30.2 二次函数的图像和性质（第2课时）（教学课件）数学冀教版九年级下册

30.2二次函数的图像和性质 （第2课时） 主讲： 冀教版九年级下册 第三十章 二次函数 学习目标 1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像的性质并会应用. 3.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)与y=ax2 (a≠0)之间的联系. 旧知回顾 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 x y O y x O 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴 y轴 当x<0时，y随着x的增大而减小。 当x>0时，y随着x的增大而增大。 当x<0时,y随着x的增大而增大。 当x>0时，y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小. 新知讲授 小颖在同一个直角坐标系中，对二次函数y=x2， y=(x-3)2 和y=(x+2)2 采用如下列表、描点、连线的方式，画出了它们的的图像. 思考1：三个图像有什么相同和不同的地方？ 形状相同，位置不同 思考2：位置有什么关系？ 可以互相平移得到 新知讲授 （1）y=(x-3)2 的图像可以由y=x2的图像向右平移3个单位长度。 它的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，0） （2）y=(x+2)2的图像可以由y=x2的图像向左平移2个单位长度。 它的对称轴是直线x＝-2，顶点坐标是（-2，0） (1)y=(x-3)2 的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (2)y=(x+2)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ 问题1 阶段小结 小结： （1）二次函数y=a(x-h)2 的图像可由y=ax2的图像平移得到：当h>0时，向右平移h个单位长度；当h<0时，向左平移lhl个单位长度。 （2）抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=h,顶点坐标为（h,0） 二次函数y=a(x–h)2的图象和性质. 当h<0时,向右平移 y=ax2 y=a(x–h)2 当h>0时,向左平移 当堂练习 做一做：由函数y= -2x2的图像，分别经过怎样的平移可以得到下列函数的图像？ （1）y=-2(x+1)2 （2）y=-2(x-4)2 （3）y=-2(x- )2 解：（1）沿x轴向左平移1个单位长度。（2）沿x轴向右平移4个单位长度。（3）沿x轴向右平移 个单位长度。 新知探究 在图中的坐标系中，已经画出了二次函数y=(x-3)2的图像. （1）在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像。 （2）试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到的。 函数y=(x-3)2+1的图像可以由函数y=x2的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度。函数y=(x-3)2-3的图像可以由函数y=x2的图像先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度。 问题2 新知探究 （3）请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标. y=(x-3)2+1的图像的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，1），y=(x-3)2-3的图像的对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，-3）. 口诀：左右平移在括号，上下平移在末稍；   左加右减须牢记，上加下减错不了. 课堂练习 练习： 请说出将二次函数y=-2x2的图像，分别经过怎样的平移，可以得到函数 y= -2(x-4)2+6 和y=-2（x+ )2-4的图像，并指出图像的对称轴和顶点坐标。 函数 y= -2(x-4)2+6 的图像是由y=-2x2的图像先向右移动4个单位长度，再向上移动6个单位长度得到的，它的对称轴是直线x=4,顶点坐标是（4，6）。 函数y= -2（x+ )2-4的图像是由y=-2x2的图像先向左移动 个单位长度， 再向下移动4个单位长度得到的，它的对称轴是直线x= - ,顶点坐标是 （- ，-4）。 阶段小结 总结：二次函数 的图像和性质 y=a(x-h)²+k 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 a>0 a<0 向上 向下 直线x=h 直线x=h k） k） 在对称轴左侧,y随x增大而减小，对称轴右侧,y随x增大而增大 在对称轴左侧,y随x增大而增大，对称轴右侧,y随x增大而减小 当x= 时， 有最大值 当x= 时， 有最小值 典例精析 例1 （1）求函数的最大（或最小）值. （2）先将函数2的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，请写出平移后得到的函数表达式. 解: （1） 由-<0,知函数有最大值。 当x=-5时，函数取得最大值，y最大=-2. (2)平移后得到的图像的函数表达式为y=--(x+2)² -3. 课堂练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y= –(x-2)2+ y= (x-2)2-3 y=-(x+1)2+5 向下 直线x=2 ( 2, ) 直线x=2 直线x=-1 向下 向上 (2, -3 ) ( 1, 5) 2.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 先向 平移2个单位，再向下平移 个单位得到. 3.已知s= –(x+1)2–3，当x为 时，s取最 值为 . y=0.5x2 左 3 –1 大 –3 1.填表 自我挑战 1.如图所示的抛物线： 当x=_____时，y=0； 当x<－2或x>0时， y_____0； 当x在 _____ 范围内时，y>0； 当x=_____时，y有最大值_____. 3 0或-2 < －2 < x<0 -1 3 自我挑战 2.一条抛物线的形状与抛物线 相同,其顶点坐标是 (-1,3),写出这个抛物线的解析式. 解:设函数解析式为y=a(x-h)2+k 又∵所求抛物线顶点坐标是(-1,3),所以h=-1,k=3 ∴这个函数的解析式为:y=2(x+1)2+3 或y=-2(x+1)2+3 ∵所求抛物线的形状与y=-2(x+2)2相同, ∴a=-2或a=2. 3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点（3，0）可得 0＝a(3－1)2＋3. 解得：a=- 因此,y = -( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m. x y O 1 2 1 2 3 3 课堂小结 二次函数 的图像及性质 上下平移k个单位 左右平移h个单位 上下平移k个单位 左右平移h个单位 抛物线 有如下特点： （1）当a>0时，开口______；当a<0时，开口_______； （2）对称轴是直线______ ； （3）顶点坐标是_________ 向上 向下 x=h （h,k) 1.平移规律 2.图像性质 主讲： 感谢聆听 冀教版九年级下册 $$