第19讲 角（7大考点+题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第19讲 角 课程标准 学习目标 1 理解角的概念，包括静态和动态定义，掌握角的表示方法与度量单位。 2 能进行角的运算，如度分秒的换算、角的和差计算，以及运用角平分线等知识解题。 3 培养学生利用角的知识解决几何图形中角度相关问题的能力。 1. 熟悉角的多种定义、表示形式，牢记角的度量衡换算规则。 2. 会精确计算角的度数，灵活运用角平分线等性质解决几何图形里的角的问题。 3. 体会角在几何世界中的重要性，激发进一步探索几何图形奥秘的热情。 知识点一、角 1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边. 3. 平角与周角 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线； 4.两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关. 5.角的表示方法 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示 用数字表示 ∠1 在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用 用希腊字母表示 PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角. 知识点二、角的度量单位和换算 1.角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角. 2.角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点： （1）对中：顶点对准量角器的中心； （2）重合：一边与量角器的零刻度线重合； （3）读数：读出另一边所在线对应的度数. 知识点三、比较角的大小 1.度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 2.叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 知识点三、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 1.正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； 2.方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； 3.在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； 4.图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点. 知识点四、余角和补角 1.余角：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角. 2.补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角. 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关. ， . （1）互余、互补指的是两个角之间的数量关系，它们是成对出现的，单独一个角不能说互余或互补； （2）若互余，则，若互补，则； （3）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角，另一个是钝角； （4）钝角没有余角； （5）一个角的余角（补角）可以有多个，且度数都是相等的. 3.余角和补角的性质 （1）余角的性质：同角（等角）的余角相等； （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等； （3）如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 知识点五、比较角的大小 1.度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 2.叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 补充：角的和、差 1.两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差； 2.在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 知识点六、角的画法 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 （1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； （2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’； （3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’； （4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角. 知识点七、角的平分线 如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线. PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线. 如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部. 题型01 角的概念 1．下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的有（　　） ①过两点有且只有一条直线； ②连接两点的线段叫两点的距离； ③有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； ④如果AB＝BC，则点B是AC的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，则图中共有 　　个角． 题型02 角度的运算 1．计算：48°47'+53°35'＝　 ． 2．38°36'＝　 　°． 3．12°15′36″＝　 　°．（将度分秒转化成度） 4．计算：15°37′+42°51′＝　 　． 题型03 钟面角 1．“铃铃铃”上课铃声响了，小明一看时间是下午2点30分，如果一节课是45分钟，那么下课时刻分针和时针的夹角大小是（　　） A．15° B．7.5° C．5° D．0° 2．12：10时针和分针所夹的较小角为（　　） A．平角 B．钝角 C．直角 D．锐角 3．如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 　　°． 4．钟面上的时间走到4时45分，此时时针与分针的夹角是 　°． 题型04 余角和补角 1．若∠1＝43°，则∠1的余角是（　　） A．43° B．47° C．57° D．137° 2．若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则∠α为（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 3．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOD与∠COD互补 题型05 角平分线的应用 1．如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．不能确定 2．如图，O是AB上一点，OD平分∠BOC，∠1＝20°，∠2的度数是 　． 3．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数． 4．已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 　 　． （2）探求∠MON和∠AOB的等量关系． 题型06 尺规作图 1．如图，尺规作图保留了痕迹，我们得到的∠AOB＝72°，那么∠α的度数为 　　． 2．已知：如图，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC． （1）以射线OD为一边，在∠AOD的外部作∠DOE，使∠DOE＝COD；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若∠AOE＝105°10′，求∠AOD的大小． 3．如图，已知∠α和∠β，∠α＜∠β．用直尺和圆规作两个角，使其大小分别为∠β﹣∠α，2∠α． 题型07 关于角的规律探究 1．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在∠MON内画一条射线，观察发现图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；按照此规律，在∠MON内画15条射线时，则图中角的个数是（　　） A．256 B．231 C．153 D．136 2．如图1，已知线段AB＝44cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝10cm，则EF＝　　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝75°，∠COD＝35°，求∠AOB的度数． 3．【思路导引】 几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】 已知：∠AOB是由射线OA绕点O旋转而成，始边OA与终边OB所成的角的度数为α（α为锐角），射线OE，OF绕点O运动． 【特例感知】 （1）如图1，射线OE是∠AOB的角平分线，若α＝54°，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在∠AOB的内部时，射线OM平分∠AOE，射线ON平分∠BOE，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】 （3）射线OF、射线OA绕点O运动到直线OB上方，且射线OF与射线OB在射线OA的两侧，∠BOF的度数为n（α＜n＜180°），射线OE在∠BOF的内部，∠AOE的度数为m，OM平分∠AOF，求∠MOE的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 1．用一副直角三角板，不能画出的角是（　　） A．15° B．75° C．145° D．165° 2．如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∠AOD＝148°，则∠BOC的度数为（　　） A．122° B．132° C．128° D．138° 3．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图所示，已知点O是直线CD上的一点，∠AOC＝30°，OB平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 5．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上顺次排列的四点，连接OA，OM，OC，OB，ON，OD，在下列结论中： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝4∠COB，则∠MON（∠MOC+∠BON）； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．比较大小：60.5° 　 　60°30′（用“＞”“＜”“＝”填空）． 7．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为 　 　度． 8．如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，以下四个结论：①；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF；③∠AOD＝∠BOC；④．其中正确的结论有 　 　（填序号）． 9．如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于　 　°． 10．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝　 　°．（用含n的代数式表示） 11．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， （1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数； （2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数； （3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由． 12．已知：如图，OC是∠AOB的平分线． （1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数； （2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数； （3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示） 13．（1）如图所示，已知∠AOB＝90°，按以下要求画图：以O为顶点，OB为一边作∠BOC＝30°，再作射线OM平分∠AOC、ON平分∠BOC． （2）求你所画出的图中的∠MON的度数； （3）若（1）中的∠AOB＝α，∠BOC＝β，直接写出∠MON的度数（用关于α和β的代数式表示）． 14．已知∠AOC与∠BOD具有公共顶点，∠COD是两个角叠合的部分． （1）观察图形（一）并完成下列问题： 若∠AOC＝∠BOD＝90°， ①直接写出图中两个相等的锐角：　 　＝　 　； ②如果∠COD＝40°，则∠AOB＝　 　，若∠AOB＝150°，则∠COD＝　 　； ③猜想∠AOB+∠DOC＝　 　°，请说明理由． （2）探究图形（二）：若∠AOC＝60°，∠BOD＝50°，则∠AOB+∠DOC＝　 　°，请说明理由． 15．已知∠AOD＝150°． （Ⅰ）如图1，∠AOC＝∠BOD＝90°， ①∠BOC的余角是 　 　，比较∠AOB 　 　∠COD（填＞，＝或＜），理由：　 　； ②求∠BOC＝　 　； （Ⅱ）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角， ①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数； ②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 角 课程标准 学习目标 1 理解角的概念，包括静态和动态定义，掌握角的表示方法与度量单位。 2 能进行角的运算，如度分秒的换算、角的和差计算，以及运用角平分线等知识解题。 3 培养学生利用角的知识解决几何图形中角度相关问题的能力。 1. 熟悉角的多种定义、表示形式，牢记角的度量衡换算规则。 2. 会精确计算角的度数，灵活运用角平分线等性质解决几何图形里的角的问题。 3. 体会角在几何世界中的重要性，激发进一步探索几何图形奥秘的热情。 知识点一、角 1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 2.动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边. 3. 平角与周角 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线； 4.两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关. 5.角的表示方法 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 ∠AOB或∠BOA 任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间 用一个大写字母表示 ∠O 当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示 用数字表示 ∠1 在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用 用希腊字母表示 PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角. 知识点二、角的度量单位和换算 1.角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角. 2.角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点： （1）对中：顶点对准量角器的中心； （2）重合：一边与量角器的零刻度线重合； （3）读数：读出另一边所在线对应的度数. 知识点三、比较角的大小 1.度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 2.叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 知识点三、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 1.正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示； 2.方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”； 3.在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向； 4.图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点. 知识点四、余角和补角 1.余角：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角. 2.补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角. 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关. ， . （1）互余、互补指的是两个角之间的数量关系，它们是成对出现的，单独一个角不能说互余或互补； （2）若互余，则，若互补，则； （3）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角，另一个是钝角； （4）钝角没有余角； （5）一个角的余角（补角）可以有多个，且度数都是相等的. 3.余角和补角的性质 （1）余角的性质：同角（等角）的余角相等； （2）补角的性质：同角（等角）的补角相等； （3）如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 知识点五、比较角的大小 1.度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小； 2.叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 补充：角的和、差 1.两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差； 2.在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 知识点六、角的画法 1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角. 2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角. 3.用圆规和直尺作一个角等于已知角 （1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； （2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’； （3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’； （4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角. 知识点七、角的平分线 如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线. PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线. 如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部. 题型01 角的概念 1．下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误； B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误； D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力． 2．下列说法中正确的有（　　） ①过两点有且只有一条直线； ②连接两点的线段叫两点的距离； ③有公共端点的两条射线组成的图形叫做角； ④如果AB＝BC，则点B是AC的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相关概念解答即可． 【解答】解：①过两点有且只有一条直线，故①正确； ②连接两点的线段的长度叫两点的距离，故②错误； ③有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故③正确； ④若AB＝BC若点B在线段AC上，则点B是AC的中点，故④错误， 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查线段、角、直线的性质等知识，掌握基础知识是关键． 3．如图，则图中共有 　　个角． 【分析】图中找角时要不重不漏，以OA为一边分别和OB，OC，OD组成3个角，再以OB为一边和OC，OD组成两个角，最后OC，OD两边组成一个角．共6个角． 【解答】解：图中角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，共6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了角的概念，复杂图形中识别角，关键是不重不漏． 题型02 角度的运算 1．计算：48°47'+53°35'＝　 ． 【分析】利用1°＝60′，1′＝60″进行计算即可． 【解答】解：48°47'+53°35'＝101°82′＝102°22′， 故答案为：102°22′． 【点评】本题考查了度、分、秒的互化，掌握进制关系是解决本题的关键． 2．38°36'＝　 　°． 【分析】根据度分秒的进制进行计算即可． 【解答】解：∵36′＝0.6°， ∴38°36'＝38.6°． 故答案为：38.6． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒是60进制是解题的关键． 3．12°15′36″＝　 　°．（将度分秒转化成度） 【分析】根据度、分、秒间的进制是60进行解答． 