精品解析：辽宁省辽阳市第二中学教育集团2024-2025学年九年级上学期阶段验收数学试卷

2024-2025学年度（上）九年级阶段验收 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中，菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 4. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 5. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，，，则等于（ ） A. 6 B. 16 C. 12 D. 4 9. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，则_____． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 13. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 14. 如图，正方形的顶点， 在x轴上，点，正方形的中心为点，点，，，分别在，，，边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点，则 的值为__________． 15. 如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 太谷区中小学生展开“晋商故里，大美晋中”主题研学活动，太谷区八年级选取了四个研学基地： A．左权“走进桐峪1941博物馆”； B．介休“张壁古堡－－千年古堡”； C．祁县“元盛德手工老醋坊”； D．太谷“鑫炳记产业文化园”． 为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为________； （4）若该校有1200名学生，请估计喜欢D的学生人数有多少人． 18. 野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 19. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 20. 图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． （2）数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 21. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量与销售单价的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出关于的函数表达式____________________． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润=总销售额总成本）为元，求总利润（元）与销售单价（元）的函数表达式． （3）该商铺想要使销售这批商品的利润能达到4000元，则销售单价（元）应定为多少元？ 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 23. 【定义】 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“纵横值”为； 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为__________； 求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为，求的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）九年级阶段验收 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 2. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 3. 下列性质中，菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题关键．由菱形的性质进行判断可求解． 【详解】解：∵菱形的对边平行且相等，对角线互相平分且垂直， ∴对角线相等不是菱形的性质， 故选：A． 4. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0， 解得：m=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程． 5. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 ，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率 2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 6. 如图，已知，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，推出，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得出求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似， ∴， ∴与的位似比为1：3， ∵点， ∴F点的坐标为， 即F点的坐标为（3，9）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出与的位似比是解题的关键． 8. 已知在中，，，，则 等于（ ） A. 6 B. 16 C. 12 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据角度的正切值求线段长度，熟记正切的定义：正切 ，即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴ 故选：B 9. 将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，求出新的解析式即可． 【详解】解：由题意，新的解析式为； 故选B． 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想． 根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， 图象与y轴交点在y轴负半轴， ， ，①错误； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大； 故③正确， 抛物线对称轴为，，， 点比点到对称轴的距离相等， ，故④正确； 综上可知，正确的有②③④． 故选B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．当时，方程有两个相等的实数根．当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有实数根，，且，然后解两个不等式得到a的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 13. 已知抛物线的顶点在轴上，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由顶点在轴上可知抛物线的对称轴为轴，即直线，据此即可求解，掌握二次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线的对称轴为轴，即直线， ∴， 故答案为：． 14. 如图，正方形的顶点，在x轴上，点，正方形的中心为点，点 ， ， ，分别在，， ，边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，作，根据点D坐标求出点M坐标即可解答． 【详解】解：∵点， ∴， ∴， ∴， 作，如图， ∵正方形的中心为点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点 在上时，有最小值, 即有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点 在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度三角函数的混合运算和分式的混合运算． （1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂，0次幂化简，再进行计算即可； （2）先将括号内通分，再把除法改写为乘法，最后按照有理数混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 17. 太谷区中小学生展开“晋商故里，大美晋中”主题研学活动，太谷区八年级选取了四个研学基地： A．左权“走进桐峪1941博物馆”； B．介休“张壁古堡－－千年古堡”； C．祁县“元盛德手工老醋坊”； D．太谷“鑫炳记产业文化园”． 为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为________； （4）若该校有1200名学生，请估计喜欢D的学生人数有多少人． 【答案】（1） （2）补全条形统计图如图所示： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其占比即可求解； （2）根据抽取的总人数求出选项的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以选项的占比即可求解； （4）用该校的总人数乘以选项的占比即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：（人）， 故答案为： ； 【小问2详解】 选项的人数：（人）， 图略； 【小问3详解】 选项所在扇形的圆心角度数为：． 【小问4详解】 该校喜欢的学生人数为：（人）． 18. 野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求 的值． （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】（1）60 （2）至少购进B品牌100袋 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键． （1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可； （2）设购进B为m袋，A为袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 经检验：是原方程的解． 答：x的值为60． 【小问2详解】 解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得： ， 解得：． 答：至少购进B品牌100袋． 19. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据， ，即可求证； （2）先通过菱形的性质及勾股定理求解到的长，再通过勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 20. 图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． （2）数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 【答案】（1） 王老师能在有效识别距离内被识别． 理由：假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P， 由题意，得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴王老师能在有效识别距离内被识别； （2）张老师离摄像头水平距离的最小值约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键； （1）假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P，再利用锐角三角函数求解，再进一步可得结论； （2）假定张老师站在考勤机前F处，头部下颌正好在俯角线上，过点F作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点Q，再利用锐角三角函数求解，再进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：假定张老师站在考勤机前F处，头部下颌正好在俯角线上，过点F作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点Q， 由题意，得，， ， 同（1）， ∴，即整个头部在摄像头视角范围内， 在中，∵，， ∴， ∴， 答：张老师离摄像头水平距离的最小值约为． 21. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量与销售单价的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出关于 的函数表达式____________________． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润=总销售额总成本）为元，求总利润（元）与销售单价 （元）的函数表达式． （3）该商铺想要使销售这批商品的利润能达到4000元，则销售单价 （元）应定为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）销售价为60元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）设该直线的解析式为，把代入求出k和b的值即可； （2）根据总利润等于单件利润×数量，即可列出总利润（元）与销售单价 （元）的函数表达式； （3）把代入（2）中的表达式，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：设该直线的解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴该直线的解析式为； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， 解得：， （舍） 答：销售价为60元． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为 ．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边 ，上，将矩形沿， 折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据正方形和折叠的性质求出，可得答案； 对于（2），根据正方形和折叠的性质说明 是等腰直角三角形，进而求出，然后证明，再求出，，可设，根据求出a，即可得出答案； 对于（3，）作正方形，先说明 ，可求出，再由（1）可知：，然后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，． ，即， . （2）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，，， ． 由（1）可知：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， （ASA）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， 解得：， ， ； （3）如图3中，在上取一点J，使得，过点J作于点T，交 于点K，连接，得正方形， 当时，，， ， ， ， ， ， 由（1）可知：，则， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，作出辅助线是解题的关键． 23. 【定义】 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标 的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“纵横值”为； 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为__________； 求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为 ，求的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为，直接写出 的值． 【答案】（1） ，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． 根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵值”的定义计算即可； 根据“最优纵值”的定义可知，可以得到； 根据“最优纵值”的定义可知，可知当时，有最大值，所以可得 不在之内，所以或，分两种情况求 的值． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为， 故答案为： ； 函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优纵横值”为； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， 最优纵横值为 ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， 当时，有最大值， 当时，， 解得：或（舍）； 当时，，解得（舍）或； 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $