30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数（教学课件）数学冀教版九年级下册

30.3 由不共线三点的坐标 确定二次函数 主讲： 冀教版九年级下册 第三十章 二次函数 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的表达式. 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 新知讲授 1.如何求一次函数的表达式？ 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 2.二次函数的表达式有哪些？ 一般式： y=ax2+bx+c （a≠0） 顶点式： y=a（x-h）2+k （a≠0） 可以用待定系数法求解二次函数吗？ 例1 已知一个二次函数的图象过点（1，3),（2，-2），（-1，1）三点，求这个函数的表达式？ 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（1，3),（2，-2），（-1，1）代入y=ax2+bx+c得 a+b+c=3， a-b+c=1， 4a+2b+c=-2， 解得 a=-2， b=1， c=4. ∴所求的二次函数的表达式是y=-2x2+2x+4. 典例精析 3.总结一下用待定系数法求二次函数的表达式有哪些步骤？与求解一次函数有什么不同？ (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 列三元一次方程组 解三元一次方程组 新知讲授 例2 已知三个点的坐标P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）. 是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ 解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： 解得 a=0，b=-4，c=-1． 因此，一次函数y＝-4x-1的图象经过P，Q，M三点．这说明没有这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点． 典例精析 4.三点要满足什么要求才能确定一个二次函数的解析式？ 二次函数y=ax2+bx+c，的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上． 5.如何判断三个点是否在一条直线上？ 求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式？ 【思考】一定要三个点么？ 新知讲授 例3：已知顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 已知顶点则可以直接设顶点式，带入顶点后，只需要再带入另一点，求解一元一次方程即可。 典例精析 1.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是_____________ y=-2(x-1)2+6 顶点坐标是（1，6） 2.二次函数的图像过点A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x=3，求二次函数的表达式. 解：∵二次函数的对称轴为直线x=3 ∴二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 解得 a=1， k=-4 ∴ 5=a(0-3)2+k， 0=a(5-3)2+k， ∴二次函数的表达式y=(x-3)2-4 h=3 课堂练习 例4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式． 10 是与x轴的交点坐标 这种已知抛物线x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入，得到关于a的一元一次方程；③将另一坐标的点代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 典例精析 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1. 最后要化为一般式 交点式不能作为最后结论 典例精析 因为题目已知三个不共线的点，因此也可以用一般式解决问题 1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图像经过点(-2，8) 和(-1，5)，求这个二次函数的表达式． 　 解:∵该图像经过点（-2,8）和（-1,5）， ∴{ 解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. 8=4a-2b， 5=a-b， 课堂检测 2.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 注 分析： y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 3 2 1 -1 3 4 5 课堂检测 3.已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示： （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标． x … -2 0 2 … y … -1 1 11 … 课堂检测 解：（1）依题意，得 解得 a=1，b=3，c=1． ∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1． （2）由（1）知：y=x2+3x+1= ， 故其顶点坐标为 ． 课堂检测 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； 解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3， ∴b＝6，∴c＝5， ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5； 挑战自我 (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． ∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称． ∵点C在对称轴左侧，且CD＝8， ∴点C的横坐标为－7， ∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)， ∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7， ∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28. 挑战自我 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标) 主讲： 感谢聆听 冀教版九年级下册 $$