5.2.3诱导公式教案-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：诱导公式 【教学目标】 1.能借助单位圆推导诱导公式，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单三角式的化简和恒等式证明； 2.能在推导诱导公式的过程中，从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，培养学生发现问题，提出研究方法，并解决问题的能力；从中体会从未知到已知，复杂到简单的转化过程。 【教学重点】 用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法。 【教学难点】 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法。 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 数学抽象 逻辑推理 直观想象 【教学过程】 一 、创设情境，引入课题 前面在初中的基础上，首先把角推广到了任意角，还引入了弧度制来度量角的大小。我们经历了由锐角三角函数的定义（边比值）到单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数的过程。那么请同学们回忆任意角三角函数的定义。 问题1：利用三角函数的定义，我们可以求出任意角的三角函数值。那你准备怎么计算？ 【设计意图】从学生已有的知识储备和学习经验出发，引出课题，让学生对本节课的内容比较亲切，容易抓住学生注意力，带入思考。 二、归纳探索，形成概念 环节1：解决具体问题，做好铺垫 通过三角函数定义知道，终边相同的两个角的三角函数值相等（公式1）。sin(θ＋2kπ)＝sinθ， cos(θ＋2kπ)＝cosθ， tan(θ＋2kπ)＝tanθ，其中kZ. 利用公式1将的正弦值转化成同终边的的正弦值查表计算。 如果要计算呢？ 根据利用公式1将的正弦值转化成同终边的的正弦值查表计算，此时周内角不再是锐角，如何处理呢？ 对给定的任意角，我们先将其转化为同终边的周内角。再利用终边的对称性，得到它和单位圆交点的对称性，根据三角函数的定义，可以将其转化为锐角的三角函数。 【设计意图】通过具体问题的求解，让学生明确将较复杂问题化归为较简单问题（锐角三角函数）来处理的一般方法。体会三角函数的定义和单位圆的对称性对解决问题起到的关键作用，培养学生直观想象的数学素养，同时也为后续推出诱导公式做准备。 环节2：将具体问题抽象成一般问题，归纳求解步骤 问题2：给出一个任意角，我们可以将其化成同终边的周内角［0，2π)，其三角函数值不变。如果此角正好是锐角，我们可以通过查三角函数表得知它的三角函数值，那我们的问题是：如果此周内角的终边落在了二、三、四象限，我们应该怎么计算它的三角函数值？ （1）当θ在区间[3π/2,2π]，终边落在第四象限，（如图）将其终边关于x轴对称，可以找到一个锐角α，使得θ=2π-α，根据任意角三角函数定义（角的终边与单位圆交点的纵坐标是正弦值，横坐标是余弦值，纵坐标与横坐标的比值为正切值），当角2π-α和角α终边关于x轴对称时，因为单位圆关于x轴对称，所以两角终边和单位圆的交点也关于x轴对称，于是得到交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，纵坐标与横坐标的比值互为相反数，用数学符号语言表述出来，即可得到等式二: sin(2π-α)＝－sinα=sin(－α)， cos (2π-α)＝cosα=cos(－α)， tan (2π-α)＝－tanα=tan(－α). 利用此式可以将第四象限的角化为锐角，还可以将负角化成正角。 （2）当角θ在区间[π,3π/2],终边落在第三象限，将其终边关于原点对称，可以找到一个锐角α，使得θ=π+α，同理得到等式三： sin(π＋α)＝－sinα， cos(π＋α)＝－cosα， tan(π＋α)＝tanα. 此式可以将第三象限角化为锐角。 （3）当角θ在区间[π/2，π],终边落在第二象限，将其终边关于y轴对称，可以找到一个锐角α，使得θ=π-α，同理得到等式四： sin(π－α)＝sinα， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 此式可以将第二象限角化为锐角。 利用等式一至等式四，就可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算．转化过程一般按下列步骤进行： 【设计意图】将具体问题抽象成一般问题，培养学生数学抽象的素养，在解决问题的过程中，形成求解算法步骤，体会特殊到一般的数学思想方法。 环节3：进一步论证等式中的锐角推广到任意角还成立 问题3：我们知道等式一，当θ为任意角时都是成立的，那么等式（二）至（四）中，当α为任意角，等式还成立吗？ 如果两个角的终边的对称关系不发生改变，那么等式就依然成立！ 当α是任意角时，2π-α和-α共终边，与α的终边关于x轴对称；π＋α的终边可以由α的终边逆时针旋转180度得到，所以π＋α与α的终边关于原点对称；π－α可以看成是先找到－α终边，然后将其逆时针旋转180度得到，于是π－α与α的终边关于y轴对称！ 这四组等式都是诱导公式，公式对任意角都是成立的！可以利用这四组公式进行化简和求值！ 【设计意图】先从具体的问题出发，再将问题抽象为一般问题，得到了关于锐角的四组等式，对等式使用范围的进一步探究，培养学生逻辑推理的苏学素养。也是对三角函数定义和单位圆对称性的更深的理解和应用。 环节4：对公式的简单应用，加深对公式的认识 例1求的值 方法1： 方法2： 方法3： 三、掌握证法，适当延展 环节1：适当延展公式内容，得到公式5 我们再来看以上四组诱导公式的推导过程。 圆的对称性 角终边的对称性 对称点的数量关系 角之间的数量关系 诱导公式 问题4：在初中数学中讲锐角三角函数时，曾经根据直角三角形两锐角互余的关系得出了锐角α与它的余角π/2-α的三角函数之间的关系： Sin（π/2-α）＝cosα，cos（π/2-α）＝sinα. 这样的关系式是否对任意角α成立呢？ 设角α的终边OM交单位圆于点P(x,y), 由于角α与角π/2-α的平均值为π/4，因此角α的终边OM与角π/2－α的终边OM1关于π/4的终边ON所在直线对称，设角π/2-α的终边OM1交单位圆于点P1.（如图） 由于点P与P1关于直线ON对称，可以求得点P1的坐标为(y,x). 由三角函数的定义可以得到： cos（π/2-α）＝y＝sin α， sin（π/2-α）＝x＝cosα. 在此基础上，将任意角α换成－α，我们还可以推导出： sin（π/2+α）＝sin[π/2-(-α)]＝cos(－α)＝cos α， cos（π/2+α）＝cos[π/2-(-α)]＝sin(－α)＝－sin α. 由此得出关于π/2±α与α的正、余弦关系式,即公式五 sin（π/2-α）＝cos α， cos（π/2-α）＝sin α， sin（π/2+α）＝cos α， cos（π/2+α）＝－sin α. 公式五可概括为如下法则：π/2±α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号．简记作：函数名变化，符号看象限。 利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 以上关于角α与2kπ+α(k∈Z),－α，π±α，π/2±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式． 例2 化简 解：原式= 【设计意图】适当拓展公式内容，为利用公式进行化简奠定基础。 环节2：对公式形式的深入认识，记住公式 问题5：为了能更快更好的记住和使用公式，请你概括公式1-公式5的特点及其作用 我们观察五组等式的特点。发现：（1）前四组等式两边函数名称不发生变化，只有第五组等式两边函数名称发生变化，正弦变成余弦，余弦变成正弦；（2）等式左边的角有α＋2kπ，2π-α，π＋α，π－α，π/2±α可以用一个式子kπ/2±α将它们概括！等式右边都是角α。（3）再看等式右边，有些有负号，有些没有，有什么规律吗？如果把α看成锐角时，2π-α在第四象限，只有余弦值为正；π＋α在第三象限，只有正切值为正；π－α在第二象限，只有正弦值为正。π/2-α在第一象限，全为正；π/2+α在第二象限，只有正弦为正。以上和右边的正负号都是能对应上的。 以上五组公式可以概括成：角α与kπ/2±α（k∈Z）的三角函数的关系式。当k为偶数时，等号两边函数名不发生变化，当k为奇数时，函数名发生了变化，（正弦变余弦，余弦变正弦）；等号右边的符号，可以理解成把角α看成锐角时原函数值的符号。 总结一句话：奇变偶不变，符号看象限。 【设计意图】引导学生观察公式结构，找到五组公式的等号两边的异同点，培养学生的观察归纳能力，培养学生抽象概括的数学核心素养。同时也为能快速记住公式和后续使用公式做好铺垫 四、归纳小结，提高认识 环节1：先从知识，方法两个层面对本节课进行总结，然后再从数学与人生的角度，将本节课的知识和价值观建立联系，培养学生正确的价值观。 本节课我们学习了三角函数的诱导公式。诱导公式可以理解为单位圆对称性的代数刻画，此过程充分体现了数形结合的思想方法。首先我们求给定角的三角函数值，进一步探究求任意角的三角函数值，得到了四组等式；然后将等式中角的取值条件从锐角推广到了任意角，形成诱导公式。此过程体现了转化的数学思想，以及从特殊到一般的研究方法。 诱导公式为我们求值和化简指引了方向！明确了目标！我们都应该有明确的人生目标！可以是短期目标，也可以是长期目标。如果把我们努力实现目标的过程看成是求出任意角三角函数值的过程，那么，你就是那个任意角的终边，单位圆帮你确定了位置坐标，如果你能找准自己的努力方向（正确的对称关系），你就能快速达成目标！眼前的困难都是暂时的，请相信人生处处有成功！ 环节2：布置作业： （1）阅读课本相关内容，完成课后练习； （2）思考：三角函数表中角的范围还能再缩小吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$