精品解析：辽宁省沈阳市于洪区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

九年级数学试卷 （本试卷共23小题满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，则配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤0 4. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 10. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 13. 如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，，，，那么的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 15. 在中，，，是锐角，将沿直线翻折，对应点分别为，，若落在直线上，且点落在线段的三等分点处，则的面积为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为2，求a的值． 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校名九年级学生进行测试，并将名学生分成甲、乙两组，每组各人．对测试成绩进行收集、整理描述和分析（测试满分为分），收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：______，______，______； （2）该校九年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 19. 某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图 实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆高度． 20. 为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本． （1）求该品牌图书销量的月平均增长率； （2）该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？ 21. 如图1，在中，，点P为边上任意一点（不与点A，B重合），过P分别作于点E，于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）如图2，连接，若是的角平分线，且，，求四边形的面积． 22. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试卷 （本试卷共23小题满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的俯视图，根据从上面看到的圆锥是一个带圆心的圆，进行解答即可． 【详解】解：圆锥从上向下看是一个带圆心的圆，故C正确． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，则配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法，方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：方程两边加得，， 即， 故选：． 3. 如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵图象在二、四象限， ∴k＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 4. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质可得，再结合四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵ 四边形 四边形 ， ， ∴， ∵，， ∴； 故选：D 5. 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0 【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点． ∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE为△ABD的中位线是解题的关键． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点、、三点坐标代入反比例函数，求出的值，比较得出答案． 本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是正确判断的前提，把点的坐标代入是常用的方法． 【详解】解：把点，，代入反比例函数得， ，，， ∴， 故选：D． 7. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 10. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的定义和性质， 先根据题意可知是的中位线，可知，再根据正方形的性质可知,进而得出，然后根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的性质，由，可得，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 13. 如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，，，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 15. 在中，，，是锐角，将沿直线翻折，对应点分别为，，若落在直线上，且点落在线段的三等分点处，则的面积为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，分情况准确画出图形，并能灵活运用相关性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，令直线分别交，于点，，过点作于点，可推出，再在两种情况下，分别求出，从而求出 进而解决问题． 【详解】解：点落在线段的三等分点处，有两种情况： 如图，，此时， 令直线分别交，于点，，过点作于点， 由折叠性质可知，，且与，与之间的距离相等， ， ， ， 在中， 由勾股定理可得， ， ； 如图，， 令直线分别交，于点，，过点作于点， 由折叠性质可知，，且与，与之间的距离相等， ， ， ， 在中， 由勾股定理可得， ， ； 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先移项、然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 所以或． 【小问2详解】 解：， ， 所以， 所以，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为2，求a值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的含义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）把代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ， ． ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为2， ∴， 解得：． 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校名九年级学生进行测试，并将名学生分成甲、乙两组，每组各人．对测试成绩进行收集、整理描述和分析（测试满分为分），收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：______，______，______； （2）该校九年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1），，； （2）估计竞赛成绩达到分及以上的人数约为人； （3）． 【解析】 【分析】从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； 计算出抽取的人中得分及以上的人的数量点总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； 运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； 【小问2详解】 解：共抽测了人，得分及以上的有人，点总人数的， 九年级人，成绩达到分及以上的有人； 【小问3详解】 解：甲组得分的有人，乙组得分的有人， 列表如下， 从表中可以看出任意抽取名同学的情况共有种，恰好一人来自甲组、一人来自乙组的有种情况， 抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 19. 某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图 实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 【答案】操场上旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 方案一：由题意知，，即，计算求解即可；方案二：证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：方案一： 由题意知，，即， 解得，， ∴的高度为； 方案二： ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的高度为． 20. 为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本． （1）求该品牌图书销量的月平均增长率； （2）该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？ 【答案】（1）该品牌图书销量的月平均增长率为 （2）该品牌图书每本的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． （1）设该品牌图书销量的月平均增长率为x，根据题意得出八月份售出图书十月份售出图书，列出方程求解即可； （2）设该品牌图书每本的售价应为y元，根据总利润=单件利润数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌图书销量月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：该品牌图书销量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌图书每本的售价应为y元， ， 解得：（舍去）， 答：该品牌图书每本的定价应为30元． 21. 如图1，在中，，点P为边上任意一点（不与点A，B重合），过P分别作于点E，于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）如图2，连接，若是的角平分线，且，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得到，结合，即可得证， （2）根据角平分线性质得到，根据正方形的判定得到，由，得到，代入求出，应用正方形面积公式，即可求解． 本题考查了矩形的判定，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形 【小问2详解】 解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：，即：解得：， ∴四边形的面积． 22. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出， （2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解， （3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， 即，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． （2）作于点， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）作于H，交于G， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 过点，交于点M， 则四边形是平行四边形，， ∵， ∴ ∴， ，，， ． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$