复习05 指对数函数的复合函数问题及零点（八大题型）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习05 指对数函数的复合函数问题及零点 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求复合函数的单调区间】 【题型2 求复合函数的值域】 【题型3 已知复合函数的单调性求参数】 【题型4 已知复合函数的值域求参数】 【题型5 复合函数的恒成立问题】 【题型6 求零点之和】 【题型7 根据零点个数求参数】 【题型8 镶嵌函数的零点】 知识点 1 ：指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点 2 ：对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 知识点 3 ：函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 难点 1 ：指对数函数的复合函数问题 涉及指数函数、对数函数的复合函数，主要是指数、对数与一次、二次函数相结合形成的新函数。对于求解这类新函数的单调性质奇偶性、最大值、最小值以及值域范围等问题，常用的策略是运用换元法，旨在将复杂的复合函数简化为基本的初等函数形式。 难点 2 ：零点个数问题 ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 难点 3 ：复合函数的零点问题 ①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为 题型归纳 【题型1 求复合函数的单调区间】 例1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例2．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．函数的单调递增区间为 ． 变式1-3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求复合函数的值域】 例3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数，则的最小值是 ． 变式2-1．函数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 变式2-2．函数的值域是 . 变式2-3．函数，的值域为 . 【题型3 已知复合函数的单调性求参数】 例5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 变式3-1．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3-3．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【题型4 已知复合函数的值域求参数】 例7．函数没有最小值， 则的取值范围是 ． 例8．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的最大值为8，求函数的最小值． 变式4-1．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为 . 变式4-2．已知函数（，）的最大值为，则实数 . 变式4-3．已知函数，，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【题型5 复合函数的恒成立问题】 例9．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 例10．已知函数是奇函数. (1)求，的值； (2)证明：是区间上的减函数； (3)若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围. 变式5-1．已知定义域为的函数．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 变式5-2．已知函数（且）是定义在R上的奇函数. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求实数t的取值范围. 变式5-3．已知函数，． (1)求方程的解集； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围． 【题型6 求零点之和】 例11．已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 例12．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 变式6-1．（多选）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ． 变式6-3．设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 【题型7 根据零点个数求参数】 例13．已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为 . 变式7-1．已知函数若函数（）有3个零点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数，若在该函数的定义域上存在互异的个数、、，使得，则实数的取值范围是 . 变式7-3．已知函数，若方程有3个不相同的解，则实数m的取值范围为 【题型8 镶嵌函数的零点】 例15．已知函数则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例16．设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式8-1．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 变式8-2．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式8-3．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 . 过关检测 一、单选题 1．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 3．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，则的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．“”是“函数的值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数若函数有个零点，函数有个零点，且，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则是增函数 C．存在实数a，使得为偶函数 D．若的值域为，则a的取值范围为 11．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．1.5 D．2.3 三、填空题 12．若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 . 13．已知 若有六个根，则实数的取值范围是 . 14．若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 16．若函数在区间上是严格减函数，求实数m的取值范围． 17．已知函数. （1）求函数f (x)的定义域； （2）求函数f (x)的值域. 18．已知函数(且)的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间和值域． 19．已知函数． （1）求函数的解析式． （2）若关于x的方程在上有实根，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习05 指对数函数的复合函数问题及零点 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求复合函数的单调区间】 【题型2 求复合函数的值域】 【题型3 已知复合函数的单调性求参数】 【题型4 已知复合函数的值域求参数】 【题型5 复合函数的恒成立问题】 【题型6 求零点之和】 【题型7 根据零点个数求参数】 【题型8 镶嵌函数的零点】 知识点 1 ：指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点 2 ：对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 知识点 3 ：函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 难点 1 ：指对数函数的复合函数问题 涉及指数函数、对数函数的复合函数，主要是指数、对数与一次、二次函数相结合形成的新函数。对于求解这类新函数的单调性质奇偶性、最大值、最小值以及值域范围等问题，常用的策略是运用换元法，旨在将复杂的复合函数简化为基本的初等函数形式。 难点 2 ：零点个数问题 ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 难点 3 ：复合函数的零点问题 ①确定内层函数和外层函数；②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为 题型归纳 【题型1 求复合函数的单调区间】 例1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，根据二次函数的单调性可知， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，根据“同增异减”可得， 函数的单调递减区间是. 故选：A. 例2．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式，即，解得， 即函数的定义域为， 令，在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上为单调递减函数， 所以函数的单调减区间为. 故选：A. 变式1-1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得或， 即函数的定义域为， 令，得，因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以根据复合函数同增异减的性质可得的单调递增区间为． 故选：C． 变式1-2．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】因为的定义域为R，设， 则在上单调递减，在上单调递增． 因为在R上单调递增，所以的单调递增区间为． 故答案为： 变式1-3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，令， 函数在上单调递增，由，得， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 故选：A 【题型2 求复合函数的值域】 例3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为在上单调递减， ∵，∴， 故函数的值域为. 故选：C. 例4．已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由函数有意义， 则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得， 令， 因为， 当且仅当时，即时，即时取等号， 所以， 所以， 所以函数的最小值为4． 故答案为：. 变式2-1．函数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】． 当，即时，取到最小值 故选：D 变式2-2．函数的值域是 . 【答案】 【详解】由， 可得， 所以函数的值域为， 故答案为： 变式2-3．函数，的值域为 . 【答案】 【详解】令， 则， 当时，，当时，， 所以函数，的值域为. 故答案为： 【题型3 已知复合函数的单调性求参数】 例5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，设，， 因为是减函数，所以在上也是减函数， 则，即. 故选：C 例6．已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得且，因此函数单调递减，而，则， 由在上是关于的减函数，得函数在上单调递增，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 变式3-1．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下， 因为函数是正实数集上的增函数， 又函数在区间上单调递减， 则在区间上单调递减，且恒成立， 只需满足， 故选：C. 变式3-2．已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 变式3-3．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 【题型4 已知复合函数的值域求参数】 例7．函数没有最小值， 则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：令，则外函数为， 因为在定义域上单调递增， 要使函数没有最小值， 即的值域能够取到，且不恒小于等于， 当时，符合题意， 当时开口向下，只需，解得，即； 当时开口向上，只需，解得，即； 综上可得，即； 故答案为： 例8．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的最大值为8，求函数的最小值． 【答案】(1)增区间，减区间； (2)﹒ 【详解】（1）令，则t在x∈时单调递减，在x∈时单调递增， 又在t∈R时单调递增， ∴在x∈时单调递减，x∈时单调递增； （2）由(1)知f(x)最大值在x＝－3或x＝0时取得， ∵＞f(0)＝， ∴，∴，∴， 即，﹒ 变式4-1．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，， 解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：. 故答案为：. 变式4-2．已知函数（，）的最大值为，则实数 . 【答案】16 【详解】∵  函数在上为减函数，又数（，）的最大值为， ∴ 的最小值为3，即的最小值为9， 又由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， ∴ ，∴ 故答案为：16. 变式4-3．已知函数，，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：不等式即为， ，则函数为上的减函数， ，解得，故不等式的解集为 （2）解：对于函数，由可得，即函数的定义域为， 则， 在上单调递增，在上单调递减，. ，且的最小值为，，得，所以. 【题型5 复合函数的恒成立问题】 例9．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】时，，设，则， ， ∴时， 所以， 故答案为：． 例10．已知函数是奇函数. (1)求，的值； (2)证明：是区间上的减函数； (3)若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析. (3) 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以. 所以. 又奇函数的定义域为：，所以. 故，. （2）因为，下面利用定义证明函数在上为减函数. 设 则. 因为，所以，，， 故，所以即. 所以函数在上为减函数. （3）问题转化为：对任意恒成立. 所以. 设，则，.所以. 故. 所以的取值范围为：. 【点睛】关键点点睛：在求的值时，一定要注意函数具有奇偶性时，函数的定义域必定关于原点对称. 变式5-1．已知定义域为的函数．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】； 增大时，增大，减小，减小； 所以在上单调递减； 所以为奇函数，由得，； 又在上单调递减； 所以，该不等式对于任意恒成立； 即，对任意恒成立； 所以只需 令 显然单调递增 所以 故答案为：． 变式5-2．已知函数（且）是定义在R上的奇函数. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以， 令得, 解得. （2）， 不等式，即为， 可化为， 设，因为,所以， 当时，恒成立， 即为当时,恒成立， 设， 因为函数图象开口向上,若在上恒成立， 则，即 解得. 变式5-3．已知函数，． (1)求方程的解集； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）， 因为，则，即， 则或，解得或， 所以方程的解集为； （2）对，，设，， 所以不等式对于恒成立等价于 不等式对于恒成立，即对于恒成立， 设，，则， 当且仅当时，等号成立，故取得最小值， ∴，即m的取值范围为． 【题型6 求零点之和】 例11．已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【详解】由题意定义域为的函数满足， 则的图象关于点成中心对称， 函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到， 故的图象关于点成中心对称， 又曲线与曲线有且只有两个交点， 则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2， 而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标， 故函数的零点之和是2， 故选：A 例12．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【详解】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8, 故选：D. 【点睛】分段函数的零点方法点睛： 可以分段考查函数的零点情况，利用直观想象，借助数形结合，通过图象的变化规律来分析与处理，合理归纳. 变式6-1．（多选）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图示，作出和的图像. 当时，. 因为存在使得，所以. 由图示可知关于对称，所以，所以.故A正确； 令，即，解得： 或. 所以由图示可知：.故B正确. 因为当时，，所以，，所以时，有，即的图像关于对称，所以关于对称，所以，所以，即，所以. 因为，所以.故C错误； 因为关于对称，所以，所以. 又因为，所以.故D正确. 故选：ABD 变式6-2．已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据题意作出函数的图象，如图所示， 当时，令，解得或， 因为即为， 由题意可知：与有个交点， 结合图象可知实数的取值范围是； 不妨设，则，，， 且，显然，可得， 则，即， 可得， 由对勾函数可知在上单调递增，且， 则，即，可得 所以的取值范围为. 故答案为：；. 变式6-3．设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【详解】解：作出函数图像如下 由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）； 若互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为. 故答案为：（区间开闭均可）；. 【题型7 根据零点个数求参数】 例13．已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于的方程有2个不同的实根直线与的图象有2个不同的交点； 在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示， 当经过时满足要求，且此时斜率为，由此逆时针旋转直线至靠近轴都可满足要求， 由图可知，即， 故选：C. 例14．若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，当时，由0，得，即为函数的一个零点， 故当时，有一解，即有一解，得.则. 故答案为：（答案不唯一,都可以）. 变式7-1．已知函数若函数（）有3个零点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，令，得， 由题意得，函数的图像与直线（）有3个不同的交点 的图像如图①所示，其中M，N 直线（）过定点，斜率， 直线AN，AM的斜率分别为，， 如图②，由图像可知， 函数的图像与直线（）有3个不同的交点， 所以， 即 故选：B. 变式7-2．已知函数，若在该函数的定义域上存在互异的个数、、，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】在上存在互异的个数、、，使得， 即方程在上有个互异的根， 于是得直线与函数的图象在上有个公共点， 函数，的图象如图所示，    直线随着从开始不断增大而围绕原点逆时针旋转， 当时，直线与函数的图象只有一个公共点， 直线与函数的图象的公共点为时，， 当时，直线与函数的图象始终有个公共点， 当时，直线与函数的图象最多有个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 变式7-3．已知函数，若方程有3个不相同的解，则实数m的取值范围为 【答案】 【详解】因，则大致图象如下， 则要使方程，则直线与函数图象交点有3个，则. 故答案为： 【题型8 镶嵌函数的零点】 例15．已知函数则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于，令，由得或，解得或． 所以或， 当时，或，解得或． 当时，或，解得（舍）或． 所以函数的零点为或或， 故选：C. 例16．设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，的对称轴为， 当即时，的图象如图1，此时令，可得， 观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；    当即时，的图象如图2，此时令，可得或， 因为和均为的根， 所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，． 