精品解析：江苏省苏州市相城区苏州国裕外语学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

苏州国裕外语学校2024-2025学年第一学期高一年级检测试卷 数学学科 2024.12 （ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、、与、，根据零点存在定理即可求解. 【详解】由题意知函数在R上单调递增， ，， ，，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 3. 已知半径为3的扇形圆心角是，则该圆心角所对弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接代入弧长公式计算即可. 【详解】该圆心角所对弧长为. 故选：A. 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式. 【详解】令，则且，所以，因此. 故选：A. 5. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果. 【详解】由题意可知， 则， 当且仅当，时， 的最小值为， 故选:A． 6. “”是“函数在上单调递增”的（     ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以时，恒成立，且在上单调递增， 所以， 则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 设方程和方程的根分别为，设函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解. 【详解】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即， 且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程， 从而. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，利用数形结合再由反函数的对称性得到方程的根或交点. 8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增， ，题意，所以. 对于方程，即， 两边除以得， 函数，在上单调递增， ，所以有唯一零点在区间， 所以方程有唯一解. 故选：B 【点睛】思路点睛： 设定函数并分析单调性：首先设定函数（换元法），并根据定义域和题目条件，分析函数的单调性. 利用零点存在性定理判断解的个数：结合函数的单调性和零点存在性定理，判断方程解的个数，从而得出最终结论. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，然后针对是否为空集进行讨论求解即可. 【详解】因为，． 当时，，符合题意； 当时，，所以或，解得或． 所以m的值为或或． 故选：ABD． 10. 下列结论正确的有（     ） A. 已知，则 B. 已知扇形的弧长为，面积为，则该弧所对弦长为 C. 已知，则3 D. 若函数的值域为，则实数的范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据换底公式即可求解AC；根据扇形面积公式即可求解B；设，则函数在上的值域为等价于可以取遍上的所有实数，结合对勾函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，设扇形的半径为R，由扇形的面积，解得：R＝1， 则扇形的圆心角，则弧所对弦长为，B正确； 对于C，， 则．C正确； 对于D，设，则函数在上的值域为等价于可以取遍上的所有实数， 又，结合对勾函数性质可知， 因为的值域为，所以， 解得：且， 所以实数的取值范围是，故D错误， 故选：BC 11. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减，在区间上单调递增 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于，令，可得，正确；对于，令，可得，正确；对于，利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，错误；对于,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断. 【详解】对于，令，得，即，正确； 对于，令，得，因为，所以，正确； 对于，对任意，则， 所以，所以在上单调递增，错误； 对于，又， 所以原不等式等价于， 因为在上单调递增，所以，解得正确. 故选： 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知为定义域在上的偶函数，当时，则=______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的性质求出当时的解析式即可求解. 【详解】当，时，因为函数为偶函数， 所以，即时，， 因为，所以， 故答案为：2 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数的图象与性质求出，运用函数的单调性解不等式. 【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， ，解得， ，或 当时，，其图象关于y轴对称，不满足题意； 当时，，其图象关于原点对称，满足题意， 不等式可化为 函数是定义域为的减函数， ，解得， 即实数a的取值范围是 故答案为：. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数，讨论单调性即可求解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 作出函数的图象如下，    令可得，当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以函数的图象与直线有个交点， 分别为， 因为有四个不同的解且， 所以，且，且， ， 又因为，， 所以，即， 所以， 所以，且， 因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以. 故答案为：. 四、简答题（共5小题，满分77分） 15. 设集合，． （1），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得集合然后根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. （2）根据，对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 对于集合，由解得，所以. 由是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 故（且两个等号不同时成立），所以， 即实数m的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，所以，满足题意， 当时，，解得， 综上，实数m的取值范围为． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （3）； 【解析】 【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出. （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 所以得， 又因为，所以， 经检验，当，时，是奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 17. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）选择函数模型②， （3）961 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得的值. （2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式. （3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案. 【小问1详解】 因为第15天的日销售收入为1057元， 所以，解得. 【小问2详解】 由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①；③；④都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，解得，，. 所以日销售量与时间的变化关系为. 【小问3详解】 由（2）知 所以 即. 当，时，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 当，时，单调递减， 所以. 综上所述：当时，取得最小值，最小值为961. 18. 已知双曲函数，. （1）证明： （2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. （3）若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 双曲函数，, 则. （2）单调递增，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得. （2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式. （3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 不等式， 当时，，则， 依题意，，恒成立，令，， ，函数在上单调递增， 则当时，，因此，即当时，取得最大值，则， 所以实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 19. 定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”. （1）判断是否为“型函数”?并说明理由； （2）若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值； （3）若函数，是“型函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断. （2）根据的定义域求得的范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围. （3）对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 首先函数定义域为， 则，解得. 由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增. 所以只需对恒成立即可. 所以，即的最小值为1. 【小问3详解】 由题是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. 【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州国裕外语学校2024-2025学年第一学期高一年级检测试卷 数学学科 2024.12 （ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知半径为3的扇形圆心角是，则该圆心角所对弧长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 6. “”是“函数在上单调递增”的（     ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 7. 设方程和方程的根分别为，设函数，则（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知集合，且，则实数m的值可以为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 10. 下列结论正确的有（     ） A. 已知，则 B. 已知扇形的弧长为，面积为，则该弧所对弦长为 C. 已知，则3 D. 若函数的值域为，则实数的范围是 11. 已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减，在区间上单调递增 D. 不等式的解集是 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知为定义域在上的偶函数，当时，则=______. 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，且，则的最小值为_____. 四、简答题（共5小题，满分77分） 15. 设集合，． （1），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求的取值范围． 17. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 18. 已知双曲函数，. （1）证明： （2）判断函数的单调性（不用证明），并解关于x的不等式. （3）若，不等式成立，求实数的取值范围. 19. 定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”. （1）判断是否为“型函数”?并说明理由； （2）若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值； （3）若函数，是“型函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $