精品解析：四川省威远中学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

威远中学2024级高一上学期12月月考 数学 2024.12.07 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知集合，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 4. 已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 在定义域上单调递减 D. 的值域是 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【详解】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故D错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故C正确. 故选：C. 5. 设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数式，转化为对数式，再利用对数运算公式求解. 【详解】，，，， . 故选：B 7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数，，且，则（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再逐一分析每一个选项即得解. 【详解】由题得，解得， 所以函数的图象如下图所示： 对于A、B：由图可知若，且， 则，的值可正，可负，也可以为零，故A、B错误； 对于C：当时，， 满足， ，故C错误； 对于D：， 由可得，即，故D正确； 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义及利用解析式直接判断单调性，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，A错误； 对于B，的定义域为，，该函数为奇函数， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为R，，是奇函数， 函数，均在上单调递增，则在上单调递增，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：BC 10. 如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合可变函数的定义，先求的减区间，再求的增区间，然后求出交集就可以判断选项了. 【详解】因为图象的对称轴为直线，所以在区间上单调递减， 又在和上单调递增， 的单调递减区间和的单调递增区间的交集为， 故的可变区间应该是该集合的子集，A，C符合条件. 故选：AC. 11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. ， C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，分类讨论与或两种情况，利用新函数的定义与二次函数的性质判断B，利用函数单调性的定义分析的单调性即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，， 即，而， 所以的图象不可能关于直线对称，故A错误； 对于B，因为为不大于的最大整数，所以， 当时，，则； 当或时，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以当或时，，故； 综上，，，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 即，所以在上不可能单调递增，故C错误； 对于D，取，且， 当时，； 当时，； 综上，， 又由二次函数的性质可知在上单调递减，则， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 若为偶函数，则实数__________. 【答案】4 【解析】 【分析】方法一：根据偶函数的定义即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】定义法 偶函数对任意恒成立 ． 故答案为：4． ［方法二］：利用二次函数与偶函数图象特征 因为函数是二次函数且为偶函数，所以函数图象的对称轴是，即． 故答案为：4． ［方法三］：利用极值点特征 从另一个角度来看待偶函数的图象：既然图象关于轴对称，说明该函数在处取得极值，因此是该函数的极值点，由导数性质可得，即． 故答案为：4． ［方法四］：导数的性质 因为偶函数的导函数必为奇函数，因此为偶函数为奇函数（这是一次函数），必为正比例函数． 故答案为：4． 【整体点评】方法一：从偶函数的定义出发，并结合特殊值，这样运算量很小，尤其对一些运算量较大的问题特别有效，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据偶函数和二次函数的特征求出； 方法三：利用二次函数的极值点在对称轴上求出； 方法四：根据具有奇偶性的函数的导函数奇偶性求出． 13. 已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______． 【答案】－4 【解析】 【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点. 【详解】画出两函数图像可得，函数与的交点为， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 令，解得，令，则， 若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故. 故答案为： 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. （1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果； （2）由平方可得的值，再对平方可得的值，代入即可得出答案. 【详解】（1） （2）， 16. 设全集，集合. （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集，补集与并集的概念求解； （2）由得，分为与两种情况讨论，列出不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以； 因为或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 若，即，可得，符合题意； 若，则，无解， 综上，的取值范围是. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得. (2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答. 【小问1详解】 依题意，关于的方程的两个根为1和2， 于是得，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，， （i）函数的对称轴为， 因函数在上为单调递增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是； （ii）不等式为，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或， 综上可知，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）知， 任取，设， ， 因为在上是增函数，所以，， 又，所以，从而， 所以在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，求得，然后利用奇函数的定义验证即可； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）由为奇函数，把问题转化为恒成立，根据单调性可得恒成立，利用判别式可求得结果． 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，， 又，得，解得， 所以， 因为， 所以是奇函数，符合题意. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，且恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减， 所以恒成立，即恒成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【答案】（1）最小值，最大值为；是 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. 【小问1详解】 根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. 【小问2详解】 ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2024级高一上学期12月月考 数学 2024.12.07 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 在定义域上单调递减 D. 的值域是 5. 设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，且，则（ ） A. ，， B. ，， C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（ ） A. B. C. D. 11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，.设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. ， C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 若为偶函数，则实数__________. 13. 已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______． 14. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. （1）求值：； （2）已知，求值：. 16. 设全集，集合. （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 18. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $