专题4 指数函数与对数函数（考点精讲）-2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题4 指数函数与对数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 2 【知识导图】 3 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 8 考点一：指数与指数幂运算 8 考点二：幂函数 9 考点三：指数函数解析式 12 考点四：指数函数的图象 13 考点五：指数不等式 16 考点六：比较幂的大小 17 考点七：指数方程 19 考点八：解对数方程 20 考点九：对数的运算 21 考点十：已知条件求值 23 考点十一：比较对数值的大小 25 考点十二：解对数不等式 26 考点十三：求复合函数的单调区间 27 考点十四：反函数 29 【考纲要求】 （1）幂函数 ①了解幂函数 ②理解五种幂函数( y x , y x2 , y x3 , y x1 , y x 2的变化规律) （2）指数函数 ①掌握指数幂的运算性质。 ②理解指数函数的概念、图像、性质 （3）对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式。 ②了解对数函数的概念、图像、性质。 ③知道同底的对数函数与指数函数互为反函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 【考向预测】 1. 指数幂的运算； 2．指数函数的图象和性质的简单应用； 3．解简单的指数方程、不等式； 4．幂式大小的比较； 5. 指数式与对数式的互化； 6.对数性质的应用； 7.利用对数运算法则和对数换底公式进行对数的化简、求值； 8. 对数函数的图象和性质的应用； 9. 解简单对数方程； 10. 对数函数在实际问题中的简单应用． 【知识导图】 【知识清单】 一、根式与指数幂 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 二、指数函数 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 三、对数函数 1. 对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 指数式与对数式的互化 3. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 4.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 5.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 6.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 7.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 8. 对数函数的定义 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 9.对数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 【考点分类剖析】 考点一：指数与指数幂运算 例1．4－可化为(　 　) A．8　　　　　　　　 B．2 C． D．2 [解析]　4－＝＝＝＝. 例2．式子的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数运算法则直接计算可得结果. 【详解】. 故选：D. 例3．___________. 【答案】3 【分析】直接利用指数幂的运算法则求解即可． 【详解】. 故答案为：3. 【变式探究】1. 计算：__________. 【答案】 【分析】将分数指数幂转化为根式形式,求出值即可. 【详解】由题知. 故答案为: 2. 计算：(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0＝ ． [解析]　原式＝(0.33)－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64. 3.化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算. 【详解】 故选：C. 考点二：幂函数 例1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为 ，在区间 上单调递减． [解析]　∵f(x)的图象过点， ∴2α＝＝，∴α＝－，∴f(x)＝. 由f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，＋∞)． 例2．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，1，，2，3})的图象只可能是下面中的哪一个(　 　) [分析]　逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状． [解析]　A中直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1，1≠－1，故A错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，当x＝2时，22＝2×2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错． [归纳提升]　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数 例3．比较下列各题中两个数的大小： (1)2.3，2.4； (2)()－，()－； (3)(－0.32)，0.35. [解析]　(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.3<2.4. (2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<， ∴()－>()－. (3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.32)＝0.32. 又函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.32<0.35， ∴0.32<0.35，即(－0.32)<0.35. [归纳提升]　比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较． 【变式探究】1. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A．是奇函数，在上是减函数 B．是偶函数，在上是减函数 C．是奇函数，在上是增函数 D．是偶函数，在上是减函数 【答案】C 【分析】由幂函数的图像过点，求出，从而根据幂函数的性质即可选出正确选项. 【详解】解：设幂函数解析式为， 因为幂函数的图像过点， ，解得， 则， 是奇函数，在上单调递增， 故选：C. 2. 判断大小：________.(填“”或“”) 【答案】 【分析】根据的单调性比较大小即可. 【详解】由在上递减，又， 所以. 故答案为： 3. 函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质既可以求得. 【详解】根据三个函数可得定义域为：，则根据幂函数的性质可知这三个函数都经过点. 故答案为： 考点三：指数函数解析式 例1．指数函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得， 故选：B. 例2．如果指数函数的图象经过点，那么的值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值. 【详解】设幂函数，已知图象过点， 所以，解得， 所以. 所以. 故答案为：. 【变式探究】1. 如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】将点代入函数解析式，即可得出的值. 【详解】由题意可知，解得或（舍） 故选：B 2. 已知点，均在指数函数的图象上，则m的值为_________. 【答案】2 【分析】由点坐标求出指数函数解析式，将点坐标代入解析式，即可求解. 【详解】设所求的指数函数为，在指数函数图像上， ， 代入解析式得. 故答案为:2. 考点四：指数函数的图象 例1．如图所示是下列指数函数的图象： (1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx. 则a，b，c，d与1的大小关系是(　 　) A．a<b<1<c<d　　　 B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B． 例2．函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程得到直线为增函数，又，可排除D选项. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于B，又由指数函数的性质可得，故D错误； 故选：B 例3. 函数的图像一定过定点，则点的坐标是__________. 【答案】 【分析】用指数函数恒过点推理指数型函数恒过点即可. 【详解】因为函数， 所以，令，解得， 此时， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. [归纳提升]　指数函数图象的变化规律 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 【变式探究】1．如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案. 【详解】解：由指数函数的性质可知： ①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象； 所以只有②不是指数函数的图象. 故选：B. 2．若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依据函数的图象的单调性，先确定出，在结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以， 又由，可得，可得， 结合选项，只有C项适合. 故选：C. 3．函数（且）过定点______. 【答案】 【分析】由（且）所过定点，求出答案. 【详解】因为（且）过定点， 令得：，故， 故过定点坐标. 故答案为： 考点五：指数不等式 例1. 不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案. 【详解】原式可化为， 因为为减函数，所以，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 例2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得，即，解得． 故选：C. 【变式探究】1．不等式的解集为______. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性解原不等式，即可得解. 【详解】因为函数为上的增函数，由可得， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的单调性直接求解即可. 【详解】由题意得，所以，解得． 故选：D. 考点六：比较幂的大小 例1.　比较下列各题中两个值的大小． (1)1.82.2，1.83；　　　　　(2)0.7－0.3，0.7－0.4； (3)1.90.4，0.92.4; (4)()，(). [分析]　(1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量()进行比较． [解析]　(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值， ∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数， 又2.2<3， ∴1.82.2<1.83. (2)∵y＝0.7x在R上为减函数， 又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4. (3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4. (4)∵＝()<()0＝1，∴()<()， ∵y＝()x在R上为减函数，又>， ∴()<()，∴()<(). [归纳提升]　1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 【变式探究】1．若，则_____1（填符号“>，≥，<，≤，”）. 【答案】> 【解析】利用指数函数的单调性即可求解. 【详解】，，则函数为减函数， 由，则. 所以. 故答案为：> 2．已知，则与的大小关系是________. 【答案】 【分析】利用指数函数的性质，比较出两者的大小关系. 【详解】由于，所以，所以. 由于，， 所以. 故答案为： 考点七：指数方程 例1.　 解指数方程：__________. 【答案】或 【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可. 【详解】由得，即，当即时，显然成立； 当时，，解得；故方程的解为：或. 故答案为：或. 例2.　 指数方程的解是__________. 【答案】 【分析】由方程看成关于的二次方程，解得（舍或，从而得到方程的解． 【详解】：， （舍或，解得． 故答案为：． 【变式探究】 1．解指数方程 【详解】解  ．解方程，得． 2．解指数方程 【详解】解 ． 设，，则原方程为． 解方程，得（舍），． ∴．解方程，得． 考点八：解对数方程 例1．求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0；　 (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(lnx)＝1; (4)lg(lnx)＝0. [分析]　利用指数式与对数式的互化进行解答． [解析]　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2. (2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3， ∴x＝73＝343. (3)lg(lnx)＝1，lnx＝10， ∴x＝e10. (4)lg(lnx)＝0，lnx＝1， ∴x＝e. 【变式探究】 1．求下列各式中的x的值． (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)log5(log2x)＝0； (4)x＝log27. [解析]　(1)由logx27＝，得x＝27， ∴x＝27＝32＝9. (2)由log2x＝－，得2－＝x， ∴x＝＝. (3)由log5(log2x)＝0， 得log2x＝1.∴x＝2. (4) 由x＝log27，得27x＝， 即33x＝3－2，则3x＝－2，所以x＝－. 考点九：对数的运算 例1.用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga. [解析]　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay. (2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay. (3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)] ＝(logax－logay－2logaz)． 例2.(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. [解析]　(1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2 ＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2 ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2 ＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. (2)原式＝ ＝＝. (3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 例3.(1)计算log2·log3·log5； (2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值． [解析]　(1)原式＝·· ＝＝－12. (2)由题意，得··＝＝， ∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3， ∴m＝. 【变式探究】 1．．用lgx，lgy，lgz表示下列各式： (1)lg(xyz)；(2)lg； (3)lg；(4)lg. [解析]　(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz. (2)lg＝lg(xy2)－lgz ＝lgx＋2lgy－lgz. (3)log＝lg(xy3)－lg ＝lgx＋3lgy－lgz. (4)lg＝lg－lg(y2z) ＝lgx－2lgy－lgz. 2．计算：27＋lg4＋2lg5－eln3＝2． [解析]　27＋lg4＋2lg5－eln3＝(33)＋(lg4＋lg25)－eln3＝3＋2－3＝2. 3．计算下列各式的值： (1)log89·log2732； (2)log927； (3)log2·log3·log5. [解析]　(1)log89·log2732＝·＝·＝·＝. (2)log927＝＝＝＝. (3)log2·log3·log5 ＝log25－3·log32－5·log53－1 ＝－3log25·(－5log32)·(－log53) ＝－15··· ＝－15. 考点十：已知条件求值 例1．若,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可. 【详解】解:由题知, , . 故选：A 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以指对数互化求得m，再以对数运算规则把转化成含m的代数式. 【详解】由得. 故选:C 【方法归纳】1.题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 【变式探究】1．若，则的值为（ ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】由已知对数式可得，从而代入可求出结果 【详解】，， ， 故选：A 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对数互化，得到，再根据换底公式,然后根据商与积的对数等于对数的差与和，化简成只剩的表达式，然后代入即可得到. 【详解】即 又 又因为，所以 即. 故选：C 考点十一：比较对数值的大小 例1．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln0.3，ln2； (2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. [分析]　(1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？ (2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？ (3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？ [解析]　(1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2. (2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2. (3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜， 即log30.2＜log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3. 【变式探究】1．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　D　) A．b＜a＜c　　　　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a [解析]　因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1， 因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1， 所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a. 2．已知，则的大小关系是__________． 【答案】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可求解. 【详解】因为,且,所以, 又因为,所以, 所以, 故答案为: . 考点十二：解对数不等式 例1．已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　 　) A．(，＋∞) B．(－∞，) C．(－，) D．(0，) 【解析】　因为函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式等价于解得x>.所以选A. 例2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，根据交集的概念可求出结果. 【详解】由，得，得，得， 由，得或，得， 所以. 故选：A 【变式探究】1．已知不等式则x的解集是____. 【答案】 【解析】利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为在单调递增，， 所以，解得：， 故答案为： 2．函数的定义域为___________. 【答案】 【分析】真数大于0，根号下要非负，列出不等式组，求出解集，进而求出定义域. 【详解】函数要满足：，解得：，故定义域为： 故答案为： 考点十三：求复合函数的单调区间 例1．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性 [解析]　∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则g(u)＝()u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是减函数，g(u)＝()u在其定义域内是减函数， ∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数． 又g(u)＝()u在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数． ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．求值域同解法一． 例2．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [分析]　求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集． [解析]　由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－}． 当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若x<－，∵u＝3x2－2x－1为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当0<a<1时，y＝logau为减函数，若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， 若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 【方法归纳】1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表). 函数 单调性 y＝f(μ) 增函数 增函数 减函数 减函数 μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数 y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数 【变式探究】1．已知函数y＝.确定函数的单调区间． [解析]　函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2，有u1＜u2，从而()u1＞()u2，即y1＞y2，所以函数y＝()x2－6x＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝()x2－6x＋17在(－∞，3]上是增函数．所以，函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)． 2．函数f(x)＝log (x2－3x－10)的单调递增区间为(　A　) A．(－∞，－2)　　　　　 B．(－∞，) C．(－2，) D．(5，＋∞) [解析]　由题意，得x2－3x－10>0， ∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5. 令u＝x2－3x－10， 函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A． 考点十四：反函数 例1．已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则g()的值为(　A　) A．－1 B．1 C．12 D．2 [解析]　(1)由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，∴原函数的反函数为g(x)＝log2x，则g()＝log2＝－1.故选A． 【变式探究】1．y＝2x与y＝log2x的图象关于(　B　) A．x轴对称 B．直线y＝x对称 C．原点对称 D．y轴对称 [解析]　函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 指数函数与对数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 2 【知识导图】 3 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 8 考点一：指数与指数幂运算 8 考点二：幂函数 9 考点三：指数函数解析式 12 考点四：指数函数的图象 13 考点五：指数不等式 16 考点六：比较幂的大小 17 考点七：指数方程 19 考点八：解对数方程 20 考点九：对数的运算 21 考点十：已知条件求值 23 考点十一：比较对数值的大小 25 考点十二：解对数不等式 26 考点十三：求复合函数的单调区间 27 考点十四：反函数 29 【考纲要求】 （1）幂函数 ①了解幂函数 ②理解五种幂函数( y x , y x2 , y x3 , y x1 , y x 2的变化规律) （2）指数函数 ①掌握指数幂的运算性质。 ②理解指数函数的概念、图像、性质 （3）对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式。 ②了解对数函数的概念、图像、性质。 ③知道同底的对数函数与指数函数互为反函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 【考向预测】 1. 指数幂的运算； 2．指数函数的图象和性质的简单应用； 3．解简单的指数方程、不等式； 4．幂式大小的比较； 5. 指数式与对数式的互化； 6.对数性质的应用； 7.利用对数运算法则和对数换底公式进行对数的化简、求值； 8. 对数函数的图象和性质的应用； 9. 解简单对数方程； 10. 对数函数在实际问题中的简单应用． 【知识导图】 【知识清单】 一、根式与指数幂 1. 指数与指数运算 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 4. 幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 二、指数函数 1. 指数函数定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2. 指数函数图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 三、对数函数 1. 对数的定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2. 指数式与对数式的互化 3. 常用对数和自然对数 以10为底的对数叫作常用对数,并把记作lg_N.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并且把记为ln_N. 4.对数的性质： ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)． 5.对数恒等式： alogaN＝N．(其中a>0且a≠1，N>0) 6.对数的换底公式： logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． 7.对数的运算法则： 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 8. 对数函数的定义 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 9.对数函数的图象和性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 【考点分类剖析】 考点一：指数与指数幂运算 例1．4－可化为(　 　) A．8　　　　　　　　 B．2 C． D．2 例2．式子的计算结果为（    ） A． B． C． D． 例3．___________. 【变式探究】1. 计算：__________. 2. 计算：(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0＝ ． 3.化简的结果为（　　） A． B． C． D． 考点二：幂函数 例1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为 ，在区间 上单调递减． 例2．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，1，，2，3})的图象只可能是下面中的哪一个(　 　) [归纳提升]　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴； ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数 例3．比较下列各题中两个数的大小： (1)2.3，2.4； (2)()－，()－； (3)(－0.32)，0.35. [归纳提升]　比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较． 【变式探究】1. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A．是奇函数，在上是减函数 B．是偶函数，在上是减函数 C．是奇函数，在上是增函数 D．是偶函数，在上是减函数 2. 判断大小：________.(填“”或“”) 3. 函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为________． 考点三：指数函数解析式 例1．指数函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 例2．如果指数函数的图象经过点，那么的值为__________. 【变式探究】1. 如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 2. 已知点，均在指数函数的图象上，则m的值为_________. 考点四：指数函数的图象 例1．如图所示是下列指数函数的图象： (1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx. 则a，b，c，d与1的大小关系是(　 　) A．a<b<1<c<d　　　 B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 例2．函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A． B． C． D． 3. 函数的图像一定过定点，则点的坐标是__________. [归纳提升]　指数函数图象的变化规律 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 1．如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．函数（且）过定点______. 考点五：指数不等式 例1. 不等式的解集为______． 例2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．不等式的解集为______. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点六：比较幂的大小 例1.　比较下列各题中两个值的大小． (1)1.82.2，1.83；　　　　　(2)0.7－0.3，0.7－0.4； (3)1.90.4，0.92.4; (4)()，(). [归纳提升]　1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 【变式探究】 1．若，则_____1（填符号“>，≥，<，≤，”）. 2．已知，则与的大小关系是________. 考点七：指数方程 例1.　 解指数方程：__________. 例2.　 指数方程的解是__________. 【变式探究】 1．解指数方程 2．解指数方程 考点八：解对数方程 例1．求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0；　 (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(lnx)＝1; (4)lg(lnx)＝0. 【变式探究】 1．求下列各式中的x的值． (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)log5(log2x)＝0； (4)x＝log27. 考点九：对数的运算 例1.用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga. 例2.(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)； (3)log535－2log5＋log57－log51.8. 例3.(1)计算log2·log3·log5； (2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值． 【变式探究】 1．．用lgx，lgy，lgz表示下列各式： (1)lg(xyz)；(2)lg； (3)lg；(4)lg. 2．计算：27＋lg4＋2lg5－eln3＝2． 3．计算下列各式的值： (1)log89·log2732； (2)log927； (3)log2·log3·log5. 考点十：已知条件求值 例1．若,则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【方法归纳】1.题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 【变式探究】1．若，则的值为（ ） A． B．3 C．4 D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点十一：比较对数值的大小 例1．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln0.3，ln2； (2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 【变式探究】1．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　D　) A．b＜a＜c　　　　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 2．已知，则的大小关系是__________． 考点十二：解对数不等式 例1．已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　 　) A．(，＋∞) B．(－∞，) C．(－，) D．(0，) 例2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知不等式则x的解集是____. 2．函数的定义域为___________. 考点十三：求复合函数的单调区间 例1．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性 例2．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． 【方法归纳】1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表). 函数 单调性 y＝f(μ) 增函数 增函数 减函数 减函数 μ＝g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数 y＝f[g(x)] 增函数 减函数 减函数 增函数 【变式探究】1．已知函数y＝.确定函数的单调区间． 2．函数f(x)＝log (x2－3x－10)的单调递增区间为(　A　) A．(－∞，－2)　　　　　 B．(－∞，) C．(－2，) D．(5，＋∞) 考点十四：反函数 例1．已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则g()的值为(　A　) A．－1 B．1 C．12 D．2 【变式探究】1．y＝2x与y＝log2x的图象关于(　B　) A．x轴对称 B．直线y＝x对称 C．原点对称 D．y轴对称 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$