5.2.2同角三角函数的基本关系教案-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：同角三角函数的基本关系 【教学目标】 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.能使用公式一和同角三角函数基本关系式解题； 3.利用三角函数的定义，探求三角函数的基本关系； 4.通过本节课的学习，树立数形结合的思想，养成逻辑推理的习惯，发现数学中所蕴含的哲学思想. 【教学重点】三角函数基本关系式的推导、记忆及应用 【教学难点】数形结合的思想，养成逻辑推理的习惯 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习 【教学手段】计算机、白板、IPAD 【核心素养】数学抽象，直观想象，逻辑推理 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 事物是相互联系的，这一规律同样反映在三角函数中，不同三角函数之间有着丰富的联系,下面我们利用任意角的三角函数定义证明同一个角的三角函数关系. 先来回顾一下三角函数定义： 设角是一个任意角，终边上任意一点， 它与原点的距离为，那么： ，， 二、归纳探索，形成概念 1．借助图象，直观感知 问题1：推理运算可得 2．探究规律，理性认识 问题2：角的终边上的点,由三角函数定义有及正切函数的定义得:当时,有.成立的条件是什么呢？ 由正切函数定义可以知道，通过以上推理，也就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切. 3．抽象思维，形成概念 问题3：上述关系反映了角的正弦、余弦、正切之间的内在联系，根据等式的特点，我们 称为平方关系:， 称为商数关系: 我们把这两个关系统称为同角三角函数关系，这里的“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立. 三、掌握证法，适当延展 问题4：上节课我们又给了三角函数线即三角函数的几何表示，是利用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质及三角函数的定义出发，讨论一下同角的平方关系和商数关系吗？P O y D M x x 设是任意角，以点为圆心作单位圆与角的终边交于点，并作角的正弦线和余弦线，在中，由勾股定理得: O x y （注：读：DP方） 将代入得 那么当角的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？O x y y 显然成立. 如图： 问题5：利用三角函数线推理可以得到同角的平方关系和商数关系仍然成立，同角三角函数关系的应用极为广泛，对于平方关系可作以下变形. 对于商数关系可以作以下变形，如= 等. 例1.（1）已知，并且是第二象限角，求． （2）已知，求． 解：（1）∵， ∴， 又∵是第二象限角，∴，即有， 从而， （2）∵， ∴， 又∵， ∴在第二或三象限角。 当在第二象限时，即有，从而，； 当在第四象限时，即有，从而，． 总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根. 例2.若tanα＝2，则的值为________. 利用商数关系 例3.已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝求tanα的值. 解:(1)路径一　联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②， 整理得25sin2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴sin α>0， ∴， ∴tan α＝－. 路径二 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝， 即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－<0且0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝， 由，得， ∴tan α＝－. 四、归纳小结，提高认识 1.小结 （1）三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用的方法有： ①弦切互化法：主要利用公式tanx＝化成正弦、余弦函数； ②和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化； ③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝…. （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. （3） 2．作业 （1）若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________. （2）已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cos α＝________. （3）设α∈，sinα＋cosα＝，则tanα＝__________________________. 课后探究： （1）化简． （2）化简． （3）已知，试确定使等式成立的角的集合。 答案： （1）解：原式． （2）解：原式 ． （3） 解：∵= ==． 又∵， ∴， 即得或． 所以，角的集合为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$