专题02 实数（12大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题02 实数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一 平方根及其相关运用 题型二 立方根及其相关运用 题型三 平方根和立方根的实际应用 题型四 无理数的大小估算 题型五 实数的相关概念与运算 题型六 二次根式相关概念与性质 题型七 最简二次根式与同类二次根式 题型八 二次根式的大小比较 题型九 二次根式的混合运算 题型十 分母（分子）有理化的运用 题型十一 复合二次根式的化简 题型十二 二次根式的应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 平方根及其相关运用 ⭐技巧积累与运用 1.算术平方根：如果（x≥0），那么这个数x叫做的算术平方根，即：x=。 2.平方根：如果，那么叫做的平方根，即：x=。 3.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列说法错误的是（   ） A．的平方根为 B．是9的平方根 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、的平方根为，故不正确，故本选项符合题意； B、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意；C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意．故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0，∴，∴，故选：B 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知是整数，则正整数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据题意可得是一个完全平方数，再结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：∵是整数，∴是一个完全平方数，∴正整数n的最小值为6，故选：C． 立方根及其相关运用 ⭐技巧积累与运用 1.一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算。 2.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同。 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数。 3.立方根的性质： 4.被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。 1．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（）的算术平方根是，a的立方根是.先求出，再求出2的立方根即可． 【详解】解：∵，∴的立方根是，故答案为． 2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵，∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，．根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可． 【详解】解：∵的立方根是，∴，解得：， 又∵的算术平方根是，∴， 又∵，解得，∴． 4．（24-25八年级上·成都市·期中）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握利用平方根解方程和立方根的实际应用是解题的关键：利用平方根解方程的方法：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，只有一个平方根，负数没有平方根；在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；利用立方根的概念解方程的方法：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，的立方根是；在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值；在求立方根时，常需转化为的形式，也常常将中的看作一个整体来处理． （1）在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值； （2）在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值． 【详解】（1）解：，整理，得：， 开平方，得：，，，； （2）解：，整理，得：， 开立方，得：， ． 平方根和立方根的实际应用 ⭐技巧积累与运用 ①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。 ②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用正方形的面积和体积公式求出a，b的值，然后再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵边长为a的正方形面积为256，∴，∵，∴， ∵棱长为b的正方体体积为，∴，∴，∴，故答案为：20． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）某饰品店老板想用一块边长为20cm的正方形包装纸裁剪一块面积为的长方形包装纸（裁痕平行于正方形边长），且长方形包装纸的长、宽之比为，请你用所学的知识判断是否可以裁剪出来？并说明理由． 【答案】不能裁剪出符合要求的长方形包装纸，见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 设长方形包装纸的长、宽分别为、，根据算术平方根求解比较即可得出结果． 【详解】解：不可以裁剪出来．理由：设长方形包装纸的长、宽分别为、， 则：．即，解得：（负值舍去）． 长方形的长为．不能裁剪出符合要求的长方形包装纸． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；边长为； （3）不可行，理由如下：设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则，∴（负值舍去），∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 无理数的大小估算 ⭐技巧积累与运用 估算法：（1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小。 例如：，则；，则。 常见实数的估算值：，，。 1．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）“广州塔”以其独特的几何美学吸引了全世界的关注，其设计充满了曲线与几何的融合，展现了建筑美学理念．建筑设计师在创作过程中，运用了黄金分割比例，使建筑在视觉上更具协调性和美感．黄金分割的比值约为，这个比值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据代入计算即可． 【详解】解：∵，∴，故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及求代数式的值，求得、的值是解题的关键．依据被开放数越大对应的算术平方根越大，可求得、的值，然后再利用有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：∵，∴，∴ ∵，是两个连续整数，若，∴，，∴．故选：C． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．先得出，， 然后再根据实数与数轴可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴A. B两点之间表示整数的点共有：2，3，4，5一共有4个．故选：B 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题：(1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分；同理估算无理数的大小，从而得出的大小，即可得出整数部分；（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分，同理估算无理数的大小，即可得出整数部分，再代入化简即可得出答案． 【详解】（1）解：，，的整数部分是，的小数部分是， ，，，的整数部分是，故答案为：，； （2）解：，，的整数部分是，的小数部分是，即， ，，的整数部分为，即，． 实数的相关概念与运算 ⭐技巧积累与运用 1.无理数常见类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数。 2.每个实数都可以用数轴上的一个点来表示：反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一 对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 3.在实数范围内，相反数、倒数绝对值的意义和有理数范围内的意义完全相同。 4.实数和有理数一样， 可进行加、减、乘、除乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据“不能用整数或整数的比表示的数”是无理数判断各项，即可得出答案． 【详解】A．是分数，不是无理数，故该选项符合题意； B．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； C．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； D．是无限不循环小数，不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意；故选：A． 2．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数； ④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念和性质，熟练掌握有理数、无理数的概念和性质是解题的关键． 根据有理数、无理数的概念和性质进行分析，判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①有理数与无理数的差不一定是有理数，例如：，故该项不正确； ②无限小数不都是无理数，无限循环小数是有理数，故该项不正确； ③无理数都是无限小数，故该项正确； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，故该项正确； ⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，0不是无理数，故该项不正确； 故正确的个数有2个；故选：A 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数据向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是，这说明无理数可以用数轴上的点表示出来．则下列说法正确的为（    ） A．数轴上只能表示有理数 B．数轴上只能表示无理数 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，掌握任何一个实数都可以用数轴上的点来表示成为解题的关键． 根据题意，结合数轴的特点即可解答． 【详解】解：A. 数轴上不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，故A选项错误，不符合题意； B. 数轴上不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，故B选项错误，不符合题意； C. 实数与数轴上的点一一对应，，故B选项错误，不符合题意； D. 实数与数轴上的点一一对应，故D选项正确，符合题意．故选：D． 4．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的立方根的相反数为 ，的平方根的绝对值为 ，的倒数为 ． 【答案】 4 2 【分析】此题主要考查了立方根的定义、平方根的定义、倒数、相反数、绝对值的定义，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用立方根的定义、平方根的定义、倒数、相反数、绝对值的定义分别得出答案即可． 【详解】解：∵，∴的立方根为，相反数为4； 的平方根为，的绝对值为2； ∵，∴的倒数是，故答案为：4 ；2；． 5．（2024·北京·模拟预测）从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 【答案】问题一：4更大；问题二：是无理数；问题三：是正整数；问题四：无理数比有理数“多”，理由见解析 【分析】本题考查了实数比较大小，有理数，无理数，正整数，问题一：计算出圆周长与直径的比值直接与4比较大小即可；问题二：根据无理数的概念，开立方开不尽的数即可判断；问题三：可以不妨取计算进行判断；问题四：通过研究两个有理数之间可以找到无数个无理数来进行判断． 【详解】解：问题一：圆周长与直径的比值为：， ，圆周长与直径的比值与4比较，4更大； 问题二：开立方，开不尽，故是无理数， 问题三：均为正整数，且，不妨取， ，为正整数，是正整数； 问题四：在实数轴上，有理数和无理数都是密集分布的，但有理数的数量是可数的，无理数的数量是“不可数”的，即无理数的数量比有理数的数量“多”，这里的“多”是从“可数”与“不可数”来比较的． 二次根式相关概念与性质 ⭐技巧积累与运用 1）二次根式：形如叫做二次根式 2）二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0） 注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式 ② 不一定无意义。当a≤0时，则-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负。 3）平方根的性质 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，对每个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意； D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：B． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则下列二次根式一定有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵，，，故选：C． 3．（24-25八年级上·成都·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义，∴，∴，∴， ∴，即， ∴，∴，故选：B． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ，， ，，， ，，， ．故答案为：． 最简二次根式与同类二次根式 ⭐技巧积累与运用 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不 含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并． 1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）下列式子中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 【详解】解：A、，因此选项A不符合题意； B、的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，因此是最简二次根式，故选项B符合题意； C、，因此选项C不符合题意；D、，因此选项D不符合题意；故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，将各式化成最简二次根式，被开方数相同的即可以合并，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，∴能与合并的是，故选：． 3．（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，，∵与最简二次根式可以合并，∴，∴， 故答案为：1． 二次根式的大小比较 ⭐技巧积累与运用 对于二次根式的大小比较，常用以下几种方法：平方法、作差法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、倒数法、特殊值法及定义法等。 平方法：主要针对一些二次根式的和或者差，不能通过观察，常常先需要平方，将其化为整数再比较大小。 作差法：若大数减去小数，则差大于0，若小数减去大数，则差小于0。 作商法：若被除数小于除数，则商小于1，若被除数大于除数，则商大于1。 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上知识点．根据勾股定理得出三角形的三边长，再利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：根据图象得，画出的三角形的三边长分别为：， 根据三角形的三边关系可得：，故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： 2（填“>，<或=”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较．运用作差法比较即可． 【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据被开方数越大，二次根式越大直接比较即可得到答案； 【详解】解：∵，∴，∴； ∵，，∴，∴； ∵，∴．故答案为：． 二次根式的混合运算 ⭐技巧积累与运用 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键。 1．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解； 【详解】解∶ ，去分母，，移项，， 两边平方，，整理，，故答案为∶． 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知 (1)①求代数式的值；②先化简，再求值：． (2)若的小数部分为的整数部分为．化简求值：． 【答案】(1)①；②2(2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，无理数的估算： （1）①先分母有理化得到，，则，，再根据进行求解即可；②先化简原式得到，再代值计算即可； （2）先求出，进而根据无理数的估算方法求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴； ②； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，， ∵的小数部分为的整数部分为，∴， ∴ ． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【分析】（）先由二次根式的乘法和除法运算，然后合并即可；（）根据二次根式的乘法运算，然后合并即可；（）先化简绝对值，计算二次根式的乘法，通过二次根式的性质化简，然后合并即可； （）利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可； （）先通过二次根式的性质化简，再算二次根式除法运算即可； 本题考查了二次根式的运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 分母（分子）有理化的运用 ⭐技巧积累与运用 分子有理化与分母有理化：在对分子或分母变形时，主要用到平方差公式来进行的。 1）首先，将分子和分母各自简化为最简二次根式，确保没有多余的根式因子。 2）然后，关键步骤是找到分母的有理化因式。所谓有理化因式，指的是两个含有二次根式的代数式，它们相乘后的结果中不含有二次根式。 3）接下来，将分子乘以分母的有理化因式，目的是消去分母中的根式部分，使得最终结果只有有理数或最简二次根式的形式。 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： (3)和的值哪个较大，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算：（1）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可；（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可；（3）根据，，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，，且， ∴，∴． 2．（24-25九年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】（1）的有理化因式是________．（2）后分母有理化的结果为________． 任务：(1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小．(3)计算：． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简．（1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可；（3）利用分母有理化计算即可． 【详解】（1）解： ；． 的有理化因式是；后分母有理化的结果为． （2），． ，． （3）． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．如：； 理解应用：（1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用：（3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵，∴的有理化因式是， ∵，∴将分母有理化得，故答案为：，； （2） ； （3），理由如下：由题意得：，， ∵，∴． 复合二次根式的化简 ⭐技巧积累与运用 化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】；； 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1），故答案为：； （2）， （3）， 又，∴，上式，，故方程为，解得：． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，，所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题：(1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）；(3)化简：． 【答案】(1)①；②(2)(3)1 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化：（1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可；（2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，，∴； ②； （2）解：解： ∵，，∴，， ∴．故答案为：； （3）解： ． 二次根式的应用 ⭐技巧积累与运用 注意题目中的隐含条件‌：在解决二次根式实际应用问题时，还需要特别注意题目中的隐含条件。这些隐含条件可能是对被开方数的限制、对根的个数的限制等。在解题时，要认真审题，充分挖掘这些隐含条件，以免造成解题错误‌。 1．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积；(2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______；(3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1)(2)(3)5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）据矩形面积公式列式计算即可；（3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：，∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为：； （3）解：∵，又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【答案】(1)，；，；，(2)(3)证明见解析 【分析】（）把的值分别代入计算即可求解；（）根据（）所得结果即可判断求解； （）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证； 本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，，故答案为：，； 当时，，，故答案为：，； 当时，，；故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，，故答案为：； （3）证明：∵，， ∴，∴，∵，，∴． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）“二次根式”与“乘法公式”的碰撞往往很精妙，例如：①借助完全平方公式求的算术平方根，∵，∴；②利用完全平方公式求（）的最小值，当，时，有，∴，即，∵，∴，∴的最小值为2． 根据以上信息解决以下问题：(1)化简的值为_____；当时，的最小值为_____； (2)在中，，，，那么边的长为多少？（结果化成最简）． (3)如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)，(2)(3)75 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，根据二次根式的性质化简．（1）参考阅读材料的例题过程，借助完全平方公式求的算术平方根即可；当时，，，则可以按公式（当且仅当时取等号）来计算；（2）由勾股定理求出，再借助完全平方公式化简二次根式即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）解：∵，∴； ∵当，时，有，，即， ∴当时，，，则有， ∴，∴的最小值为，故答案为：，； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵，∴； （3）解：设，已知，，则由等高三角形可知：， ，，四边形面积 当且仅当时，取等号，四边形面积的最小值为75． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的性质，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 利用算术平方根及立方根一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意；B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项错误，不符合题意；D、，本选项正确，符合题意．故选：D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）根据表中的数据估计的十分位上的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算是解题的关键．根据题意得出，可知，即可得出答案． 【详解】解：∵，∴，∴的十分位上的数字是，故选：C． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列关于的叙述中，错误的是（   ）． A．面积为5的正方形的边长为 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是： 【答案】D 【分析】运用算术平方根、数轴和无理数的估算知识进行逐一辨别、求解．此题考查了算术平方根、实数与数轴，无理数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为，选项A不符合题意； 是无理数，选项B不符合题意； 在数轴上存在表示的一个点，选项C不符合题意； 的小数部分是，选项D符合题意，故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①最小的负整数是；                ②实数与数轴上的点一一对应； ③当时，成立；        ④两个无理数的和仍为无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及实数的相关概念，实数的运算，绝对值的性质，熟知相关概念和性质是解本题的关键． 【详解】解：①最大的负整数是，故原说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确； ③当时，成立，故原说法错误； ④两个无理数的和可能为有理数，例如，故原说法错误； 故正确的结论有：②，共1个，故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意；故选：D ． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由数轴可知，，，则，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，，∴， ∴，故答案为：． 7．（23-24九年级上·重庆北碚·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，，解得：，，∴．故答案为：12． 8．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：(1)当时，化简：______；(2)若等式成立，则a的取值范围是______；(3)若，求a的值． 【答案】(1)4(2)(3)或 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可； （2）分，和三种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵，∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意；∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：；综上：或． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 【答案】(1)，图见解析；(2)，图见解析；(3)． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数．根据面积的公式可知：面积为的正方形的边长为，在数轴上构造直角边长为的等腰直角三角形，以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为，把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是；在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，这一点在点的左侧，根据两点的位置关系比较两数的大小． 【详解】（1）解：面积为的正方形的边长为，点表示的数是， 如下图所示，在数轴上作直角边长为的等腰直角三角形， 以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为，故答案为：； （2）解：把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是，在数轴上表示点如下图所示，故答案为：； （3）解：如下图所示，在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形， 以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为， 这一点在点的左侧，． 10．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____；(2)若，求的“麓外区间”． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．（1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可． 【详解】（1）∵，∴， 即：无理数的“麓外区间”是；故答案为：； （2）∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴的“麓外区间”为． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一； 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵，∴， 即，∴的整数部分为2，∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得．∴． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ； (2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的运算．（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到，确定、的值，再代入计算即可；（3）按照材料二所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，即， 的整数部分为5，的小数部分为，故答案为：； （2）解：，， 的整数部分是1，小数部分为，即， ，，， 的整数部分是1，小数部分为，即， ，即； （3）解：面积为127的正方形的边长是，且． 设，其中，画出边长为的正方形，如图所示： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得，解得， ，即． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题：(1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)(4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式；（1）根据有理化因式的定义即可解决问题；（2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题；（3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵∴ 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：∵，∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数，∴∴ ∴的立方根值为，故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，；…，每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0． ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个． ③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先逐步操作前几次，找到规律，再计算即可．本题考查二次根式加减，掌握相应运算法则是关键． 【详解】解：第1次操作，得到二次根式串：，，； 第2次操作，得到二次根式串：，，，； 第3次操作，得到二次根式串：，，，，； 第4次操作，得到二次根式串：，，，，，； 第5次操作，得到二次根式串：，，，，，，； 第6次操作，得到二次根式串：，，，，，，，； 第7次操作，得到二次根式串：，，，，，，，，；， ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和为：，故①正确；②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有：，，，，，，共6个，故②错误；③归纳可得：以上二次根式串每六个一循环，之和为0， ，第2024次操作后得到的整式中各项之和与第2次操作后得到整式串之和相等， 这个和为：，故③正确．∴正确的个数为2个．故选：B． 3．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，∴负数a没有偶数次方根，∴A选项的结论不符合题意； ∵,∴，故B选项的结论不符合题意；任何实数a都有奇数次方根， ∵，∴，当时，，当时，， ∴C选项的结论不符合题意； ∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小，∴D选项的结论符合题意，故选：D． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，，∴， 当时，，∴， 由题意知，，， ∴ ∴， ∴， ∵为整数，∴或，由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； ∵，∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为，故答案为：，． 5．（24-25八年级上·山西临汾·期中）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对进行如下操作： ，即对只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让变为2，需进行的操作次数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目中的运算过程计算即可． 【详解】， 要想让变为2，需进行的操作次数为4．故答案为：4． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【观察发现】∵． ∴； ∵，∴． 【初步探索】（1）化简：_____；（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得________，________； （3）若，且，均为正整数，求的值； 【解决问题】（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）： 型号 长 宽 高 型 型 型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4），两种型号的包装纸箱符合条件．应选择型号包装纸箱． 【分析】本题主要考查二次计算与化简与应用，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可；（3）将所给式子两边平方求解即可；（4）先判断，两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可 【详解】解：（1），故答案为：； （2）∵，∴， ∵，，，均为正整数，∴，故答案为：，；   （3）∵，∴，    ∴，∴，  ∴； （4）底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，，∴，C两种型号的包装纸箱符合条件． B型号的包装纸箱的体积为：，C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， 所以应选择C型号包装纸箱． 7．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方．（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴．∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设， m、n是连续的正整数，∴； ∵，∴．∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，，∴，∴， ∴，∴p一定是偶数． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(3)计算：． 【答案】(1)2(2)(3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且，∴； （2）解：∵∴， 化简后两边同时平方得：，∴，经检验：是原方程的解； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一 平方根及其相关运用 题型二 立方根及其相关运用 题型三 平方根和立方根的实际应用 题型四 无理数的大小估算 题型五 实数的相关概念与运算 题型六 二次根式相关概念与性质 题型七 最简二次根式与同类二次根式 题型八 二次根式的大小比较 题型九 二次根式的混合运算 题型十 分母（分子）有理化的运用 题型十一 复合二次根式的化简 题型十二 二次根式的应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 平方根及其相关运用 ⭐技巧积累与运用 1.算术平方根：如果（x≥0），那么这个数x叫做的算术平方根，即：x=。 2.平方根：如果，那么叫做的平方根，即：x=。 3.平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列说法错误的是（   ） A．的平方根为 B．是9的平方根 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 2．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知是整数，则正整数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 立方根及其相关运用 ⭐技巧积累与运用 1.一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算。 2.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同。 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数。 3.立方根的性质： 4.被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。 1．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）的立方根是 ． 2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 3．（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ． 4．（24-25八年级上·成都市·期中）解方程：(1)；(2)． 平方根和立方根的实际应用 ⭐技巧积累与运用 ①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。 ②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）某饰品店老板想用一块边长为20cm的正方形包装纸裁剪一块面积为的长方形包装纸（裁痕平行于正方形边长），且长方形包装纸的长、宽之比为，请你用所学的知识判断是否可以裁剪出来？并说明理由． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行． 无理数的大小估算 ⭐技巧积累与运用 估算法：（1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小。 例如：，则；，则。 常见实数的估算值：，，。 1．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）“广州塔”以其独特的几何美学吸引了全世界的关注，其设计充满了曲线与几何的融合，展现了建筑美学理念．建筑设计师在创作过程中，运用了黄金分割比例，使建筑在视觉上更具协调性和美感．黄金分割的比值约为，这个比值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点表示的数分别为和，则，两点之间表示整数的点共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题：(1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 实数的相关概念与运算 ⭐技巧积累与运用 1.无理数常见类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数。 2.每个实数都可以用数轴上的一个点来表示：反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一 对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 3.在实数范围内，相反数、倒数绝对值的意义和有理数范围内的意义完全相同。 4.实数和有理数一样， 可进行加、减、乘、除乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数； ④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数据向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是，这说明无理数可以用数轴上的点表示出来．则下列说法正确的为（    ） A．数轴上只能表示有理数 B．数轴上只能表示无理数 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．实数与数轴上的点一一对应 4．（24-25八年级上·江西吉安·期中）的立方根的相反数为 ，的平方根的绝对值为 ，的倒数为 ． 5．（2024·北京·模拟预测）从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 二次根式相关概念与性质 ⭐技巧积累与运用 1）二次根式：形如叫做二次根式 2）二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数（a≥0） 注：①a仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式 ② 不一定无意义。当a≤0时，则-a≥0，有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负。 3）平方根的性质 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，则下列二次根式一定有意义的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·成都·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 最简二次根式与同类二次根式 ⭐技巧积累与运用 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不 含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并． 1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）下列式子中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 二次根式的大小比较 ⭐技巧积累与运用 对于二次根式的大小比较，常用以下几种方法：平方法、作差法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、倒数法、特殊值法及定义法等。 平方法：主要针对一些二次根式的和或者差，不能通过观察，常常先需要平方，将其化为整数再比较大小。 作差法：若大数减去小数，则差大于0，若小数减去大数，则差小于0。 作商法：若被除数小于除数，则商小于1，若被除数大于除数，则商大于1。 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： 2（填“>，<或=”） 3．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）比较大小： 2； ； ． 二次根式的混合运算 ⭐技巧积累与运用 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键。 1．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， 则的还原方程是 ． 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知 (1)①求代数式的值；②先化简，再求值：． (2)若的小数部分为的整数部分为．化简求值：． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 分母（分子）有理化的运用 ⭐技巧积累与运用 分子有理化与分母有理化：在对分子或分母变形时，主要用到平方差公式来进行的。 1）首先，将分子和分母各自简化为最简二次根式，确保没有多余的根式因子。 2）然后，关键步骤是找到分母的有理化因式。所谓有理化因式，指的是两个含有二次根式的代数式，它们相乘后的结果中不含有二次根式。 3）接下来，将分子乘以分母的有理化因式，目的是消去分母中的根式部分，使得最终结果只有有理数或最简二次根式的形式。 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程，请写出_____； (2)利用上面的解法，请化简： (3)和的值哪个较大，请说明理由． 2．（24-25九年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】（1）的有理化因式是________．（2）后分母有理化的结果为________． 任务：(1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小．(3)计算：． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．如：； 理解应用：（1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用：（3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 复合二次根式的化简 ⭐技巧积累与运用 化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，，所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题：(1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）；(3)化简：． 二次根式的应用 ⭐技巧积累与运用 注意题目中的隐含条件‌：在解决二次根式实际应用问题时，还需要特别注意题目中的隐含条件。这些隐含条件可能是对被开方数的限制、对根的个数的限制等。在解题时，要认真审题，充分挖掘这些隐含条件，以免造成解题错误‌。 1．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积；(2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______；(3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）“二次根式”与“乘法公式”的碰撞往往很精妙，例如：①借助完全平方公式求的算术平方根，∵，∴；②利用完全平方公式求（）的最小值，当，时，有，∴，即，∵，∴，∴的最小值为2． 根据以上信息解决以下问题：(1)化简的值为_____；当时，的最小值为_____； (2)在中，，，，那么边的长为多少？（结果化成最简）． (3)如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）根据表中的数据估计的十分位上的数字是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列关于的叙述中，错误的是（   ）． A．面积为5的正方形的边长为 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是： 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①最小的负整数是；                ②实数与数轴上的点一一对应； ③当时，成立；        ④两个无理数的和仍为无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 7．（23-24九年级上·重庆北碚·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 8．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：(1)当时，化简：______；(2)若等式成立，则a的取值范围是______；(3)若，求a的值． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 10．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____；(2)若，求的“麓外区间”． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一； 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵，∴， 即，∴的整数部分为2，∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得．∴． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ； (2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题：(1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，；…，每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0． ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个． ③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 4．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 5．（24-25八年级上·山西临汾·期中）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对进行如下操作： ，即对只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让变为2，需进行的操作次数为 ． 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）【观察发现】∵． ∴； ∵，∴． 【初步探索】（1）化简：_____；（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得________，________； （3）若，且，均为正整数，求的值； 【解决问题】（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）： 型号 长 宽 高 型 型 型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 7．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方．（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴．∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；(3)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$