当时，的对称轴为， 则，解得， 故．    综上，的取值范围为． 故选：A. 变式8-1．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 变式8-2．设函数，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为，令， 则由，即，解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示，    由图象可知与有1个交点，即有1个根， 与有3个交点，即有3个根， 与有2个交点，即有2个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C 变式8-3．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图，    令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时， 则方程在内有两个不同的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 过关检测 一、单选题 1．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴， 故选：D 2．已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】时，由得， 时，由得或， 所以四个零点和为． 故选：D． 3．设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知，， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．已知函数，则的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为增函数，定义域为，故，则或. 又的对称轴为，故的单调减区间为. 故选：B 5．已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 因为在上单调递增， 由题意可得在上是减函数，且， ∴，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 6．已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，又， 所以原函数可变为，， 所以，，所以的值域为. 故选：A. 7．“”是“函数的值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点， 所以，则或， “”是或的既不充分也不必要条件， 故选：D． 8．已知函数若函数有个零点，函数有个零点，且，则非零实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题等价于与和的交点数之和为，作出的图象如下： 可以看出，对任意的非零实数，的图象和的交点数满足： 若，则；若，则；若，则. 而条件即为，此即，且或，从而的范围是或. 综上，所求取值范围是． 故选：C. 二、多选题 9．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减，故A正确， B错误； ∴，故C正确； 又，，的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则是增函数 C．存在实数a，使得为偶函数 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ABD 【详解】，A正确； 若，由复合函数单调性可知，在定义域内是增函数，B正确； 函数有意义，则， 无论为何值，函数定义域不可能关于原点对称，即不存在实数a，使得为偶函数，C错误； 若的值域为，则要取遍所有正数，得或，解得，D正确． 故选：ABD 11．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．1.5 D．2.3 【答案】ABC 【详解】由函数，画出图象，如图所示， 又由不等式，可得， 当时，，此时不等式无解； 当时，由，可得， 若不等式恰有1个整数解，则整数解为， 因为，可得； 当时，由，可得， 若不等式恰有1个整数解，只需． 综上所述：实数的取值范围为． 故选：ABC． 三、填空题 12．若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在定义域内单调递增，且在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上严格增，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知 若有六个根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，作出函数的图象，如图所示， 设函数的零点分别为， 由图象知，要使得有六个根，转化为在上有两解， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】关于的不等式对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，由于是递减函数，递减， 故，是递减函数， 故， 故 ， 故答案为： 四、解答题 15．已知函数. (1)作出函数在的图象； (2)求方程的所有实数根的和． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【详解】（1） （2）若，则或， 若，则， 即的实数根为或或 综上所有实数根之和为. 16．若函数在区间上是严格减函数，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递增，即，解得 ． 所以m的取值范围． 17．已知函数. （1）求函数f (x)的定义域； （2）求函数f (x)的值域. 【答案】（1）(1，p)；（2）当p＞3时，值域为；当1＜p3时，值域为. 【详解】解：（1）由题意得： ，解得：， 函数的定义域为． （2）①当，即时，在上单调减，，即， ，函数的值域为，； ②当即时，，即， ，函数的值域为，． 综上：当时，函数的值域为，； 当时，函数的值域为， 18．已知函数(且)的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间和值域． 【答案】(1)； (2)增区间为，减区间为，值域是﹒ 【详解】（1）由已知得：，解得，∴； （2）令，则函数g(x)由和复合而成， 其中在t∈R是单调递减， 在x∈(－∞，1)时单调递减，则x∈(1，＋∞)时单调递增， ∴g(x)在x∈(－∞，1)时单调递增，在x∈(1，＋∞)时单调递减； ∵，∴，故的值域是． 19．已知函数． （1）求函数的解析式． （2）若关于x的方程在上有实根，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【详解】解析（1）依题意，， 令，，则， ∴， ∴，， 所以函数解析式为，． （2）由（1）得，， 令，当时，则， 所以， 当时，， ，，即：， 若关于x的方程在上有实根， 则． 所以a的取值范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$