精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年度上学期九年级数学期中考试卷

2024—2025学年度第一学期期中检测数学 （时长：120分钟，总分：120分） 一、单选题（共8小题，每题3分共24分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 4. 某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有 种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为， 画树状图如下： 共有 种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种 ∴他们两人选取的主题不同的概率是， 故选：． 5. 若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　） A. k＞﹣ B. k≥﹣ C. k＜﹣ D. k≤﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△＞0，解得k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根， ， ，， ∴， ∴k＞． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若， ，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 7. 如图，点 是等边 的边 上的一点；下面四个条件不能判定是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知 是等边三角形， ∴， A、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、， 根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； C、， ∴，，， ∴，或者，或者， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， 两边对应成比例，其夹角不确定是否相等，不能判定两三角形相似， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； 故选：D ． 8. 如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A. 25：24 B. 16：15 C. 5：4 D. 4：3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出Rt△AHE≌Rt△CFG，再由勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答． 【详解】∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠HEF=90°， 同理四边形EFGH的其它内角都是90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴EH=FG（矩形的对边相等）， 又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°， ∴∠1=∠5（等量代换）， 同理∠5=∠7=∠8， ∴∠1=∠8， ∴Rt△AHE≌Rt△CFG， ∴AH=CF=FN， 又∵HD=HN， ∴AD=HF， 在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF==5， 又∵HE•EF=HF•EM， ∴EM=， 又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上）， ∴AB=2EM=， ∴AD：AB=5：==25：24． 故选A 【点睛】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等． 二、填空题（共5小题，每题3分共15分） 9. 一元二次方程的解为__________． 【答案】x=或x=2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可． 【详解】 当x－2=0时,x=2, 当x－2≠0时,4x=1,x=, 故答案为:x=或x=2． 【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论． 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走____________米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 11. 陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．眉县某猕猴桃果园2021年猕猴桃单位面积产量为，由于引进了新的种植技术，该果园的猕猴桃产量在逐年增加，2023年猕猴桃单位面积产量达到了．这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 设这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程求解即可， 【详解】解：设这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为 ． 根据题意，得， 解得：(不合题意，舍去)，， 答：这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为． 故答案为：． 12. 如图，在矩形 中，，，平分 交 于点 ，点 为 的中点，则线段的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形中线的有关计算，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．根据矩形和角平分线的性质可得，，由此可得，运用勾股定理可得 的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：四边形 是矩形， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， 在中，， 点 为 的中点， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形 中， ，， 、 分别是 、 边上的动点， ，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】因与 两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点 在 上是一动点，由边与边关系，只有当点 在直线 上时的和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过点 作，且连接，当点、 、 三点共线时，的最值小；如图： 四边形是平行四边形： 由点、 、 三点共线， 由四边形 是矩形． 四边形是平行四边形． 又 在中，由勾股定理得： 又∵，则， 解得∶， 在中，由勾股定理得： 又 又 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求 的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 三、解答题（共计81分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解算术平方根，立方根，乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键，先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再配方，根据直接开平方法解方程． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 17. 若，求 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．依题意，设，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 则． 18. 如图，在 中，，请你利用尺规作图，在 求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点D即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段 的垂直平分线交 于点D，连接 ，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 理由：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知 和中，有．且 和的周长之差为15厘米，求 和的周长． 【答案】 和的周长分别是 厘米和 厘米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，解二元一次方程组，设 和的周长分别是 厘米和 厘米，根据，则，通过性质可得，由，然后解方程组即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设 和的周长分别是 厘米和 厘米， ∵， ∴， ∴ 由题意可得： 由 式得 将 式代入 式得：， ∴， 将代入 式得：， 答： 和的周长分别是 厘米和 厘米． 20. 为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙两位班干部准备从A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这5个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解． （1）甲所抽取的卡片正面是C（仓颉传说）的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个讲解E（三顾茅庐）这个故事传说的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（ ）直接利用概率公式进行计算即可； （ ）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了概率公式求概率，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一共有A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说， ∴甲所抽取的卡片正面是C．仓颉传说的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有 种等可能的结果，有一个人讲解E．三顾茅庐的结果数为 种， ∴有一个人讲解E．三顾茅庐的概率为． 21. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求 的取值范围； （2）如果 是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，即，然后解不等式即可得到的范围； （2）在（1）中 的范围内可得到 的最大整数为3，则方程变为，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，解得， 的取值范围为； 【小问2详解】 的最大整数为3，则方程为：， ， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程两个不相等的实数根；当，方程两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 22. 如图，在 中，，点 从点出发，沿着 以每秒的速度向 点运动；同时点 从 点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为 秒． （1） 为何值时，； （2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时， （2）存在， 【解析】 【分析】（ ）由题可得，，，，若，则有，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （ ）由得，要使，只需，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 若，则有， ∴， 即， 解得， ∴当时，； 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 要使，只需， 即， 解得， ∴． 23. 如图，在矩形 中， ，相交于点 ，平分 交 于点 ，连接，若，，求的长． 【答案】 的长为． 【解析】 【分析】由四边形 是矩形得，，，又平分 ，则，，故有，然后证明是等边三角形，通过性质可以得出 ，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴ 的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等角对等边，等边三角形的判定与性质，勾股定理， 角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每本画册应降价4元 【解析】 【分析】（1）根据“画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本”列式即可． （2）根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去； 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题——利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 由题意可知，每天的销售量为本． 故答案为：． 【小问2详解】 由题意可得， ， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 25. 问题提出： （1）如图1，为直线上方两点，，垂足分别为为直线上一点，且点 到两点距离相等，已知：，求的长； 问题解决： （2）某市进行河滩治理，优化生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上修建一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点分别在边上，且满足．已知五边形中，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，要让人工湖形状为矩形．请问，是否存在符合设计要求的四边形人工湖若存在，求此时四边形面积及这时点 到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的长为15 （2）存在，符合设计要求的四边形面积为平方米，此时，点 到点的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和矩形的判定与性质是银题的关键． （1）设，则．根据，由勾股定理列方程求解即可． （2）设，分别求出，，， ，的长度，用 表示四边形人工湖的面积，利用一元二次方程的判别式可求解． 【详解】解：（1）设，则． ∵ ∴ ∵． 解之，得 的长为15． （2）存在，如图，过点A作于F，连接， 由题知， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形 设米，则米，米，米， ， 过点M作， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为矩形． ， ， 要使四边形为矩形，只要使， ， （舍）或，即米； 由勾股定理，得， ∴ 符合设计要求的四边形面积为平方米，此时，点 到点的距离为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中检测数学 （时长：120分钟，总分：120分） 一、单选题（共8小题，每题3分共24分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　） A. k＞﹣ B. k≥﹣ C. k＜﹣ D. k≤﹣ 6. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若， ，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 7. 如图，点 是等边 的边 上的一点；下面四个条件不能判定是（ ） A. B. C. ， D. 8. 如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A. 25：24 B. 16：15 C. 5：4 D. 4：3 二、填空题（共5小题，每题3分共15分） 9. 一元二次方程的解为__________． 10. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走____________米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 11. 陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．眉县某猕猴桃果园2021年猕猴桃单位面积产量为，由于引进了新的种植技术，该果园的猕猴桃产量在逐年增加，2023年猕猴桃单位面积产量达到了．这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为________． 12. 如图，在矩形 中，，，平分 交 于点 ，点为 的中点，则线段 的长为_________________． 13. 如图，在矩形 中， ，， 、分别是 、 边上的动点，，则的最小值为__________． 三、解答题（共计81分） 14. 计算： 15. 解方程：． 16. 解方程： 17. 若，求 18. 如图，在 中，，请你利用尺规作图，在 求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 已知 和 中，有．且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长． 20. 为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙两位班干部准备从A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了5张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这5个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解． （1）甲所抽取的卡片正面是C（仓颉传说）的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个讲解E（三顾茅庐）这个故事传说的概率． 21. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求 的取值范围； （2）如果 是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解． 22. 如图，在 中，，点 从 点出发，沿着 以每秒的速度向点运动；同时点 从点出发，沿着以每秒的速度向 点运动，设运动时间为 秒． （1） 为何值时，； （2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在矩形 中，，相交于点 ，平分 交 于点 ，连接 ，若，，求的长． 24. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 25. 问题提出： （1）如图1，为直线上方两点，，垂足分别为为直线上一点，且点 到 两点距离相等，已知：，求的长； 问题解决： （2）某市进行河滩治理，优化生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上修建一个五边形河畔公园．按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点分别在边上，且满足．已知五边形中，．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，要让人工湖形状为矩形．请问，是否存在符合设计要求的四边形人工湖若存在，求此时四边形面积及这时点 到点 的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $