精品解析：重庆市长寿川维中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

重庆市长寿川维中学校2024～2025学年度上期 初2022级第三次定时作业数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列数中没有倒数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，零指数幂，倒数的定义，根据没有倒数，即可求解． 【详解】解：A. 0没有倒数，故该选项符合题意； B. 的倒数是，故该选项不符合题意； C. 的倒数是，故该选项不符合题意； D. ，的倒数是，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 3. 关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， ，开口向上，A不符合题意； 对称轴为直线，B不符合题意； 顶点坐标为，C不符合题意； 当时，随的增大而减小，D符合题意； 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程mx2＋4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＞﹣4且m≠0 B. m＜4且m≠0 C. m＜﹣4 D. m＞4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：mx2＋4x﹣1＝0， ∵a＝m，b＝4，c＝−1，方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2−4ac＝16＋4m＞0，且m≠0 ∴m＞﹣4且m≠0． 故选：A． 【点睛】考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 5. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；③相等的圆心角所对的弧相等；④若直线和圆有公共点，则直线与圆相交． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可． 【详解】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，所以②正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误； 若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切，所以④错误． 综上，正确的有②，共一个． 故选：A． 6. 估计的值更靠近整数（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，先化简二次根式，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴的值更靠近整数10， 故选：D． 7. 如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图的知识，一元二次方程的实际应用，设农村居民人均住房面积的增长率为x，列出方程求解即可． 【详解】解：设农村居民人均住房面积的增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（负值舍去）， ∴从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为． 故选：C． 8. 如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，正方形中，点是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使，延长与的角平分线交于点，若，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先用全等三角形证出，得出，从而得到，继而得到，再利用直角三角形的性质得出，代入数据即可解答． 【详解】解：连接， 正方形， ，， ， ，， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 点是对角线的中点， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形推出是解题的关键． 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作，下列说法正确的个数是（ ） ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最大值为11，则或； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整式加减运算，理解题意，正确的列式是解题的关键；直接根据定义可判断①，根据定义，求出，，，再分类讨论并验证即可判断②，根据定义依次求出，，，即可得出规律，进而可求，即可判断③． 【详解】解：①由得，，， ， 三个数中最大的数是4， 故本选项符合题意； ②由得，， ， 当时，， 此时，符合题意， 当时，， 此时，符合题意， 故本选项符合题意； ③由题意知：第一次操作的三个结果为：， 此时， 第二次操作的三个结果为：， 此时， 第三次操作的三个结果为：， 此时， ， ， 故选项不符合题意． 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，绝对值，零指数幂；根据求一个数的算术平方根，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：“我，最，爱，数，学”，把这五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字后放回；再从中随机抽取一张，则两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率；列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 我 最 爱 数 学 我 （我，我） （我，最） （我，爱） （我，数） （我，学） 最 （最，我） （最，最） （最，爱） （最，数） （最，学） 爱 （爱，我） （爱，最） （爱，爱） （爱，数） （爱，学） 数 （数，我） （数，最） （数，爱） （数，数） （数，学） 学 （学，我） （学，最） （学，爱） （学，数） （学，学） 共有25种等可能的结果，其中两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的结果有：（数，学），（学，数），共2种， ∴两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率为 故答案为：． 13. 如图，以A为圆心，为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交，交点D为弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不规则图形的面积，熟练掌握扇形和三角形的面积公式，学会利用割补法求不规则图形面积是解题的关键．连接，根据题意可得，，再根据图形可知阴影部分面积等于扇形面积减去空白部分的面积再加上扇形面积减去的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接， 点D为弧的中点， ， 又， ， ， ，扇形面积， 面积，扇形面积扇形面积， 阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 如图所示是抛物线的部分图象．其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据题意得出，抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而得出，且，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的部分图象．其顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴ ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间 根据函数图象可得：当时， 又∵ ∴ ∴即 又∵当时，， ∴ 故答案为：． 15. 如图，绕点顺时针旋转后得到，且点恰好是边的中点，交于点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，先由旋转的性质得出，，则为等边三角形，再根据等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，然后在直角与直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，，则，进而求出的值． 【详解】解：∵绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ，，，， ∴为等边三角形， ，， 点是边的中点， ， ， ， 在直角中，，， ． 在直角中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 若实数使关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且使关于的分式方程的解为正整数．则所有满足条件的整数的值之和______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，解不等式组和分式方程得出关于的范围及的值，根据不等式组有且仅有三个奇数解和分式方程的解为正整数得出的范围，继而可得整数的值． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有且仅有三个奇数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程：， 得：， ∵分式方程的解为正整数，且， ∴，且，是偶数， 解得：且，是奇数， ∴且，是奇数， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 17. 如图，已知是的内接三角形，的半径是，将劣弧沿折叠后刚好经过弦上的点．若，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，，过点O作于点E，解直角三角形得出，根据与为等圆，得出，，，证明，得出，过A作于，设，则，，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，，过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵与为等圆， ∴，，， ∴， ∴， 过A作于， ∵ 设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程． 18. 如果一个四位自然数，其数位上的数字均不为零，满足千位与十位之和为9，百位数字与个位数字之和为6．则称为“静心养德数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，则，的千位数字与百位数字之差记为；又．若是“静心养德数”，则______；若能被整除，则满足条件的的最大值与最小值的差是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式中的新定义问题，涉及整式和分式的混合运算．根据“静心养德数”的定义可得：，，即可求得；设的千位数字为，百位数字为，根据“静心养德数”的定义可得：，，根据能被3整除，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：根据“静心养德数”的定义可得：，， ，， ； 设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，能被3整除， ∴，为整数 ∴，， 不存在 是的倍数 是的倍数 不存在 是的倍数 …… … … … … 8 0 8 1 66 8 2 8 3 8 4 是的倍数 8 5 ∴的最大值为：；最小值为 满足条件的的最大值与最小值的差是 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分） 19. 计算： （1）用配方法解方程：； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的除法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再用开平方法求解； （2）先计算括号，再将除法化为乘法计算即可． 【小问1详解】 解： 或 解得： 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：是的角平分线， ①___________． ， ②____________， ， ③__________． 林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形． 【答案】（1）详见解析； （2）高与中线． 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点， （1）根据角平分线的基本作法作出图形即可； （2）根据证明即可得出结论； 证明是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示； 【小问2详解】 ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴． 林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的高与中线重合时，这个三角形是等腰三角形， 故答案为：高与中线． 21. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，南川区某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用表示，共分成四组：组，组，组，组，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94，根据信息，解答下列问题： 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 100 方差 52 50.4 （1）上述图表中， ， ， ． （2）根据以上数据，你认为七、八年级哪个年级掌握的相关知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600人，八年级有1000人参与此次竞赛，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 【答案】（1）90,94,40 （2）八年级掌握的相关知识较好，理由见解析 （3）该校七八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有1660人 【解析】 【分析】（1）根据众数的概念求出答案，再结合八年级C组的人数求出所占百分比，进而求出m的值，然后根据中位数的定义得出答案； （2）根据平均数相同，再结合中位数解答； （3）先确定两个年级所占的百分比，再分别乘以总人数，并求和即可． 【小问1详解】 将七年级10名学生的竞赛成绩重新排列为：81,84,86,89，90,90,95,96,99,100， 90出现次数最多，所以众数为； 八年级学生的竞赛成绩C组有3人，所以C组占总数抽取人数的， 可知， 所以； 八年级学生竞赛成绩的中位数是第5个，第6个数的平均数，即为94，94的平均数， 所以中位数. 故答案为：90，94，40； 【小问2详解】 八年级掌握的相关知识较好，理由如下： 因为两个年级的平均数均为91，但八年级的中位数94大于七年级的中位数90，所以八年级掌握的相关知识较好； 【小问3详解】 . 答：该校七八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有1660人． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体的思想，求中位数时要将数据重新排列，按照从小到大或从大到小的顺序． 22. 北城商场购进一批T恤，每件进价40元，物价部门规定每件T恤的销售利润不得高于进价的．当销售单价为45元时，每天的销量是90件．在销售中发现该T恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件．出于营销考虑，要求每件售价不得低于45元． （1）当商场每天销售这种T恤按最高价出售时，每天的销售量是多少件？ （2）设该商场每天销售这种T恤所获得的利润为元，将该T恤销售单价定为多少元时，才能使商场销售该T恤获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）60件 （2）该T恤销售单价定为60元时，商场销售该T恤获得最大，最大利润为1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意得出最高价，再根据“销售中发现该T恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件”列式计算可得到答案； （2）根据题意求出w关于x的解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵每件进价40元，物价部门规定每件T恤的销售利润不得高于进价的， ∴售价不高于（元），售价最高为60元， ∵该T恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件， ∴这种T恤按最高价60元出售时，每天的销售量为：（件）， 答：每天销售这种T恤按最高价出售时，每天的销售量是60件； 【小问2详解】 解：设T恤销售单价定为x元， 由题意得： ， ∵，， ∴当时，w最大，此时（元）， 答：该T恤销售单价定为60元时，商场销售该T恤获得最大，最大利润为1200元． 23. 如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．点从点出发．泊直线运动．到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点P，Q之间的距离为． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若一次函数的图象与y的图象有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式． （1）根据直角三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，当时，如题干图，由题意得，，，根据等边三角形的性质得到，当时，求得，于是得到结论； （2）根据题意作出函数的图象即可，然后根据函数的图象写出函数的性质； （3）过定点，再求出过两个端点和时的值，最后根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， 点是中点， ， ∴是等边三角形， ，, 当时，如图， 由题意得，， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 当时，此时，， 则， 则； 【小问2详解】 解：由函数表达式画出函数图象如下： 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； ∵， ∴过定点， ∵一次函数的图象与y的图象有两个交点， ∴结合图形可得． 24. 如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向． （参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1）千米 （2）② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角问题，根据已知条件添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，根据垂直的定义得到，证明四边形是矩形，根据解直角三角形的相关计算进行计算即可得到答案； （2）利用含的直角三角形的性质求出的长，再利用三角函数进行计算即可． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， ， 根据题意得：， 四边形是矩形， ， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， （千米）； 【小问2详解】 解：应该选择路线②； 在中，， ， 路线①总路程（千米）， 路线②总路程（千米）， ， 故选路线②． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接． （1）求拋物线的解析式； （2）如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为16，此时点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）代入，到抛物线，求出a、b的值即可； （2）作轴交轴于G，交直线于E，利用等腰和等腰的性质，转化的最大值为的最大值，再利用抛物线的顶点坐标公式求出点的坐标即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式为，由得，以为斜边作等腰直角，设，根据勾股定理建立方程组，求得点的坐标，进而求得直线的解析式，联立平移后的抛物线解析式，进而求得点，即可求解． 【小问1详解】 解：代入，得， 解得：， 拋物线的解析式为． 【小问2详解】 如图，作轴交轴于G，交直线于E， 令，则，即， ，， ， 又， ， 轴， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， 则， 当时，有最大值8，即，此时， ， ， 的最大值为16，此时点的坐标为． 【小问3详解】 ，， 抛物线沿着射线的方向平移个单位，， 抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位， 新抛物线的解析式为：， 由（2）中的结论得，，即， ， ； 如图，以为斜边作等腰直角，设 ∴ ， ∴ ∴ 由得，代入方程组 解得：或 ∴或 设直线的解析式为，代入，或 ∴或 解得：或 ∴直线的解析式为或 联立，解得或（结合函数图象，舍去） 联立，解得或（结合函数图象，舍去） 的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，学会通过作垂线构造直角三角形，能够利用等腰直角三角形的性质转化线段关系，能够利用直角边的比例证明相似三角形是解题的关键，本题属于二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生． 26. 已知：是等边三角形，点为平面内一点，点是的中点， （1）如图1，当，且，过点作交于点，连接，已知，求的长： （2）如图2，当，且．将绕点逆时针旋转得到．取的中点．连接，探究与的数量关系并证明； （3）如图3，若．点、分别在边、上，且，连接、交于点，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得，根据等边三角形的性质得，，继而推出， ，得，再根据勾股定理即可得出结论； （2）取的中点，连接、，根据旋转的性质得，，，，继而得到，，，根据三线合一性质得，，根据三角形中位线定理得，，进一步证明，根据相似三角形的性质即可得证； （3）证明，推出，确定点在上，设所在的圆的圆心为点，连接、、，过点作于点，当点、、共线时最小，此时，求出，得，利用，求得，可得，再根据，继而得，，再根据可得结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：． 证明：取的中点，连接、， ∵将绕点逆时针旋转得到，且，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴即， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上， 设所在的圆的圆心为点，连接、、，过点作于点，当点、、共线时最小，此时， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设点到的距离为， ∴， ∴， ∴当取最小值时，的面积为． 【点睛】本题考查圆周角定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．通过作辅助线构造相似三角形、构造圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿川维中学校2024～2025学年度上期 初2022级第三次定时作业数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列数中没有倒数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当，随的增大而减小 4. 已知关于x的一元二次方程mx2＋4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＞﹣4且m≠0 B. m＜4且m≠0 C. m＜﹣4 D. m＞4 5. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径垂直于弦；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；③相等的圆心角所对的弧相等；④若直线和圆有公共点，则直线与圆相交． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 估计的值更靠近整数（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 7. 如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与相切于点B，的延长线交于点A，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使，延长与的角平分线交于点，若，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，称为一次操作，下列说法正确的个数是（ ） ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最大值为11，则或； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 12. 桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：“我，最，爱，数，学”，把这五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字后放回；再从中随机抽取一张，则两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率是______． 13. 如图，以A为圆心，为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交，交点D为弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 14. 如图所示是抛物线的部分图象．其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则______（填“”、“”或“”）． 15. 如图，绕点顺时针旋转后得到，且点恰好是边的中点，交于点，则______． 16. 若实数使关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且使关于的分式方程的解为正整数．则所有满足条件的整数的值之和______． 17. 如图，已知是的内接三角形，的半径是，将劣弧沿折叠后刚好经过弦上的点．若，，则弦的长为______． 18. 如果一个四位自然数，其数位上的数字均不为零，满足千位与十位之和为9，百位数字与个位数字之和为6．则称为“静心养德数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数，则，的千位数字与百位数字之差记为；又．若是“静心养德数”，则______；若能被整除，则满足条件的的最大值与最小值的差是______． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分） 19. 计算： （1）用配方法解方程：； （2） 20. 在学习等腰三角形的性质时，林林进一步探究发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论，请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：是的角平分线， ①___________． ， ②____________， ， ③__________． 林林根据垂直平分线的性质进一步发现：三角形一边上的④________________重合时，这个三角形是等腰三角形． 21. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，南川区某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用表示，共分成四组：组，组，组，组，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94，根据信息，解答下列问题： 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 100 方差 52 50.4 （1）上述图表中， ， ， ． （2）根据以上数据，你认为七、八年级哪个年级掌握的相关知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600人，八年级有1000人参与此次竞赛，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 22. 北城商场购进一批T恤，每件进价40元，物价部门规定每件T恤的销售利润不得高于进价的．当销售单价为45元时，每天的销量是90件．在销售中发现该T恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件．出于营销考虑，要求每件售价不得低于45元． （1）当商场每天销售这种T恤按最高价出售时，每天的销售量是多少件？ （2）设该商场每天销售这种T恤所获得的利润为元，将该T恤销售单价定为多少元时，才能使商场销售该T恤获利最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．点从点出发．泊直线运动．到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点P，Q之间的距离为． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若一次函数的图象与y的图象有两个交点，则k的取值范围为______． 24. 如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东方向． （参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接． （1）求拋物线的解析式； （2）如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知：是等边三角形，点为平面内一点，点是的中点， （1）如图1，当，且，过点作交于点，连接，已知，求的长： （2）如图2，当，且．将绕点逆时针旋转得到．取的中点．连接，探究与的数量关系并证明； （3）如图3，若．点、分别在边、上，且，连接、交于点，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $