第43讲 随机事件与概率（4类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第43讲 随机事件与概率 （4类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第18题，13分 用频率估计概率 2023年北京卷，第18题，13分 计算古典概型问题的概率 2022年北京卷，第18题，13分 用频率估计概率 2020年北京卷，第18题，5分 用频率估计概率 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，一般为解答题的第一问． 【备考策略】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，解频率与概率的区别； 2.会用频率估计概率，掌握概率的基本性质； 3.了解两个互斥事件的概率加法公式； 4.理解古典概型及其概率计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 【命题预测】2025年北京高考数学在本节的命题可能会继续侧重于用频率估计概率和古典概型问题的概率计算，并结合统计概率的其他内容综合考察． 知识讲解 知识点1 随机事件的概率 1、样本点和样本空间 （1）我们把随机试验中每一种可能出现的结果,称为样本点； （2）由所有样本点组成的集合称为试验的样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)． 2、事件的相关概念 3、频率与概率的关系 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 4、事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 5、概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点2 古典概型 1、古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 考点一、互斥事件与对立事件的判断 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．恰有一个红球，都是白球 C．至少有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球 【典例2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 2．（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 考点二、互斥事件与对立事件的概率计算 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（    ） A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729 【典例2】（24-25高三上·北京·开学考试）某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·内蒙古·阶段练习）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 考点三、随机事件的频率与概率 【典例1】（22-23高三上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京平谷·零模）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × × √ 217 √ √ × × 200 √ √ √ × 250 √ × √ × 100 × × × √ 133 √ × √ × (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； (2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 2．（23-24高三上·北京房山·开学考试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶， 在一个地区从消费者人群中随机抽取人进行了质量满意情况调查，得到下表: 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意人数 不满意人数 假设用频率估计概率，且所有人对鲜奶和酸奶是否满意相互独立． (1)从样本中随机抽取人，求该人对酸奶满意的概率； (2)从该地区的老年人中随机抽取人，青年人中随机抽取人，求这三人中恰好有人对鲜奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（注：） 考点四、古典概型的概率计算 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京·三模）在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？    问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 ． 1．（23-24高三下·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·北京海淀·模拟预测）甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则的概率为 （用最简分数表示） 1．（23-24高三上·北京·开学考试）有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·北京海淀·二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 5．（24-25高三上·上海松江·期末）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； (2)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 1．（23-24高三上·北京·期中）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（    ） A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较 2．（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 得分 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． (1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； (2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 3．（23-24高三下·全国·模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图： (1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率； (2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率. 4．（23-24高三下·北京·三模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 5．（23-24高三上·北京东城·期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试是否通过相互独立. (1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； (2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； (3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 3．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 4．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 5．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 6．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第43讲 随机事件与概率 （4类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第18题，13分 用频率估计概率 2023年北京卷，第18题，13分 计算古典概型问题的概率 2022年北京卷，第18题，13分 用频率估计概率 2020年北京卷，第18题，5分 用频率估计概率 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，一般为解答题的第一问． 【备考策略】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，解频率与概率的区别； 2.会用频率估计概率，掌握概率的基本性质； 3.了解两个互斥事件的概率加法公式； 4.理解古典概型及其概率计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 【命题预测】2025年北京高考数学在本节的命题可能会继续侧重于用频率估计概率和古典概型问题的概率计算，并结合统计概率的其他内容综合考察． 知识讲解 知识点1 随机事件的概率 1、样本点和样本空间 （1）我们把随机试验中每一种可能出现的结果,称为样本点； （2）由所有样本点组成的集合称为试验的样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)． 2、事件的相关概念 3、频率与概率的关系 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 4、事件的关系与运算 （1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． （2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． （3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． （4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． （5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥； 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． 5、概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点2 古典概型 1、古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 考点一、互斥事件与对立事件的判断 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个红球，至少有一个白球 B．恰有一个红球，都是白球 C．至少有一个红球，都是白球 D．至多有一个红球，都是红球 【答案】B 【解析】由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球． 易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件； 而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．故选B. 【典例2】（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生， 即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，故选：B. 1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【解析】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥.故选：D 2．（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【解析】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b， 则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 考点二、互斥事件与对立事件的概率计算 【典例1】（24-25高三上·北京·开学考试）如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（    ） A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729 【答案】B 【解析】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率， 开关3正常工作的概率， 故该系统正常工作的概率, 所以该系统的可靠性为.故选：B. 【典例2】（24-25高三上·北京·开学考试）某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该地区居民血型的分布为型型型型.， 能为型的病人输血的有型和型， 所以能为该病人输血的概率为，故选：C. 1．（23-24高三上·内蒙古·阶段练习）已知事件A与事件互为对立事件，且，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【解析】因为事件A与事件互为对立事件， 所以，故选：C. 2．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 又，所以， 所以.故选：D. 考点三、随机事件的频率与概率 【典例1】（22-23高三上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】B 【解析】设夹谷石，则，所以， 所以这批米内夹谷约为石，故选B. 【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.故选：B 1．（23-24高三下·北京平谷·零模）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × × √ 217 √ √ × × 200 √ √ √ × 250 √ × √ × 100 × × × √ 133 √ × √ × (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； (2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 【答案】(1);(2)0.1176;(3)丙的可能性最大 【解析】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）. 