出； （2）由相似三角形的性质得出，结合题意可求出，．设，则．在中，根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【小问1详解】 证明：在矩形中，， 由翻折可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴，． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 22. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； （2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）4 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； 【小问2详解】 解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 23. 如何设计跳长绳方案 素材1 图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳14人，摇绳2人，共计16人.图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距8米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.6米． 素材2 某队跳绳成员有8名男生和6名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米.跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，男女生跳起的高度均约为0.1米，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米． 问题解决 任务1 确定长绳形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式 任务2 探究站队方式 当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？ 任务3 拟定位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围． 【答案】任务1：坐标系见解析，；任务2：绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；任务3： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——跳绳问题．熟练掌握建立适当坐标系，待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，是解题的关键． 任务1：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入得，，可得． 任务2：14名队员，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，男队员站中间，女队员站两边，对称轴左侧的4位男队员所在位置横坐标分别是3.75，3.25，2.75，2.25，当时，，绳子能顺利的甩过男队员的头顶，当时，，由此可知绳子不能顺利的甩过女队员的头顶； 任务3：两路并排，一排7人，当时， ，根据左边第一位跳绳队员横坐标需不大于2.5，得． 【详解】解：任务1：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系， 由已知可知，，在抛物线上，且抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入方程得，， 解得， ∴． 任务2：14名队员，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，男队员站中间，女队员站两边， 对称轴左侧的4位男队员所在位置横坐标分别是，，，和， 当时， ， ∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶， 同理，当时， ， ∴绳子不能顺利的甩过女队员的头顶， ∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶． 任务3：两路并排，一排7人， 当时， ， 解得，， ∵左边第一位跳绳队员横坐标需不大于：， ∴． 24. 如图，点是以为直径的上一点，点是上一点且，过点作与点，延长交于点，连接交于点，连接，． （1）求证：． （2）求与的数量关系． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，结合已知条件可得出，由同弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出，再结合，即可证明 ； （2）由相似三角形的性质可得出，推出，进而可得出； （3）过点作于点，由已知条件可得出，进而可得，，得，，，设，则，结合勾股定理即可得出x的值，再利用勾股定理即可得出． 【小问1详解】 证明：∵是的直径 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 小问3详解】 解：过点作于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，由（2）知， ∴， ∴，， 由（2）知，设，则， ∴，即， 解得：, ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $