专题02 有理数及其运算（9大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题02 有理数及其运算 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 有理数及其分类 题型二 有理数的相关概念1（数轴、相反数、倒数） 题型三 有理数的相关概念2（绝对值） 题型四 有理数的大小比较 题型五 科学记数法与近似数 题型六 有理数的简便运算 题型七 有理数的乘方及应用 题型八 有理数的混合运算 题型九 有理数的混合运算的应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 有理数及其分类 ⭐技巧积累与运用 1）整数：正整数、、负整数统称为整数． 2）分数：正分数、负分数统称为分数． 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 3）有理数：整数和分数统称为有理数． 4）有理数的分类： 1．（24-25·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图所示的是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．当古筝的音调低于标准音20时，该界面指针指向的数字是（   ） A． B． C．0 D．30 3．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 有理数的相关概念1（数轴、相反数、倒数） ⭐技巧积累与运用 1.掌握相关概念：数轴、相反数、倒数。 注意：1）相反数是成对出现的，0的相反数是本身；2）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数，0没有倒数。 2.多重符号的化简口诀：“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 1．（2024·辽宁·模拟预测）-2025的相反数的倒数是（    ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 3．（24-25七年级上·江苏·专题练习）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 4．（23-24七年级上·广西梧州·期末）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 有理数的相关概念2（绝对值） ⭐技巧积累与运用 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离． 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． ，或，或 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足，则下列各式：①；②；③；④ 若b比a小2，则，其中正确的个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ；（）的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0．(2)化简：． 有理数的大小比较 ⭐技巧积累与运用 有理数的比较大小 1）两个负数，绝对值大的反而小． 2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上，两点对应的有理数，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 科学记数法与近似数 ⭐技巧积累与运用 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 精确度的类型：1）纯数字类：如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）；2）带单位类：如近似数万（精确到千位）；3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）绿色建筑是实现“双碳”目标的重要发力点之一．作为“中国低碳城市发展项目”首批试点城市，保定牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的发展理念，全市绿色建筑累计面积已达4994万平方米，绿色建筑占新建建筑面积的比例达到．数据“4994万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　） ①近似数7.4与7.40是一样的；②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0 ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0 ④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用四舍五入按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 有理数的简便运算 ⭐技巧积累与运用 常见‌‌有理数运算技巧方法‌： ‌凑整法‌：将和为整数的数结合计算，便于快速得出结果。 拆项法：将一个数分解成两个或几个数之和的形式，通过分解，简化计算步骤。 组合法：将同类数组合‌：将‌正数或‌负数归类计算，简化运算过程。分母相同或易于通分的数组合‌：简化计算过程，提高计算效率。‌将相加得零的数结合计算‌：将相加得零的数结合计算，减少计算量。 转化法：‌转化将小数与分数或乘法与除法相互转化‌：通过转化，简化计算过程。 倒数法：‌约将互为倒数的数或有倍数关系的数约简‌：通过约简，简化计算过程。 运算律法：‌变运用运算律改变运算顺序‌：通过改变运算顺序，简化计算步骤。‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 2．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为，所以． 请你仿照这种方法计算：． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值；(3)直接写出的值． 有理数的乘方及应用 ⭐技巧积累与运用 整数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）已知有理数，满足，则代数式的值为 ． 2．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）在下列各数，，，，，中，负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一是计算机的发明与应用，因为数字计算机只能识别和处理由“0”、“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．将二进制转化为十进制可使用下面的公式：，例如：，请将十进制89转换成二进制码是 ． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数字中存在着神秘的“黑洞”现象．数字黑洞：无论怎样设值，在规定的法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．如时，，则称1是自恋数；时，，所以12不是自恋数．据研究，取任意一个可被3整除的正整数，分别将其各位数字的立方求出，将这些立方数相加组成一个新数，然后不断重复这个过程，可得到一个固定值 ，它 （填写“是”或“不是”）自恋数． 有理数的混合运算 ⭐技巧积累与运用 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 2．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算题： (1)；(2)；(3)． 有理数的混合运算的应用 ⭐技巧积累与运用 （1）根据题意列出算式；（2）进行有理数混合运算，也可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，这是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么打开锁时计算结果表示的数是（   ） A． B． C． D．12 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别． 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 当身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常，若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（   ） A．正常 B．正常、过重 C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）邳州大蒜因蒜头大、肉质脆、辣味适中等特点，被誉为蒜中上品，深受国内外消费者的青睐，下表是某时间段内邳州大蒜净蒜的市场价格． 日期 9月26日 9月30日 10月3日 10月8日 10月10日 10月11日 涨跌情况/元 0 注：“＋”表示价格相比13.6元上升，“－”表示价格相比13.6元下降注： (1)该段时间内净蒜的最高价格是______元：最低价格是______元； (2)与10月10日相比，10月11日净蒜的价格是上升还是下降？上升或下降了多少元？ (3)某大蒜经销商于9月26日购进100吨净蒜，于10月3日售出；10月8日再次购进130吨净蒜，于10月11日售出，该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损？请计算盈利或亏损的金额（1吨） 有理数运算中的新定义问题 ⭐技巧积累与运用 正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算。 1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）理解新运算：同底数幂的乘法法则：，例如，那么下列各式正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是；③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们称为一个的矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行，第列．矩阵乘法满足如下规则： 其中，比如 那么，请你计算 ． 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）2024年7月，国家统计局发布2024年夏粮产量数据，我省小麦总产量为49.64亿斤，比上年增加0.22亿斤，增长；单产626.95斤亩，创历史新高．数据49.64亿斤用科学记数法可以表示为（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 4．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（   ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．（23-24·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25六年级上·山东淄博·期中）有一张厚度为毫米的纸片，对折1次后的厚度为毫米，继续对折2次、3次、4次，…假设这张纸对折了20次，则此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约（   ）（参考数据：，） A．35层 B．350层 C．32层 D．320层 7．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏规则是：任意4个数，用加、减、乘、除或者括号计算得出24或，每个数都要用到，并且只能用一次．例如：用2、3、4、5这四个数，可以这样计算．请你利用规则设计一下用3、、5、7四个数得到24或．你的设计是 ． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若有理数满足，，则中负数的个数是 ． 9．（23-24七年级上·云南曲靖·期中）计算：(1)； (2)； (3)；(4)； 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）以下是小丽和小陈同学解两道计算题的过程 问题1： 小丽的解法： 解：原式 问题2： 小陈的解法： 解：原式 (1)这两名同学解法有误的是：________（填“小丽”、“小陈”或“都不对”） (2)请帮助解法有误的同学写出正确的解法． 11．（24-25七年级上·广东深圳·期中）小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多________人． (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面师傅拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，求一碗拉面有多少根？ (4)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约100万根面条，请问这个师傅拉出约100万根面条大概需要拉________次．（已知..） 12．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】（3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 1．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点，，，其中，设点，，所对应数的和为．若原点到点的距离为，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则；②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 5．（24-25七年级上·北京·期中）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如下表是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法．将十进制数1000转化为八进制数为 6．（24-25七年级上·重庆渝中·阶段练习）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”． (1)“集” “回归集”，“集” “回归集”（横线上填“是”或“不是”）； (2)若“集”是“回归集”，求n的所有可能值； (3)现有三个“集”A、B、C都是“回归集”，元素个数分别为1、2、3，且这三个“集”含有相同的元素t．若这三个“集”的6个元素之和为0，且“集”B中含有元素1，直接写出“集”C中除t之外的另外两个元素之和是 ． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明设计了一款“数字密码”游戏，如图，他准备了6个盒子，每个盒子中都装有一个有理数且每相邻3个数的乘积为．已知第一个盒子中的数字为2，最后一个盒子中的数字为，请你通过计算，破译标号为①，②，③，④的盒子中所装的“数字密码”． 9．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  10．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】（1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】（3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数及其运算 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 有理数及其分类 题型二 有理数的相关概念1（数轴、相反数、倒数） 题型三 有理数的相关概念2（绝对值） 题型四 有理数的大小比较 题型五 科学记数法与近似数 题型六 有理数的简便运算 题型七 有理数的乘方及应用 题型八 有理数的混合运算 题型九 有理数的混合运算的应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 有理数及其分类 ⭐技巧积累与运用 1）整数：正整数、、负整数统称为整数． 2）分数：正分数、负分数统称为分数． 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 3）有理数：整数和分数统称为有理数． 4）有理数的分类： 1．（24-25·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意； 没有最小的整数，故（2）不符合题意；负数中没有最大的数，故（3）符合题意； 自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数，故（7）符合题意；整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个，故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 2．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图所示的是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．当古筝的音调低于标准音20时，该界面指针指向的数字是（   ） A． B． C．0 D．30 【答案】B 【分析】本题考查正负数意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据正负数的实际意义即可得到答案． 【详解】解：当古筝的音调低于标准音20时，该界面指针指向的数字是，故选B． 3．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数； 【分析】本题考查有理数的分类，根据几个定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， （2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数． 有理数的相关概念1（数轴、相反数、倒数） ⭐技巧积累与运用 1.掌握相关概念：数轴、相反数、倒数。 注意：1）相反数是成对出现的，0的相反数是本身；2）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数，0没有倒数。 2.多重符号的化简口诀：“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 1．（2024·辽宁·模拟预测）-2025的相反数的倒数是（    ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数、相反数，熟记相反数和倒数的定义是解题关键．根据相反数和倒数的定义即可得到答案． 【详解】解：的相反数为2025，2025的倒数．故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】先用a的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度，∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数，∴，∴．故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上数的表示，表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键． 3．（24-25七年级上·江苏·专题练习）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴得出刻度尺上1对应的是，数轴的原点在处，刻度尺7对应数轴是． 【详解】解：刻度尺上的“”和对应数轴上的，数轴上的原点对应刻度尺上的， 刻度尺上的“”对应数轴上的．故本题选：D． 4．（23-24七年级上·广西梧州·期末）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义解答即可，本题考查了相反数，多重符号的化简方法，熟练掌握以上方法是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意 B、，不符合题意 C、，符合题意 D、，不符合题意故选：C． 有理数的相关概念2（绝对值） ⭐技巧积累与运用 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离． 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是． ，或，或 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即： 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足，则下列各式：①；②；③；④ 若b比a小2，则，其中正确的个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，根据数轴上的数右边的比左边的大，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，且 ∴，，，故①正确； ∴，；故②错误， ∵，∴；故③正确； 若b比a小2，则：，∴；故④正确；故选B． 2．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若，∴，∴，∴①的说法错误； 若不是负数，∴．∴，即a为非正数；∴②的说法正确； ∵，，∴，∴③的说法正确； 若，，∴．∴．∴④的说法正确．综上所述：正确的结论有②③④． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为． （）的最小值为 ；（）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（）由得式子表示到的距离与到的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由得式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴式子表示到的距离与到的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值为，故答案为：； （）∵， ∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，如图， 可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为， 即的最小值为，故答案为：． 3．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0．(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的加减法，绝对值的意义， 对于（1），根据数轴确定a、b、c的正负情况、再根据有理数的加减法确定各式的值即可； 对于（2），根据（1）的结论化简绝对值然后合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可知： ∴，故答案为：； （2）∵，∴． 有理数的大小比较 ⭐技巧积累与运用 有理数的比较大小 1）两个负数，绝对值大的反而小． 2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确；C．∵，∴，故正确；     D．∵，∴，故不正确；故选C． 2.（24-25七年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上，两点对应的有理数，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较大小，绝对值的性质，根据数轴得出，，从而即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，，所以，故A正确，符合题意；，故B错误， 不符合题意；，故C错误，不符合题意；，故D错误，不符合题意．故选A． 科学记数法与近似数 ⭐技巧积累与运用 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 精确度的类型：1）纯数字类：如按四舍五入法对圆周率取近似数时：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）；2）带单位类：如近似数万（精确到千位）；3）科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）绿色建筑是实现“双碳”目标的重要发力点之一．作为“中国低碳城市发展项目”首批试点城市，保定牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的发展理念，全市绿色建筑累计面积已达4994万平方米，绿色建筑占新建建筑面积的比例达到．数据“4994万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4994万用科学记数法表示为．故选：A． 2．（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　） ①近似数7.4与7.40是一样的；②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0 ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0 ④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了近似数、有效数字和科学记数法，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位可判断①；根据一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字，可判断②③；根据科学记数法的定义和近似数的定义，可判断④． 【详解】解：①7.4精确到十分位，7.40精确到百分位，原说法错误； ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0，说法正确； ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0，说法正确； ④近似数精确到千位，有3个有效数字，故错误；综上，正确的有②③；故选：C． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用四舍五入按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数和有效数字，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．根据近似数的精确度逐项判断即可． 【详解】解：（精确到0.1），原选项正确； （精确到百分位），原选项正确； （精确到千分位），原选项错误； （精确到0.0001），原选项正确 故选：C． 有理数的简便运算 ⭐技巧积累与运用 常见‌‌有理数运算技巧方法‌： ‌凑整法‌：将和为整数的数结合计算，便于快速得出结果。 拆项法：将一个数分解成两个或几个数之和的形式，通过分解，简化计算步骤。 组合法：将同类数组合‌：将‌正数或‌负数归类计算，简化运算过程。分母相同或易于通分的数组合‌：简化计算过程，提高计算效率。‌将相加得零的数结合计算‌：将相加得零的数结合计算，减少计算量。 转化法：‌转化将小数与分数或乘法与除法相互转化‌：通过转化，简化计算过程。 倒数法：‌约将互为倒数的数或有倍数关系的数约简‌：通过约简，简化计算过程。 运算律法：‌变运用运算律改变运算顺序‌：通过改变运算顺序，简化计算步骤。‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1） 仔细观察本题，通过调整，提出公因子，即可简算结果；（2）提出公因子，即可简算结果； （3）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，提出公因子，即可简算结果； （4）先把原式变形为，再利用分配律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） =2010000． （3） ． （4） ． 2．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为，所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1)(2) 【分析】考查了有理数的除法．（1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：； （2）解：∵． ∴． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）观察下列等式：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题：(1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值；(3)直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算；（1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案；（3）根据（2）的方法，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式为：，故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：；第3个等式：； ． （3）解： ． 有理数的乘方及应用 ⭐技巧积累与运用 整数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）已知有理数，满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性．根据绝对值和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，∴，，∴，， ∴．故答案为：1． 2．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）在下列各数，，，，，中，负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，还涉及有理数的乘方运算，化简绝对值，相反数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简计算各数，再根据负数的定义进行判断即可． 【详解】解：，，，，，， ∴负数有4个，故选：C． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一是计算机的发明与应用，因为数字计算机只能识别和处理由“0”、“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．将二进制转化为十进制可使用下面的公式：，例如：，请将十进制89转换成二进制码是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，依题意，把化为按2的整数次幂降幂排列的形式，然后确定二进制数． 【详解】解：∵， ∴将十进制数换算成二进制数应为．故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数字中存在着神秘的“黑洞”现象．数字黑洞：无论怎样设值，在规定的法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．如时，，则称1是自恋数；时，，所以12不是自恋数．据研究，取任意一个可被3整除的正整数，分别将其各位数字的立方求出，将这些立方数相加组成一个新数，然后不断重复这个过程，可得到一个固定值 ，它 （填写“是”或“不是”）自恋数． 【答案】 153 是 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据题意取任意一个可被3整除的正整数，分别将其各位数字的立方求出，将这些立方数相加组成一个新数，然后不断重复这个过程，可得到一个固定值，再根据自恋数的定义判断即可． 【详解】解：如取数字3，，，， （为固定值）， ∵，∴它是自恋数，故答案为：153；是． 有理数的混合运算 ⭐技巧积累与运用 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)12(2)5(3)(4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，含乘方的有理数混合运算，掌握有理数的运算法则是解题关键．（1）按顺序计算即可；（2）先计算乘方和乘除法，再计算加法即可；（3）利用乘法结合率计算即可； （4）先计算有理数的乘方，再按照有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)(2)4(3)(4)6(5) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；（3）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算题： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：   ； （2） ； （3）原式 ． 有理数的混合运算的应用 ⭐技巧积累与运用 （1）根据题意列出算式；（2）进行有理数混合运算，也可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。 1．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，这是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么打开锁时计算结果表示的数是（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：，∴打开锁时计算结果表示的数是，故选：B． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重归类为表（二）的其中一种类别． 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 当身高公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表（二）归类，实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常，若将上述身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能被归类的类别为何？（   ） A．正常 B．正常、过重 C．正常、过轻 D．正常、过重、过轻 【答案】B 【分析】先求出身高1.8公尺且实际体重被归类为正常的成年男性的实际体重，再根据表1中的算法③进行计算即可，本题考查了百分数运算的应用，解题关键是理解题目给出的公式，准确进行计算。 【详解】解：按照算法③1.8公尺的成年男性理想体重为（公斤） ∵身高1.8公尺的成年男性使用算法②计算理想体重并根据表(二)归类，实际体重介于 实际体重介于公斤至公斤之间会被归类为正常， ∴这类男性的实际体重为63公斤至77公斤，， ∴成年男性，重新以算法③计算理想体重并根据表（二）归类，则所有可能属于正常或过重，故选:B. 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）邳州大蒜因蒜头大、肉质脆、辣味适中等特点，被誉为蒜中上品，深受国内外消费者的青睐，下表是某时间段内邳州大蒜净蒜的市场价格． 日期 9月26日 9月30日 10月3日 10月8日 10月10日 10月11日 涨跌情况/元 0 注：“＋”表示价格相比13.6元上升，“－”表示价格相比13.6元下降注： (1)该段时间内净蒜的最高价格是______元：最低价格是______元； (2)与10月10日相比，10月11日净蒜的价格是上升还是下降？上升或下降了多少元？ (3)某大蒜经销商于9月26日购进100吨净蒜，于10月3日售出；10月8日再次购进130吨净蒜，于10月11日售出，该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损？请计算盈利或亏损的金额（1吨） 【答案】(1)14.2；13.14(2)下降了，下降了0.16元(3)盈利，盈利了51200元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）用10月11日的涨跌减去10月10日的涨跌即可；（3）把两次的盈亏情况相加即可． 【详解】（1）解：（元），（元）， 即该段时间内净蒜的最高价格是14.2元．最低价格是13.14元，故答案为：14.2；13.14； （2）（元）， 所以与10月10日相比，10月11日净蒜的价格是下降了，下降了0.16元； （3）（元）， 即该大蒜经销商在该段时间内是盈利，盈利的金额为51200元． 有理数运算中的新定义问题 ⭐技巧积累与运用 正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算。 1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）理解新运算：同底数幂的乘法法则：，例如，那么下列各式正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据新运算的法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：，故①正确；，故②正确； ，故③正确；，故④错误；故选B． 2．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是；③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ，，，， ，，，， ，，， ，． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确．故选：D． 3．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们称为一个的矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行，第列．矩阵乘法满足如下规则： 其中，比如 那么，请你计算 ． 【答案】 【分析】考查新定义的有理数的乘法运算，理解新定义的运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为： 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，掌握几个非负数的和等于，则每个非负数都为这个性质是解题的关键．根据绝对值和完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：，，，解得：，，故选：A． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可． 【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）2024年7月，国家统计局发布2024年夏粮产量数据，我省小麦总产量为49.64亿斤，比上年增加0.22亿斤，增长；单产626.95斤亩，创历史新高．数据49.64亿斤用科学记数法可以表示为（    ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，先将数据化成原数，再确定a、n，写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】根据题意，得，．故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（   ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法，正确理解题意是解题的关键．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可． 【详解】解：A、∵，而，∴， ∵，∴，而，∴原点在Ⅲ这一区域，符合题意； B、∵，，∴，不能确定的正负，故B不能确定原点的位置，不符合题意； C、∵，，∴，∵，∴可能大于0，也有可能小于0， 那么就确定不了原点的位置，不符合题意； D、∵， ∴可能都小于0，或者， ∵，，∴当时，；当时，，故不能确定原点位置，不符合题意；故选：A． 5．（23-24·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误； 非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C 【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键． 6．（24-25六年级上·山东淄博·期中）有一张厚度为毫米的纸片，对折1次后的厚度为毫米，继续对折2次、3次、4次，…假设这张纸对折了20次，则此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约（   ）（参考数据：，） A．35层 B．350层 C．32层 D．320层 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算的应用,属于简单题,熟悉有理数乘方的运算规律是解题关键．找到规律表示出楼层高度即可解题． 【详解】解：由题可知：对折1次的厚度毫米，对折2次的厚度毫米... 对折20次的厚度毫米米，（层）， 即这张纸对折了20次时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约35层．故选：A． 7．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏规则是：任意4个数，用加、减、乘、除或者括号计算得出24或，每个数都要用到，并且只能用一次．例如：用2、3、4、5这四个数，可以这样计算．请你利用规则设计一下用3、、5、7四个数得到24或．你的设计是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若有理数满足，，则中负数的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的关键． 根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵，∴三数均为正，或两数为负，一数为正， 当三数均为正时：，不符合题意；∴三数中有两数为负，一数为正．故答案为：． 9．（23-24七年级上·云南曲靖·期中）计算：(1)； (2)； (3)；(4)； 【答案】(1)24(2)41(3)350(4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．（1）根据有理数加减运算法则进行计算； （2）先算乘除法，再算减法即可；（3）逆用乘法分配律进行简便计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）以下是小丽和小陈同学解两道计算题的过程 问题1： 小丽的解法： 解：原式 问题2： 小陈的解法： 解：原式 (1)这两名同学解法有误的是：________（填“小丽”、“小陈”或“都不对”） (2)请帮助解法有误的同学写出正确的解法． 【答案】(1)小陈 (2)见解析 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则进行判断即可；（2）小陈同学错误，根据乘法分配律进行正确计算即可； 【详解】（1）解：这两名同学解法有误的是小陈，故答案为：小陈； （2）解： 原式的倒数，故原式． 11．（24-25七年级上·广东深圳·期中）小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多________人． (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面师傅拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，求一碗拉面有多少根？ (4)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约100万根面条，请问这个师傅拉出约100万根面条大概需要拉________次．（已知..） 【答案】(1)42人(2)882元(3)256根(4)20 【分析】本题考查正数和负数、乘方，熟练掌握正数和负数表示的实际意义、乘方的定义是解决本题关键． （1）根据正数和负数表示的实际意义解决此题；（2）根据正数和负数表示的实际意义解决此题； （3）根据有理数的乘方的定义解决此题；（4）根据有理数的乘方运算即可求解． 【详解】（1）解：这一周人数最多的一天是星期日，人数为（人）． 这一周人数最少的一天是星期三，人数为（人）． 这一周人数最多的一天比人数最少的一天多的人数为（人）． （2）解：这一周的人流量为（人）． 平均每天的销售额为（元）． （3）解：拉伸1次，得到的面条数为（根）． 拉伸2次，得到的面条数为（根）． 拉伸3次，得到的面条数为（根）． 一次类推，拉伸8次，得到的面条数为（根）．一碗拉面有256根． （4）解：∵，∴大约需要拉20次，故答案为：20． 12．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】（3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4；（2）9，13；（3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中．（1）根据数轴上两点间距离直接求解；（2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 【详解】解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，，12，的值为；故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5，点所表示的数是，点所表示的数是，故答案为：9，13； （3）如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）．，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 1．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵，∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1．故选D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点，，，其中，设点，，所对应数的和为．若原点到点的距离为，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与有理数，有理数的加法运算，分原点在点左侧或右侧两种情况，画出图形，根据，，确定点所对应的数，进而计算即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵原点到点的距离为，∴， ①当点位于点左侧，此时点对应的数为， ∵，， ∴，，∴，即点对应的数为， ∴，即点对应的数为， ∴； ②当点位于点右侧，此时点对应的数为， ∵，，∴，， ∴，即点对应的数为， ∴，即点对应的数为， ∴； 综上，的值为或，故选：． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则；②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】解：①若，则，故①正确，不符合题意； ②若，当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； ，故②错误，符合题意； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则或或14，故③错误，符合题意；④若代数式的值与无关， 则，故④正确，不符合题意； ⑤，，、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑤错误，符合题意；故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，首先算出12个数的和，要使添加负号后所有数之和等于零，则12个数分成两部分，正数之和、负数之和的绝对值相等，都是39，因此尝试添上负号的数较大即可得到n的值，从小的数字前添加负号，即可得到m的值，从而得到结果． 【详解】解：∵， ∴，∴添上负号的数的和为，其余数的和为39， ∵要填负号最少，需从大的数字前面加负号， ，，∴至少要添4个负号，∴， ∵要填负号最多，需从小的数字前面加负号，，， ∴至多要添8个负号，∴，∴，故答案为：． 5．（24-25七年级上·北京·期中）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．例如下表是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法．将十进制数1000转化为八进制数为 【答案】1750 【分析】本题考查有理数除法的应用，理解题意，由十进制整数转化为二进制整数和十进制数转化为六进制数的方法，推出十进制数化为八进制数的方法是解题关键．结合十进制数化为八进制数的方法求解即可． 【详解】解：计算如下， 所以．故答案为：1750． 6．（24-25七年级上·重庆渝中·阶段练习）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 【答案】 7 786 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时，第一次运算：，第二次运算：，第三次运算：， 第四次运算：，第五次运算，第六次运算，第七次运算， 故自然数3的熵； 当时：第十次运算为：，第九次运算为：，第八次运算为：， 第七次运算为：，第六次运算为：，第五次运算为：，或 第四次运算为：或，第三次运算为：或或或， 第二次运算为：或或或， 第一次运算为：或或或或或， ∴当时，满足题意，∴；故答案为：7，786． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”． (1)“集” “回归集”，“集” “回归集”（横线上填“是”或“不是”）； (2)若“集”是“回归集”，求n的所有可能值； (3)现有三个“集”A、B、C都是“回归集”，元素个数分别为1、2、3，且这三个“集”含有相同的元素t．若这三个“集”的6个元素之和为0，且“集”B中含有元素1，直接写出“集”C中除t之外的另外两个元素之和是 ． 【答案】(1)是，不是；(2)2，，；(3)． 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是依据“回归集”的定义进行计算， （1）根据“回归集”的定义即可得到结论；（2）根据“回归集”的定义即可得到答案； （3）假设，，，由“集”A是“回归集”，可求出t的值，再根据这三个“集”的6个元素之和为0，即可求出答案． 【详解】（1）解：，“集”是“回归集”， ，，“集”不是“回归集”，故答案为：是，不是； （2）“集”是“回归集”，或或，或或； （3）根据题意，假设，，， “集”A都是“回归集”，，， 这三个“集”的6个元素之和为0，，即，． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）小明设计了一款“数字密码”游戏，如图，他准备了6个盒子，每个盒子中都装有一个有理数且每相邻3个数的乘积为．已知第一个盒子中的数字为2，最后一个盒子中的数字为，请你通过计算，破译标号为①，②，③，④的盒子中所装的“数字密码”． 【答案】①盒子的数是，②盒子的数是，③盒子的数是2，④盒子的数是 【分析】设①，②，③，④的盒子中所装的数分别为x，y，m，n，根据题意，得，，，，建立等式解答即可． 本题考查了有理数的乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设①，②，③，④的盒子中所装的数分别为x，y，m，n，根据题意，得，，，，∴，解得； ∴，∴，∴，∴，∴，∴， ①盒子的数是，②盒子的数是，③盒子的数是2，④盒子的数是． 9．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【答案】任务1：（1）4，；（2）或；任务2：（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是关键． 任务一：（1）把所给数字相加乘以2，然后除以4即可求出幻和；根据幻和即可求出x的值； （2）根据幻和求出y的值，然后分两种情况计算即可； 任务二：（1）共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2； （2）利用每条边的和为2将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是：， x处所填的数字是，故答案为：4，； （2），当时，， 当时，，故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是：，故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ． ，，， ∵，d，e，f可能取的数为，∴．如图， 10．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】（1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】（3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离；故答案为：； （2）解：；故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：，解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：，解得：；故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为，故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则，∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：；故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边，∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴，∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$