【解答】解：12°15′36″＝（12）°＝12.26°． 故答案为：12.26． 【点评】考查了度分秒的换算，单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 4．计算：15°37′+42°51′＝　 　． 【分析】把分相加，超过60的部分进为1度即可得解． 【解答】解：∵37+51＝88， ∴15°37′+42°51′＝58°28′． 故答案为：58°28′． 【点评】本题考查了度分秒的换算，比较简单，要注意度分秒是60进制． 题型03 钟面角 1．“铃铃铃”上课铃声响了，小明一看时间是下午2点30分，如果一节课是45分钟，那么下课时刻分针和时针的夹角大小是（　　） A．15° B．7.5° C．5° D．0° 【分析】先求出下课的时间，然后根据时针1分钟转0.5°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：下课时的时间为：下午3点15分， ∴下课时刻分针和时针的夹角＝15×0.5°＝7.5°， 故选：B． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时针1分钟转0.5°是解题的关键． 2．12：10时针和分针所夹的较小角为（　　） A．平角 B．钝角 C．直角 D．锐角 【分析】根据钟面角的定义求出12：10时针和分针所夹的较小角的度数即可． 【解答】解：如图，由钟面角的定义可知， ∠AOC＝∠COD30°， ∠AOB＝305°， ∴∠BOD＝30°×2﹣5°＝55°， 即12：10时针和分针所夹的较小角是55°， 故选：D． 【点评】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． 3．如图所示，钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角的度数是 　　°． 【分析】根据时钟上一大格是30度进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：2.5×30°＝75°， ∴钟表上的时间下午3：30时，时针与分针之间所成的角是75°， 故答案为：75． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30度是解题的关键． 4．钟面上的时间走到4时45分，此时时针与分针的夹角是 　°． 【分析】钟面上有12个大格，每个大格是30°，4时45分时，时针指向4和5之间，分针指向9，时针和分针之间有4个大格和个大格，用4乘30°，再加上乘30°，即可求出时针和分针的夹角． 【解答】解：4 ＝120°+7.5° ＝127.5°． 故答案为：127.5． 【点评】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键． 题型04 余角和补角 1．若∠1＝43°，则∠1的余角是（　　） A．43° B．47° C．57° D．137° 【分析】利用互为余角的两角之和为90°，从而可求解． 【解答】解：∵∠1＝43°， ∴∠1的余角为：90°﹣∠1＝47°． 故选：B． 【点评】本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为90°． 2．若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则∠α为（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【分析】先用∠α表示出这个角的余角∠β为（90°﹣∠α），再根据∠β是∠α的2倍列方程求解． 【解答】解：根据题意列方程的：90°﹣∠α＝2∠α； 解得：∠α＝30°． 故选：B． 【点评】本题主要考查余角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余． 3．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下列说法错误的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOD与∠COD互补 【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解． 【解答】解：∵∠COB＝∠EOD＝90°， ∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°， ∴∠1＝∠2，故A选项正确； ∵∠AOE+∠1＝90°， ∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确； ∵∠AOD+∠2＝180°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠AOD+∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确； 无法判断∠AOD与∠COD是否互余，D选项错误； 故选：D． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线等知识，掌握角的计算是关键． 题型05 角平分线的应用 1．如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．不能确定 【分析】由角平分线的定义得∠MOC∠AOM，∠MOD∠BOM，再利用和角关系即可求得结果． 【解答】解：∵OC平分∠AOM，OD平分∠BOM， ∴∠MOC∠AOM，∠MOD∠BOM， ∴∠COD＝∠MOC+∠MOD∠AOM∠BOM（∠AOM+∠BOM）180°＝90°． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系等知识，关键是结合图形灵活运用角的和差关系达到求角的目的． 2．如图，O是AB上一点，OD平分∠BOC，∠1＝20°，∠2的度数是 　． 【分析】首先根据邻补角的定义得到∠BOC＝150°，然后由角平分线的定义求得∠2∠BOC． 【解答】解：∵∠1＝20°，∠1+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝160°， 又∵OD平分∠BOC， ∴∠2∠BOC＝80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查了角平分线的定义．正确看出题中隐含∠1+∠BOC＝180°的条件是解题关键． 3．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数． 【分析】先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB ∴∠BOE＝45° 又∵∠EOF＝60° ∴∠FOB＝60°﹣45°＝15° ∵OF平分∠BOC ∴∠COB＝2×15°＝30° ∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120° 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键．注意：也可以根据∠AOC的度数是∠EOF度数的2倍进行求解． 4．已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． （1）如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 　 　． （2）探求∠MON和∠AOB的等量关系． 【分析】（1）①根据题意补全图； ②根AOM∠AOC60°＝20°，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数； （2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）AOB，从而得出答案． 【解答】解：（1）①依题意补全图1 图1 ②AOM∠AOC60°＝20°， ∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°； （2）． ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线， ∵，， ∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON） ＝∠AOB ． 【点评】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键． 题型06 尺规作图 1．如图，尺规作图保留了痕迹，我们得到的∠AOB＝72°，那么∠α的度数为 　　． 【分析】由尺规作图可得∠AOB＝2∠α，由此可得2∠α＝72°，据此可求出∠α的度数． 【解答】解：由尺规作图可知：∠AOB＝2∠α， ∴2∠α＝72°， ∴∠α＝36°． 故答案为：36°． 【点评】此题主要考查了角度的计算，尺规作图，读懂尺规作图是解决问题的关键． 2．已知：如图，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC． （1）以射线OD为一边，在∠AOD的外部作∠DOE，使∠DOE＝COD；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若∠AOE＝105°10′，求∠AOD的大小． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图法作出图形便可； （2）根据角平分线求得∠AOC，再根据角的和差求得∠COE，进而由角和差求得∠AOD便可． 【解答】解：（1）作图如下： （2）∵∠AOB＝20°，OB平分∠AOC． ∴∠AOC＝2∠AOB＝40°， ∵∠AOE＝105°10′， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝65°10′， ∵∠DOE＝∠COD， ∴∠COD32°35′， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝72°35′． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，角的和差计算等知识，解题的关键是应用角的和差解题． 3．如图，已知∠α和∠β，∠α＜∠β．用直尺和圆规作两个角，使其大小分别为∠β﹣∠α，2∠α． 【分析】先作∠AOB＝∠β，再在∠AOB的内部作∠BOC＝∠α，则∠AOC的大小即为∠β﹣∠α；先作∠DEF＝∠α，再在∠DEF的外部作∠GED＝∠α，则∠GEF的大小即为2∠α． 【解答】解：如图，先作∠AOB＝∠β，再在∠AOB的内部作∠BOC＝∠α，则∠AOC＝∠β﹣∠α． 先作∠DEF＝∠α，再在∠DEF的外部作∠GED＝∠α，则∠GEF＝2∠α． 【点评】本题考查作图—复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 题型07 关于角的规律探究 1．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在∠MON内画一条射线，观察发现图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；按照此规律，在∠MON内画15条射线时，则图中角的个数是（　　） A．256 B．231 C．153 D．136 【分析】根据角的定义，分析在∠MON内画一条、两条、三条射线时角的数量变化，找出规律，进而解决此题． 【解答】解：在∠MON内画一条射线时，则图中角的个数为2+1＝3（个）； 在∠MON内画两条射线时，则图中角的个数为3+2+1＝6（个）； 在∠MON内画三条射线时，则图中角的个数为4+3+2+1＝10（个）； … 以此类推，在∠MON内画15条射线时，则图中角的个数为16+15+14+…+3+2+1＝136（个）． 故选：D． 【点评】本题主要考查角的概念，图形的变化规律，熟练掌握角的定义、特殊到一般的数学思想是解决本题的关键． 2．如图1，已知线段AB＝44cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝10cm，则EF＝　　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝75°，∠COD＝35°，求∠AOB的度数． 【分析】（1）由AC＝10cm，CD＝4cm，可得BD＝AB﹣AC﹣CD的长度，∵根据线段中点的性质可得，即可算出EC，DF的长度，根据EF＝EC+CD+DF代入计算即可得出答案； （2）根据线段中点的性质可得，EC，DF，由EF＝EC+CD+DF＝EC，可得（AB﹣CD）+CD，代入计算即可得出答案； （3）由角平分线的定义可得，∠AOC＝2∠EOC，∠BOD＝2∠DOF，根据∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD，可得2∠EOC+∠COD+2∠DOF，即可得出2（∠EOC+∠COD+∠DOF）﹣∠COD，即2∠EOF﹣∠COD，代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AC＝10cm，CD＝4cm， ∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝44﹣10﹣4＝30cm， ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴EC5（cm），DF15（cm）， ∴EF＝EC+CD+DF＝5+4+15＝24（cm）； 故答案为：24； （2）线段EF的长度不会发生变化；理由如下： ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴EC，DF， ∴EF＝EC+CD+DF＝EC（AB﹣CD）+CD24； （3）∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠AOC＝2∠EOC，∠BOD＝2∠DOF， ∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD ＝2∠EOC+∠COD+2∠DOF ＝2（∠EOC+∠COD+∠DOF）﹣∠COD ＝2∠EOF﹣∠COD ＝2×75°﹣35° ＝115°． 【点评】本题主要考查了角的计算，两点间的距离，熟练掌握角的计算及两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键． 3．【思路导引】 几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】 已知：∠AOB是由射线OA绕点O旋转而成，始边OA与终边OB所成的角的度数为α（α为锐角），射线OE，OF绕点O运动． 【特例感知】 （1）如图1，射线OE是∠AOB的角平分线，若α＝54°，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在∠AOB的内部时，射线OM平分∠AOE，射线ON平分∠BOE，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】 （3）射线OF、射线OA绕点O运动到直线OB上方，且射线OF与射线OB在射线OA的两侧，∠BOF的度数为n（α＜n＜180°），射线OE在∠BOF的内部，∠AOE的度数为m，OM平分∠AOF，求∠MOE的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的定义得出∠MOE，∠NOE，即可得出∠MON＝∠MOE+∠NOE，从而求出∠MON的度数； （3）先求出∠AOF的度数，根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，再根据图形分情况讨论计算即可． 