福建省龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

第 1页,共 2页 龙岩一中锦山学校 2024-2025学年第一学期第二次 月考 高三数学试题 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 命题人:郭小峰 审题人:卢嘉坤 注意事项: 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 第 卷(选择题 共 58 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数 2 1 2 1 x f x x 的零点是( ) A.1 B. 1 , 0 C. 1 , 0 D. 1 或 1 2.某放射性物质在衰变过程中,其质量m(单位:克)与年数 t满足关系式 0e kt m m ( 0m 为初始质量, k 为常数, e 2.7 1 8 ).已知经过 3年,这种放射性物质的质量变为原来的一 半,再经过 6年,该放射性物质的质量变为初始质量的( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 3.已知点Q 在圆 2 2 3 2 49x y 上,点 1 , 5P ,则 PQ 的值可能为( ) A.1 B.7 C.13 D.15 4.等比数列 na 的各项均为正数,若 1 2 3 7a a a , 4 3 22a a a ,则 7 8 9a a a ( ) A.588 B.448 C.896 D.224 5.已知正四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为 7 6 3 , 2AB , 1 1 1A B ,则 1AA 与底面 ABCD 所成角的正切值为( ) A. 3 2 B. 3 C. 2 3 D.4 6.已知 ABCV 是边长为 1的正三角形, 1 , 3 AN NC P 是 BN 上一点且 2 9 AP m AB AC , 则 AP AB ( ) 第 1页,共 2页 A. 2 9 B. 1 9 C. 2 3 D.1 7.已知函数 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 cos sin 2 1 ( 0) , 2 f x x x f x f x x x 的最小值为 2 3 , 则 ( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.3 8.已知 1 2 ln 3 1 2 ln 5 ln 2, , 2 3 2 2 5 a b c ,则( ) A. c b a B. b a c C. a b c D. a c b 二.多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9.下列说法正确的是( ) A.若数列 na 前 n 项和 nS 满足 2 1 n S n ,则 2 1na n B.在等差数列 na 中,满足 1 20a , 1 0 1 6S S ,则其前 n 项和 nS 中 1 3S 最大 C.在等差数列 na 中,满足 5 3a ,则数列 na 的前 9项和为定值 D.若等差数列 na 中, 1 0a , 4 1 2S S ,则使 0nS 的最大的 n 为 15 10.定义在 R 上的偶函数 f x 满足 1f x f x ,且在 1 , 0 上是增函数,下列关于 f x 的判断正确的是( ) A. f x 是周期函数 B. f x 关于直线 1x 对称 C. f x 在 0, 1 上是增函数 D. 2 0f f 11.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨 匠,阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点 ,A B 的距离之比为定值 ( 0 ,且 1 ) 的点的 轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 xO y 中, 2, 0 , 4, 0A B ,点 P 满 足 1 2 PA PB .设点 P 的轨迹为曲线C ,则下列说法正确的是( ) A.C 的方程为 2 2( 4) 1 6x y B.点 ,A B 都在曲线C 内部 C.当 , ,A B P 三点不共线时,则 APO BPO D.若 2, 2D ,则 2PB PD 的最小值为 4 5 第 1页,共 2页 第 卷(非选择题 共 92分) 三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 12.若圆柱的底面半径为 1,且表面积是侧面积的 2倍,则该圆柱的体积为 . 13.在平面直角坐标系 xO y 中,已知点 4, 0A ,点 B 是圆 2 2 : 2 4C x y 上任一点, 点 P 为 AB 的中点,若点 M 满足 2 2 58MA MO ,则线段 PM 长度的最大值为 . 14.面积为 1的 ABCV 满足 ,2 AB AC AD 为 BAC 的内角平分线且 D在线段 BC 上,当边 BC 的长度最短时, AD AC 的值是 . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本题共 13分)已知 ABCV 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c,且 3 si n cos 0a C c A c . (1)求 A ; (2)若 4a ,则 ABCV 面积为 2 3 ,求 b 、 c的值. 16.(本题共 15分)如图,四边形 ABCD 为梯形, / /AB CD ,四边形 AD E F 为平行四边 形. (1)求证: / /CE 平面 ABF ; (2)若 AB 平面 AD E F , AF AD , 1AF AD CD , 2AB ,求: ( )二面角 A BF C 的余弦值; ( )点 D 到平面 BC F 的距离. 第 1页,共 2页 17.(本题共 15分)已知函数 e 1 ( ) ln ( R ) x f x a x a x . (1)当 0a 时,证明: ( ) 1f x ; (2)若 ( )f x 在区间 (1 , ) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. 18.(本题共 17分)平面直角坐标系 xO y 中,点 2, 4P ,圆 2 2: 4O x y 与 x 轴正半轴 交于点Q . (1)求过点 P 且斜率为1 的直线被圆O 截得的弦长; (2)求过点 P 与圆O 相切的直线方程; (3)过点 P 的直线与圆O 交于不同的两点 ,A B ,判断直线 QA,QB的斜率之和是否为定值, 若是则求出该定值,若不是则说明理由. 19.(本题共 17分)在等差数列 na 中, 2 1 31 , 3a a a . (1)求 na 的通项公式; (2)若数列 nb 满足 2 e n a n b ,其前 n 项和为 nQ ,证明:数列 nb 为等比数列,且 * 2 1 2 n n n Q Q Q n N ; (3)证明:当 q p Z 时, *n N ,数列 pn q ( ,p q为正常数)的前 n 项和也为这个数列 中的某一项.