所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为． （2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品． 从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）； 顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品（位）； 所以可估计为，可估计为，可估计为． 依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品， 1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为： ． 因此所求的概率可估计为0.1176． （3）因为在这1000位顾客中， 顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为； 顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为． 所以该顾客购买丙的可能性最大. 2．（23-24高三上·北京房山·开学考试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶， 在一个地区从消费者人群中随机抽取人进行了质量满意情况调查，得到下表: 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意人数 不满意人数 假设用频率估计概率，且所有人对鲜奶和酸奶是否满意相互独立． (1)从样本中随机抽取人，求该人对酸奶满意的概率； (2)从该地区的老年人中随机抽取人，青年人中随机抽取人，求这三人中恰好有人对鲜奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（注：） 【答案】(1);(2);(3)青年人. 【解析】（1）设“这个人对酸奶满意”事件为，总人数为人， 共抽取了人对酸奶满意， 所以. （2）由样本的频率估计总体的概率，由已知可得 抽取的老年人对鲜奶满意的概率为， 抽取的青年人对鲜奶满意的概率为， 设“这三人中恰好有人对鲜奶满意”为事件，则. 所以这三人中恰有人对鲜奶满意的概率为. （3）青年人. 青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高， 则人数提高最多，则整体对鲜奶的满意度会大幅提高. 考点四、古典概型的概率计算 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·北京·三模）在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？    问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 ． 【答案】5% 【解析】根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为；其阳历生日日期是偶数的概率也是， 所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有人， 所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人； 所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为人， 由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为． 故答案为：5%. 1．（23-24高三下·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为.故选：B. 2．（22-23高三下·北京海淀·模拟预测）甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则的概率为 （用最简分数表示） 【答案】 【解析】甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子， 设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为， 则基本事件总数， 掷出的点数满足包含的基本事件有： ， ， 共30个， ∴掷出的点数满足的概率为． 故答案为：． 1．（23-24高三上·北京·开学考试）有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得恰有一名男生的概率为：.故选：A 2．（22-23高三下·北京海淀·二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点， 故第代芯片的产品良率为.故选：C 2．（23-24高三下·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种， 科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为.故选：D. 4．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（    ） A．抛一枚硬币，正面朝上的概率； B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率； C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率； D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率． 【答案】D 【解析】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率， 选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； 选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意； 选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为， 故此选项符合题意；故选：D 5．（24-25高三上·上海松江·期末）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1、2、3、4、5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： 1 2 3 4 5 (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值； (2)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为、、，等级系数为5的2件日用品记为、，现从、、、、这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 【答案】(1)，，；(2)所有可能的结果详见解析；概率为． 【解析】（1）因为等级系数为4的恰有3件，所以； 等级系数为5的恰有2件，所以； 因为，所以. 故，，. （2）从、、、、这5件日用品中任取两件，所有可能得结果有： ，，，，，，，，， 共10种情况. 这两件日用品的等级系数恰好相等的结果有：，，，，共4个. 因为每种结果出现的可能性相同，所以这两件日用品的等级系数恰好相等的概率为：. 1．（23-24高三上·北京·期中）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（    ） A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较 【答案】A 【解析】设三门考试课程考试通过的事件为，相应的概率为， 则考试三门课程，至少有两门及格的事件为， 其概率为， 设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为，则, 又由 ， 所以，即用方案一的概率大于用方案二的概率.故选：A. 2．（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 得分 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． (1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； (2)若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 【答案】(1)，；(2)；(3)次 【解析】（1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为， 甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. （2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为. 设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分” 甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是. 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 区分区分，概率估计为， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为. （3）甲在区投篮一次得分的期望估计是， 甲在区投篮一次得分的期望估计是， 设甲在区投篮次，则甲在区投篮次， 则总的期望值估计为，解得， 则甲选择在区投篮的次数最多是次． 3．（23-24高三下·全国·模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图： (1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率； (2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据统计数据可得2024年元旦及其前后7天中， 共有3天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”， 若7天中任取1天，则这天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为. （2）根据统计数据得2024年元旦及其前后7天中， 交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数共有3天， 记作A，B，C，其余4天记作a，b，c，d， 从7天中任取2天含有的基本事件有，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共21个； 其中都比2023年同日TPI低包含的基本事件有，，，，，，共6个， 故所求概率为. 4．（23-24高三下·北京·三模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)140；(2)；(3) 【解析】（1）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”， 则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为； （3），， ， 因为，所以. 5．（23-24高三上·北京东城·期末）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人 30人 60人 40人 第三次 80人 20人 人 人 假设每次考试是否通过相互独立. (1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率； (2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率； (3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果） 的值 83 88 93 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，， 记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，， 则，， 从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生， 估计这两位考生都通过考试的概率为； （2），， ， 小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为 ； （3）2022年考生成绩合格的概率为 , 2023年考生成绩合格的概率为， 要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率， 则，解得. 故的最小值为. 1．（2024·全国·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.故选：B 2．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 3．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 4．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)；(3)不变 【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌， 不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次， 不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 5．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙 【解析】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩. 比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为. 并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 6．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（Ⅱ）；（Ⅲ） 【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为， 该校女生支持方案一的概率为； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况， （1）仅有两个男生支持方案一， （2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一， 所以3人中恰有2人支持方案一概率为：; （Ⅲ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$