【解答】解：（1）∵射线OE是∠AOB的角平分线， ∴∠AOE， ∵α＝54°， ∴∠AOB＝54°， ∴∠AOE； （2）∵射线OM平分∠AOE，射线ON平分∠BOE， ∴∠MOE，∠NOE， ∴∠MON ＝∠MOE+∠NOE ； （3）如图3， ∵∠BOF＝n，∠AOB＝α， ∴∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝n﹣α， ∵OM平分∠AOF， ∴∠AOM， ∵∠AOE＝m， ∴∠MOE＝∠AOM+∠AOE； 如图4， ∵∠BOF＝n，∠AOB＝α， ∴∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝n﹣α， ∵OM平分∠AOF， ∴∠AOM， ∵∠AOE＝m， ∴∠MOE＝∠AOM﹣∠AOE； 如图5， ∵∠BOF＝n，∠AOB＝α， ∴∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝n﹣α， ∵OM平分∠AOF， ∴∠AOM， ∵∠AOE＝m， ∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM； 综上，∠MOE的度数为或或． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论思想，观察图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 1．用一副直角三角板，不能画出的角是（　　） A．15° B．75° C．145° D．165° 【分析】先写出一副直角三角板的6个角的度数，然后看各个选项中的度数能否写成这6个度数的和差形式，能写出的就能画出这个角，不能写出的，就画不出这个角，进行解答即可． 【解答】解：一副直角三角板的6个角的度数分别为：30°，60°，90°，45°，45°，90°， A．∵45°﹣30°＝15°，∴用三角板能够画出15°的角，故此选项不符合题意； B．∵30°+45°＝75°，∴用三角板能够画出75°的角，故此选项不符合题意； C．∵90°+55°＝45°+30°+70°＝60°+45°+40°＝145°，∴用三角板能够不能画出145°的角，故此选项符合题意； D．∵90°+45°+30°＝165°，∴用三角板能够画出165°的角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了有关角的计算，解题关键是熟练掌握利用三角板画一个角等于已知角． 2．如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∠AOD＝148°，则∠BOC的度数为（　　） A．122° B．132° C．128° D．138° 【分析】再根据余角和补角的定义求解即可． 【解答】解：∵点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∠COD＝180°﹣（∠AOC+∠BOD） ＝180°﹣90° ＝90°， ∵∠AOD＝148°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣148° ＝32°， ∵∠BOC＝∠COD+∠BOD ＝90°+32° ＝122°， 故选：A． 【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 3．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据射线的定义和射线、直线没有长度极快判断①；根据两点间的距离的定义即可判断②，根据角的特点即可判断③，举出反例即可判断④． 【解答】解：∵射线是指直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形，没有长度，直线也没有长度，∴①的说法错误； ∵点A与点B的距离是指线段AB的长度，是一个数，而线段是一个图形，∴②错误； ∵角的大小与这个角的两边的长短无关，∴③错误； ∵当这两个锐角的度数是10°和20°时，10°+20°＝30°，30°的角是锐角，不是钝角，∴④错误； ∴正确的个数是0个， 故选：A． 【点评】本题考查了学生对角的定义，直线、射线的定义，两点间的距离的定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 4．如图所示，已知点O是直线CD上的一点，∠AOC＝30°，OB平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【分析】根据图示，求出∠AOD的度数，然后利用角平分线的性质，求出∠BOD的度数． 【解答】解：∵∠AOC＝30°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣30°＝150°， ∵OB平分∠AOD， ∴∠BOD∠AOD＝75°． 故选：A． 【点评】此题考查角的运算，运用了平角和角平分线的定义． 5．如图，点O为线段AD外一点，M，C，B，N为AD上顺次排列的四点，连接OA，OM，OC，OB，ON，OD，在下列结论中： ①以O为顶点的角有15个； ②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD＝4∠COB，则∠MON（∠MOC+∠BON）； ③若M为AB的中点，N为CD的中点，则； ④若MC＝CB，MN＝ND，则CD＝2CN． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据经过点O的射线共有6条即可得出以O为顶点的角的个数，据此可对结论①进行判断； ②设∠AOM＝α，∠DON＝β，∠COB＝θ，则∠MOC＝∠AOM＝α，∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠BON＝∠DON＝β，∠BOD＝2∠DON＝2β，进而得∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD＝2α+2β+θ，再根据∠AOD＝4∠COB得α+βθ，由此得∠MONθ，3/2（∠MOC+∠BON）θ，据此可对结论②进行判断； ③设MC＝a，CB＝b，BN＝c，则MB＝a+b，CN＝b+c，MN＝a+b+c，再根据线段中点的定义得AM＝MB＝a+b，ND＝CN＝b+c，进而得（AD﹣CB）＝a+b+c，据此可对结论③进行判断； ④设MC＝m，BN＝n，进而得MN＝2m+n，CN＝m+n，则2CN＝2m+2n，MN＝ND＝2m+n，由此得CD＝3m+2n，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵经过点O的射线共有6条， ∴以O为顶点的角共有：1+2+3+4+5＝15个， 故结论①正确； ②设∠AOM＝α，∠DON＝β，∠COB＝θ， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC＝∠AOM＝α，∠AOC＝2∠AOM＝2α， ∠BON＝∠DON＝β，∠BOD＝2∠DON＝2β， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD＝2α+2β+θ， ∵∠AOD＝4∠COB， ∴2α+2β+θ＝4θ， ∴α+βθ， ∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON＝α+θ+βθ， 又∵（∠MOC+∠BON）（α+β）θ， 故结论②不正确； ③设MC＝a，CB＝b，BN＝c， 则MB＝MC+CB＝a+b，CN＝CB+BN＝b+c，MN＝MC+CB+BN＝a+b+c， ∵M为AB的中点，N为CD的中点， ∴AM＝MB＝a+b，ND＝CN＝b+c， ∴AD＝AM+MN+ND＝a+b+a+b+c+b+c＝2a+3b+2c， ∴（AD﹣CB）（2a+3b+2c﹣b）＝a+b+c， ∴MN（AD﹣CB）， 故结论③正确； ④设MC＝m，BN＝n， ∴MC＝CB＝m， ∴MN＝MC+CB+BN＝2m+n，CN＝CB+BN＝m+n， ∴2CN＝2m+2n，MN＝ND＝2m+n， ∴CD＝CB+BN+ND＝m+n+2m+n＝3m+2n， ∴CD≠2CN． 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①③，共2个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，线段中点的定义，线段的计算和角的计算，准确识图，正确理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握线段的计算和角的计算是解决问题的关键． 6．比较大小：60.5° 　＝　60°30′（用“＞”“＜”“＝”填空）． 【分析】把两个度数统一单位，进而即可判断． 【解答】解：60.5°＝60°+0.5×60′＝60°30′， 故答案为：＝． 【点评】本题考查了角的度数的表示，正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键． 7．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为 　60　度． 【分析】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解． 【解答】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′ ∴∠A′BE＝∠ABE＝30°， ∠DBC＝∠DBC′ ∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180° ∴∠ABE+∠DBC＝90° ∴∠DBC＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了角的计算，用正确角分线是解决本题的关键． 8．如图，已知射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，以下四个结论：①；②2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF；③∠AOD＝∠BOC；④．其中正确的结论有 　①②④　（填序号）． 【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD＝∠BOC；④根据，得出∠EOF＝∠COD，∠COF+∠BOF＝2∠COD，即可得出结论． 【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB， ∴，， ， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∴， 即，故①正确； ②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF， ， ∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC， ∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正确； ③∠AOD与∠BOC不一定相等，故③错误； ④根据解析②可知，， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD， ∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键． 9．如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于　40　°． 【分析】设∠CON＝∠BON＝∠，∠MOC＝y，则∠MOB＝∠MOC+∠BOC＝2x+y＝∠AOM，∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝2x+y+y＝2（x+y）＝80°．而∠MON＝∠MOC+∠NOC＝x+y，即可求解． 【解答】解：∵ON平分∠BOC ∴∠CON＝∠BON 设∠CON＝∠BON＝x，∠MOC＝y 则∠MOB＝∠MOC+∠BOC＝2x+y 又∵OM平分∠AOB ∴∠AOM＝∠BOM＝2x+y ∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝2x+y+y＝2（x+y） ∵∠AOC＝80° ∴2（x+y）＝80°∴x+y＝40° ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝x+y＝40° 故答案为40°． 【点评】此题主要利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等． 10．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝　（）　°．（用含n的代数式表示） 【分析】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE的大小即可． 【解答】解：设∠BOE＝x°， ∵∠BOE∠BOC， ∴∠BOC＝nx°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx°， ∵∠BOD∠AOB（60°+nx°）x°， ∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOEx°﹣x°（）°， 故答案为：（）． 【点评】考查角的有关计算，通过图形找出各个角之间的关系是解决问题的关键，用代数的方法解决几何图形问题也是常用的方法． 11．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， （1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数； （2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数； （3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由． 【分析】本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明． 【解答】解：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35° ∴∠DCB＝90°﹣35°＝55° ∵∠ACD＝90° ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°． （2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90° ∴∠DCB＝140°﹣90°＝50° ∵∠ECB＝90° ∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°． （3）猜想得∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补） 理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90° ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB ∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB ∴∠ACB+∠DCE＝180°． 【点评】记忆三角板各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差． 12．已知：如图，OC是∠AOB的平分线． （1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数； （2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数； （3）当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示） 【分析】（1）直接由角平分线的意义得出答案即可； （2）分两种情况：OE在OC的上面，OE在OC的下面，利用角的和与差求得答案即可； （3）类比（2）中的答案得出结论即可． 【解答】解：（1）∵OC是∠AOB的平分线（已知）， ∴∠AOC∠AOB， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝30°． （2）∵OE⊥OC， ∴∠EOC＝90°， 如图1， ∠AOE＝∠COE+∠COA＝90°+30°＝120°． 如图2， ∠AOE＝∠COE﹣∠COA＝90°﹣30°＝60°． （3）∠AOE＝90°α或∠AOE＝90°α． 【点评】此题考查了角的计算，以及角平分线定义，分类考虑，类比推理是解决问题的关键． 13．（1）如图所示，已知∠AOB＝90°，按以下要求画图：以O为顶点，OB为一边作∠BOC＝30°，再作射线OM平分∠AOC、ON平分∠BOC． （2）求你所画出的图中的∠MON的度数； （3）若（1）中的∠AOB＝α，∠BOC＝β，直接写出∠MON的度数（用关于α和β的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据角平分线的以求出∠MOC与∠NOC的度数，然后相加减即可求出∠MON的度数； （3）根据两题的求解思路把具体数据换为α、β，然后整理即可得出规律． 【解答】解：（1）当OC在∠AOB内部时如图1，当OC在∠AOB外部时如图2； （2）①∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COMAOC，∠CON∠BOC， ∴∠MON＝∠COM+∠CON∠AOB＝45°， ②∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC120°＝60°， ∠NOC∠BOC30°＝15°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°﹣15°＝45°； （3）①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α﹣β， ∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠MOC∠AOC（α﹣β）， ∠CON∠BOCβ， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON（α﹣β）βα， 即∠MONα； ②∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β， ∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠MOC∠AOC（α+β）， ∠CON∠BOCβ， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON（α+β）βα， 即∠MONα． 【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键． 14．已知∠AOC与∠BOD具有公共顶点，∠COD是两个角叠合的部分． （1）观察图形（一）并完成下列问题： 若∠AOC＝∠BOD＝90°， ①直接写出图中两个相等的锐角：　∠AOD　＝　∠BOC　； ②如果∠COD＝40°，则∠AOB＝　140°　，若∠AOB＝150°，则∠COD＝　30°　； ③猜想∠AOB+∠DOC＝　180　°，请说明理由． （2）探究图形（二）：若∠AOC＝60°，∠BOD＝50°，则∠AOB+∠DOC＝　110　°，请说明理由． 【分析】（1）①利用等角的余角相等得出答案即可； ②③利用余角的意义和角的和与差计算即可； （2）利用角的和与差计算即可． 【解答】解：（1）①若∠AOC＝∠BOD＝90°， ∠AOD+∠COD＝∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC； ②∵∠COD＝40°， ∴∠AOD＝50°， ∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝140°， 若∠AOB＝150°，则∠AOD＝∠AOB﹣90°＝60°， ∴∠COD＝90°﹣∠AOD＝30°． ③∠AOB+∠DOC＝90°+∠AOD+∠DOC＝90°+90°＝180°． （2）若∠AOC＝60°，∠BOD＝50°， 则∠AOB+∠DOC＝∠AOD+∠DOC+∠BOC+∠DOC＝∠AOC+∠BOD＝110°． 故答案为：（1）①∠AOD，∠BOC；②30°．③180°．（2）110°． 【点评】此题考查余角的意义，角的和与差，结合图形，灵活解答． 15．已知∠AOD＝150°． （Ⅰ）如图1，∠AOC＝∠BOD＝90°， ①∠BOC的余角是 　∠AOB和∠COD　，比较∠AOB 　＝　∠COD（填＞，＝或＜），理由：　同角的余角相等　； ②求∠BOC＝　30°　； （Ⅱ）如图2，已知∠AOB与∠BOC互为余角， ①若OB平分∠AOD，求∠BOC的度数； ②若∠DOC是∠BOC的4倍，求∠BOC的度数． 【分析】（I）①根据余角定义可得∠BOC的余角；利用同角的余角相等可得∠AOB＝∠COD； ②首先计算出∠COD的度数，再根据余角定义可得∠BOC的度数； （II）①根据余角定义可得∠AOC＝90°，然后根据角平分线定义可得∠AOB的度数，再根据角的和差关系可得答案； ②首先计算出∠DOC的度数，然后再设∠BOC＝x°，则∠DOC＝4x°，进而可得4x＝60，解方程即可． 【解答】解：（I）①∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠BOC+∠AOB＝90°，∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠BOC的余角是∠AOB和∠COD， 故答案为：∠AOB和∠COD； ∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠BOC+∠AOB＝90°，∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）， 故答案为：＝；同角的余角相等； ②∵∠AOD＝150°，∠AOC＝90°， ∴∠DOC＝60°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠BOC＝30°， 故答案为：30°； （II）①∵∠AOB与∠BOC互为余角， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°， ∵BO平分∠AOD， ∴∠AOB∠AOD150°＝75°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣75°＝15°； ②∵∠AOB与∠BOC互为余角， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°， ∵∠DOC＝∠AOD﹣∠AOC＝150°﹣90°＝60°， ∵∠DOC是∠BOC的4倍， ∴设∠BOC＝x°，则∠DOC＝4x°， ∴4x＝60， x＝15， 则∠BOC＝15°． 【点评】此题主要考查了角的计算以及余角定义，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为90°为互余． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$