专题5.2.2 同角三角函数的基本关系式（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

本讲义聚焦同角三角函数基本关系式这一核心知识点，系统梳理平方关系（sin²α + cos²α = 1）和商数关系（tanα = sinα/cosα）的推导过程，构建从基础关系式到变形应用，再到求值、化简、证明等综合问题的学习支架，覆盖符号确定、“同角”概念深化等关键环节。 资料亮点在于题型分类细致（9大题型含典例与多地期末变式题），通过推导过程培养数学抽象能力（数学眼光），符号分析与恒等式证明提升逻辑推理素养（数学思维）。课中辅助分层教学，课后助力学生通过真题演练查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

专题5.2.2 同角三角函数的基本关系式 教学目标 1.理解同角三角函数基本关系的推导过程，掌握平方关系和商数关系的表达式及适用条件. 2.能灵活运用这两个基本关系，解决三角函数的求值（已知一个三角函数值求其余两个）、化简（简化三角函数式的结构）、证明（验证三角恒等式）问题. 3.体会 “方程思想”“数形结合” 在三角函数中的应用，提升根据角的象限确定三角函数值符号的分析能力. 教学重难点 1.重点： （1）同角三角函数基本关系的推导（从三角函数定义到平方关系、商数关系的逻辑推导过程）. （2）基本关系在求值、化简、证明中的灵活应用（包括公式的正用、逆用、变形用等应用）. 2.难点： （1）已知一个三角函数值求其余两个时，符号的确定（需结合角的象限或终边位置分析）. （2）三角恒等式证明中变形方向的选择（如 “从繁到简”“左右互推”“作差法” 等策略）. （3）对 “同角” 概念的深入理解（不仅指角度相同，也包括角的表达式相同，如倍、半等形式的 “同角”），以及公式在不同情境下的灵活变形与应用. 知识点01 平方关系 平方关系：　sin2α＋cos2α＝1.α∈R 【即学即练】（24-25高二下·福建泉州·期末）若，且θ为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点02 商数关系 商数关系：＝tanα.α≠＋kπ(k∈Z) 【即学即练】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．5 知识点03 基本关系式常见变形 （1）sin2α＋cos2α＝1⇒带有“±”号的公式，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题． （2）tanα＝⇒ 【即学即练】（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则 ． 题型01 已知正弦求其它函数（式）值 【典例1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 【变式1-1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，且为锐角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 已知余弦求其它函数（式）值 【典例2】（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知为锐角，且，则 ． 【变式2-1】（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 题型03 已知正切求其它函数（式）值 【典例3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考），则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型04 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 【典例4】（2025高三上·广东·专题练习）设，则 . 【变式4-1】（25-26高三上·吉林长春·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 题型05 由条件等式求函数（式）的值 【典例5】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 题型06 利用平方关系求参数 【典例6】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 题型07 正、余弦齐次式的计算 【典例7】（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ． 【变式7-3】（24-25高一上·天津·阶段练习）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 题型08 同角公式的综合应用----化简、求值 【典例8】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值； 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 题型09 同角公式的综合应用----证明三角恒等式 【典例8】（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 【变式8-2】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 一、单选题 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·北京·专题练习）已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，则 . 13．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知，，则 ； （2）若，则 ． 14.（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 四、解答题 15．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 16．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 17．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知关于的二次方程对恒成立. (1)求的取值范围； (2)当取得最小值时，求的值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2.2 同角三角函数的基本关系式 教学目标 1.理解同角三角函数基本关系的推导过程，掌握平方关系和商数关系的表达式及适用条件. 2.能灵活运用这两个基本关系，解决三角函数的求值（已知一个三角函数值求其余两个）、化简（简化三角函数式的结构）、证明（验证三角恒等式）问题. 3.体会 “方程思想”“数形结合” 在三角函数中的应用，提升根据角的象限确定三角函数值符号的分析能力. 教学重难点 1.重点： （1）同角三角函数基本关系的推导（从三角函数定义到平方关系、商数关系的逻辑推导过程）. （2）基本关系在求值、化简、证明中的灵活应用（包括公式的正用、逆用、变形用等应用）. 2.难点： （1）已知一个三角函数值求其余两个时，符号的确定（需结合角的象限或终边位置分析）. （2）三角恒等式证明中变形方向的选择（如 “从繁到简”“左右互推”“作差法” 等策略）. （3）对 “同角” 概念的深入理解（不仅指角度相同，也包括角的表达式相同，如倍、半等形式的 “同角”），以及公式在不同情境下的灵活变形与应用. 知识点01 平方关系 平方关系：　sin2α＋cos2α＝1.α∈R 【即学即练】（24-25高二下·福建泉州·期末）若，且θ为第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方关系及三角函数值在各个象限的符号即可求解. 【详解】因为，且θ为第二象限角， 所以. 故选：A 知识点02 商数关系 商数关系：＝tanα.α≠＋kπ(k∈Z) 【即学即练】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据商数关系将变形为，再将代入计算即可. 【详解】因为，所以可知， 所以将的分子分母同时除以得到 ， 将代入上式可得. 故选：B 知识点03 基本关系式常见变形 （1）sin2α＋cos2α＝1⇒带有“±”号的公式，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题． （2）tanα＝⇒ 【即学即练】（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 题型01 已知正弦求其它函数（式）值 【典例1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据角的象限确定角的余弦值的符号，再利用同角的三角函数关系式计算即得. 【详解】因是第四象限角，则， 由，可得. 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，且为锐角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角平方关系求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A 【变式1-2】（2025高二上·云南·学业考试）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解. 【详解】因为， 所以 ， 又因为， 所以 . 故选：. 题型02 已知余弦求其它函数（式）值 【典例2】（24-25高一下·贵州黔南·期末）已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，且为锐角，推出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 故． 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高三上·广东·开学考试）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系求和，代入即可求解. 【详解】由锐角满足，即，所以， 所以，所以， 故选：C. 【变式2-2】（2025高三·全国·专题练习）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第三象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：B. 【变式2-3】（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：D 题型03 已知正切求其它函数（式）值 【典例3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数关系求解即得. 【详解】由，得是第二象限角， 则，， 所以. 故选：A 【变式3-1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 【变式3-2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据齐次式，利用弦化切方法即可求解. 【详解】， 故选：D 【变式3-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求得，再根据同角三角函数的平方关系化简原式，分子分母同时除以即可求解． 【详解】因为，所以， 故． 故选：B. 题型04 sinα±cosα和sinα·cosα关系的应用 【典例4】（2025高三上·广东·专题练习）设，则 . 【答案】 【分析】两边平方可得而代入即可得解. 【详解】对于等式，两边平方可得， 又，所以， 因为， 所以. 故答案为:. 【变式4-1】（25-26高三上·吉林长春·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：B 【变式4-2】（多选）（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则， 即， 因为，所以，则， 所以， 则，故D正确； 由，解得，，故AC错误； 则，故B正确. 故选：BD. 【变式4-3】（多选）（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD 【分析】利用同角三角函数得基本关系：，，结合象限符号和的范围依次判断各选项的正误. 【详解】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（），则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对. 故选：ACD. 题型05 由条件等式求函数（式）的值 【典例5】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：构造对偶式；方法二：齐次化应用；方法三：变形，代入，根据求得答案；方法四：设，则，代入原方程，求得答案. 【详解】方法一：因为－①，设②， 由①2+②2：，解得． 因此，从而，所以． 方法二：由两边同时平方，得， 即，整理得（，解得． 方法三：由，得，两边平方：， 代入，得，即， 解得， 所以，则． 方法四：设，则，代入， 得，则． 代入，整理得，即解得． 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方关系和商数关系可求的值. 【详解】 因为，所以， 故，故 ， 而，故， 等号左边分子分母同时除以得， 解得． 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以 ， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 题型06 利用平方关系求参数 【典例6】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 【变式6-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 【变式6-3】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 【答案】/ 【分析】利用韦达定理及同角公式列式计算并验证得解. 【详解】由方程有两根，得，解得， 依题意，，则，解得，符合题意， 所以实数等于. 故答案为： 题型07 正、余弦齐次式的计算 【典例7】（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 3 / 【分析】解法一：化弦为切将变为，将变为，然后把代入求解即可. 解法二：按照角的终边在第一、三象限分类讨论求出，代入和求解即可. 【详解】解法一：因为，所以； ． 解法二：因为，所以角的终边在第一、三象限， 在第一象限时，不妨设为锐角，则直角三角形的两直角边长分别为1，2， 则斜边长为，所以，有， ． 同理在第三象限时，，，有， ． 综上，． 故答案为：3； 【变式7-1】（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解． 【详解】方法一： 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 方法二： 直线过第一象限和第三象限． 若的终边在第一象限，可取终边上一点， 则，， 则． 若的终边在第三象限，可取终边上一点， 则，， 则 故选：B 【变式7-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ． 【答案】 / /0.3 【分析】分子分母同时除以，即可求解；先将原式转化为分式，分子分母同时除以，即可求解. 【详解】； . 故答案为：；. 【变式7-3】（24-25高一上·天津·阶段练习）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用同角公式列出方程求解. （2）（i）（ii）利用齐次式法求解. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以. （2）由，得（i）； （ii）. 题型08 同角公式的综合应用----化简、求值 【典例8】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）由题知，再将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）因为，所以， 所以. （3）因为， 等式两边同时平方可得，， 所以，又， 所以，又， 所以，则，， 所以， 所以. 【变式8-1】（25-26高一上·全国·课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【详解】原式 ． 故选：C. 【变式8-2】（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据正弦的定义可求参数的值； （2）利用齐次化可求三角函数式的值. 【详解】（1）由题得，且， 解得或（舍去）． 故, （2）由（1）知，即，所以， 故原式 . 题型09 同角公式的综合应用----证明三角恒等式 【典例8】（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）分别计算和，的值，你有什么发现？ （2）计算，，的值，你有什么发现？ （3）证明：，. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（1）证明见解析 【分析】（1）（2）利用平方差公式及平方关系、特殊三角函数值求值，并确定三者关系； （3）应用平方差公式及平方关系证明即可. 【详解】（1）； （2）； （3），得证. 【变式8-2】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：设点的坐标为，利用完全平方得，根据三角函数定义得证；方法二：利用三角函数的几何表示证明； （2）方法一：等式左边分子分母同乘以，化简即可；方法二：通过证明，可完成证明. 【详解】（1）设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合， 则角的终边与单位圆的交点在第一象限，设点的坐标为． 方法一：易知， 所以，所以． 由三角函数的定义可知，所以． 方法二：如图，过点作轴，垂足为，    则， 由三角形两边之和大于第三边，可知，即． （2）方法一：左边 右边． 方法二 ： ， 因为， 所以． 一、单选题 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出目标值. 【详解】依题意，点在第二象限，则点的横坐标为， 所以. 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用商数关系齐次化后可求. 【详解】由题可得，则，解得或． 故选：D. 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在等式两边平方可得可求出的值，然后利用切化弦可得出所求代数式的值. 【详解】在等式两边平方可得， 故， 所以. 故选：A. 5．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的取值范围，判断的符号，再利用平方关系求值. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：B 6．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可. 法二：由题意先求得，进而求得的值，可求得的值，从而可求得的值. 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，， 所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以. 故选：B. 7．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解. 【详解】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 8．（2025高三·北京·专题练习）已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件式平方化简，再利用与的关系，结合求解，最后由平方差公式即可. 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即， 又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解判断各选项即可. 【详解】由，，得，， 又，， 解得，，故A正确，B错误， 则，，故C正确，D错误. 故选：AC. 10．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 11．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意,结合同角三角函数的平方关系,可求得与的值,依次计算选项中的式子的值,即可选出正确选项. 【详解】因为，所以. 因为角A为的内角，所以,所以,所以 因为,所以,所以 所以,或（舍）,所以 选项A:,所以选项A正确. 选项B:,所以选项B错误. 选项C:,所以选项C错误. 选项D:,所以选项D正确. 故选:AD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】将题设条件“切化弦”，结合化简可得结果. 【详解】由得，即， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 /； . 【分析】（1）将已知等式两边平方求出，又，所以，，即，再利用完全平方公式计算即可求出的值； （2）方法一：由，构造，两式平方相加可求得，进而可求得； 方法二：根据题意，结合三角函数的平方关系，联立方程可求得， ，进而可求得； 方法三：令，与已知联立，可求得，，再根据三角函数的平方关系，可求得，进而可求得. 【详解】（1）由题意，所以， 解得. 又，所以，，所以， 所以， 解得． （2） 方法一： 由于，设，两式平方相加得，得到． 因此，从而，所以. 方法二： 由，得，代入， 得，即，解得， 所以，则． 方法三： 设，则，代入，得，则． 又，则，解得，即． 故答案为：（1）；（2）. 14.（24-25高一上·湖北·期末）若，且，则 . 【答案】/ 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （3）根据同角的三角函数基本关系式求出，，进而求解即可； 【详解】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 17．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知关于的二次方程对恒成立. (1)求的取值范围； (2)当取得最小值时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合两角和的正切公式即可求解； （2）当时，由齐次化成关于的式子即可求解. 【详解】（1）因为关于的二次方程对恒成立， 所以，解得， 即解得， 故的取值范围为. （2）当取得最小值时，. . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $