第07讲 一元二次方程及其应用（讲义，4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

null第二章 方程与不等式 第07讲 一元二次方程及其应用 （思维导图+4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程及解法 考点二 根的判别式 考点三 一元二次方程根与系数的关系 考点四 一元二次方程的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 ►题型02 选用合适的方法解一元二次方程 ►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 ►题型04 配方法的应用 ►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 命题点二 根的判别式 ►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况 ►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 ►题型03 利用根的判别式求代数式的值 ►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 不解方程，求方程中参数的值 ►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 命题点四 一元二次方程的实际应用 ►题型01 变化率问题 ►题型02 几何图形问题 ►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 ►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 一元二次方程及其解法 ★★ 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 一元二次方程根的判别式 ★ 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 一元二次方程根与系数的关系 ★★ 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的实际应用 变化率问题 ★★ 能根据现实情境理解方程的意义； 能针对具体问题列出方程； 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 利润问题 ★★ 循环问题 ★ 面积问题 ★ 其它问题 ★ 【考情分析1】本专题包括利用根的判别式确定一元二次方程解的情况、已知方程解的情况确定方程中未知字母的值及利用根与系数关系求解某些特定形式的代数式的值,试题形式多样，难度一般，常与完全平方公式的各种变形结合考查. 【考情分析2】一元二次方程的应用的考查多以解答题形式出现，难度一般，主要涉及的问题有变化率问题、利润问题、几何图形问题等. 解决实际问题时，要检验所求解是否满足实际意义，注意取舍. 【命题预测 】本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为12分左右.预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程及解法 一、一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 二、一元二次方程的解法 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 2．（2025·云南昆明·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 考点二 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【易错易混】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 2．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 3．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 5．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 3．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 4．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根． 考点四 一元二次方程的实际应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元二次方程的常见问题及数量关系： 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 7．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 2．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 4．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． ►题型02 选用合适的方法解一元二次方程 已知a，b，c分别为二次项系数，一次项系数，常数项. 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 1．（2024·安徽·中考真题）解方程： 2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 3．（2024·贵州·模拟预测）计算 (1) (2)从下列方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程 ①  ②   ③ 4．（2024·湖南衡阳·一模）（1）用配方法解方程：； （2）用适当的方法解方程：． ►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 2．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 (1)小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 4.（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． ►题型04 配方法的应用 【利用配方法求代数式的最值】求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0,则代数式有最大值. 1．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 2．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 4．（2023·江苏扬州·二模）（1）数学活动小组在研究函数的图像时提出了下列问题： ①函数的自变量x的取值范围是 ； ②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限； ③阅读材料：当时，． 当时，即时，有最小值是2． 请仿照上述过程，求出当时，的最大值； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． ►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 以开放性试题的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法解决问题有利于培优策略性思维。 1．（2023·贵州六盘水·一模）（1）小明解分式方程的过程如下： 去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 检验：当时，，…第六步 ∴是原分式方程的解．…第七步 上述解答过程是从第 步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）在初中阶段，我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①；②；③；④． 2．（2023·贵州黔东南·一模）我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①；②；④；④ 命题点二 根的判别式 ►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 ►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 【易错点】根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误. 1．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 4．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． ►题型03 利用根的判别式求代数式的值 1．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．（2024·四川雅安·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B．4 C．2 D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． ►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式 1．（2023·甘肃武威·中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）． 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 3．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 不解方程，求方程中参数的值 1．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 3．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 4．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． ►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 1．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 命题点四 一元二次方程的实际应用 ►题型01 变化率问题 1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 3．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ ►题型02 几何图形问题 1．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        2．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为，宽为，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为，宽为，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为，请计算裁出的每个小矩形的周长． ►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 1．（2024·黑龙江·模拟预测）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）据统计，2020年底某市汽车拥有量为75万辆，而截止到2022年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2024年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2023年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率． 4．（2024·辽宁·模拟预测）沈阳市推出“沈水之阳 我心向往——冬日雪暖阳”沈阳冬季游系列活动，涵盖四大主题余项精彩活动． 年春节假期期间，沈阳文旅市场异常火爆，累计接待国内游客万人次，据统计，我市某景点去年月份接待游客人数为万人，今年月份接待游客人数万人．求今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率． 5．（2024·山西朔州·二模）2024年中国家电及消费电子博览会在上海举行．据了解某电商平台2024年2月份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元．求该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率． ►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 1．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（    ） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 2．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 3．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ． 4．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 5．（2023·福建泉州·一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？ 6．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． $$第二章 方程与不等式 第07讲 一元二次方程及其应用 （思维导图+4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程及解法 考点二 根的判别式 考点三 一元二次方程根与系数的关系 考点四 一元二次方程的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 ►题型02 选用合适的方法解一元二次方程 ►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 ►题型04 配方法的应用 ►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 命题点二 根的判别式 ►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况 ►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 ►题型03 利用根的判别式求代数式的值 ►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 不解方程，求方程中参数的值 ►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 命题点四 一元二次方程的实际应用 ►题型01 变化率问题 ►题型02 几何图形问题 ►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 ►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 一元二次方程及其解法 ★★ 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 一元二次方程根的判别式 ★ 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 一元二次方程根与系数的关系 ★★ 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的实际应用 变化率问题 ★★ 能根据现实情境理解方程的意义； 能针对具体问题列出方程； 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 利润问题 ★★ 循环问题 ★ 面积问题 ★ 其它问题 ★ 【考情分析1】本专题包括利用根的判别式确定一元二次方程解的情况、已知方程解的情况确定方程中未知字母的值及利用根与系数关系求解某些特定形式的代数式的值,试题形式多样，难度一般，常与完全平方公式的各种变形结合考查. 【考情分析2】一元二次方程的应用的考查多以解答题形式出现，难度一般，主要涉及的问题有变化率问题、利润问题、几何图形问题等. 解决实际问题时，要检验所求解是否满足实际意义，注意取舍. 【命题预测 】本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右.预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程及解法 一、一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 二、一元二次方程的解法 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 先把化方程为一般式，从而得到常数项． 【详解】解：， 去括号，得， 合并，得， 所以常数项是． 故答案为：． 2．（2025·云南昆明·一模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：A． 3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 考点二 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【易错易混】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 【答案】C 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 2．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 3．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 4．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，直线不经过第三象限，则或，分这两种情形判断方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴或， 或 当时，原方程为是一元一次方程，故有一个实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上，方程有1个或2个解， 故选：D． 5．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)m的取值范围是； (2)m的取值范围． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点， （1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）求出，，再代入计算即可解答； 熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】（1）方程 整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 即m的取值范围是； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故m的取值范围． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 3．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 4．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出  ，代入化简结果，即可求解． 【详解】解：原式     ∵，是方程的两个根 ∴      ∴原式. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 考点四 一元二次方程的实际应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元二次方程的常见问题及数量关系： 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 2．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 3．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键． 7．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y＝﹣2x+160 (2)销售单价应定为50元 (3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得：， 解得， ∴y＝﹣2x+160； （2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程及其解法 ►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值 1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 2．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 4．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． ►题型02 选用合适的方法解一元二次方程 已知a，b，c分别为二次项系数，一次项系数，常数项. 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 1．（2024·安徽·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题． 2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 3．（2024·贵州·模拟预测）计算 (1) (2)从下列方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程 ①  ②   ③ 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元二次方程，零指数幂： （1）根据二次根式的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可； （2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； ③∵， ∴， ∴， 解得． 4．（2024·湖南衡阳·一模）（1）用配方法解方程：； （2）用适当的方法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用完全平方公式配方，进而解方程即可得到答案； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：（1） 解得； （2） 或 解得． ►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程 1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 2．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 (1)小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)，．过程见解析 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程． （1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． 【详解】（1）小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三 （2）解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，，． 3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【答案】(1)两位同学均错 (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 4.（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下： 解：原方程可化为，第一步 配方，得，第二步 即，第三步 直接开平方，得，第四步 所以，．第五步 (1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误； (2)请你正确求解该方程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， ∴这位同学的解题过程从第二步开始出现错误； （2）配方法： 解得，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． ►题型04 配方法的应用 【利用配方法求代数式的最值】求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0,则代数式有最大值. 1．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 2．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 4．（2023·江苏扬州·二模）（1）数学活动小组在研究函数的图像时提出了下列问题： ①函数的自变量x的取值范围是 ； ②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限； ③阅读材料：当时，． 当时，即时，有最小值是2． 请仿照上述过程，求出当时，的最大值； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）①；②一、三；③当时，的最大值为；（2）最小值为11；（3）25 【分析】（1）①根据分母不为0即可求解；②根据当时，；当时，即可判断；③模仿求解过程，利用配方法即可求解； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）①函数的自变量x的取值范围为：； ②容易发现，当时，；当时，． 由此可见，图像在第一、三象限； ③当时，； 当时， 当时，的最小值为2；当时，的最大值为． 故答案为：①；②一、三；③当时，的最大值为； （2）由， ， ， 当时，最小值为11． （3）设，已知， 则由等高三角形可知： 四边形面积 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． ►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程 以开放性试题的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法解决问题有利于培优策略性思维。 1．（2023·贵州六盘水·一模）（1）小明解分式方程的过程如下： 去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 检验：当时，，…第六步 ∴是原分式方程的解．…第七步 上述解答过程是从第 步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）在初中阶段，我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①；②；③；④． 【答案】（1）一，见解析；（2）①，；②，；③，；④， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解分式方程： （1）观察可知，上述解答过程是从第一步出错的，原因是去分母时，方程右边的1没有乘以x，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可； （2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用公式法解方程即可；④利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）观察可知，上述解答过程是从第一步出错的，原因是去分母时，方程右边的1没有乘以x， 去分母，得，…第一步 去括号，得，…第二步 移项，得，…第三步 合并同类项，得，…第四步 系数化为1，得．…第五步 检验：当时，，…第六步 ∴是原分式方程的解； （2）①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； ②∵， ∴， 解得，； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； ④∵， ∴， ∴，． 2．（2023·贵州黔东南·一模）我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①；②；④；④ 【答案】①，；②，；③；④； 【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法、公式法和因式分解法，根据方程特点灵活选择方法是解题的关键． ①变形后用因式分解法解方程即可；②用配方法解方程即可；③用公式法解方程即可；④用因式分解法解方程即可． 【详解】解：任选两个方程解答如下： ①； ∴， ∴， 则或， 解得，； ② ∴ ∴， ∴， 则，； ③ 由题意得， ∵， ∴， ∴； ④ ∴， 则或， 解得； 命题点二 根的判别式 ►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． ►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 【易错点】根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误. 1．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． ►题型03 利用根的判别式求代数式的值 1．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A．－2 B．2 C．－4 D．4 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．（2024·四川雅安·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 是方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 故选：A． ►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式 1．（2023·甘肃武威·中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【分析】先根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，根据的取值范围，选取合适的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 当时，满足题意， 故答案为：（答案不唯一，合理即可） 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 3．（2023·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选②，，；选③，， 【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 不解方程，求方程中参数的值 1．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 3．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 4．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． ►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值 利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 1．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 命题点四 一元二次方程的实际应用 ►题型01 变化率问题 1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 3．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． ►题型02 几何图形问题 1．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        【答案】的长为米或米 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为，宽为，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为，宽为，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为，请计算裁出的每个小矩形的周长． 【答案】裁出的每个小矩形的周长为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每个小矩形的长为，宽为列出方程，然后求解即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由每个小矩形的长为，宽为， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴裁出的每个小矩形的周长为， 答：裁出的每个小矩形的周长为． ►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用 1．（2024·黑龙江·模拟预测）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该款上衣销售量的月平均增长率为，利用该款上衣3月份的销售量该款上衣1月份的销售量该款上衣销售量的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款上衣销售量的月平均增长率为． 故选：A． 2．（2024·四川成都·二模）世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)元 (2)销售单价为元时每天获利最大，最大利润元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，依题意得，且，可得，，由，根据二次函数的性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设每套吉祥物的售价为x元， 依题意得，， 整理得：， 解得，， ∴为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为元． （2）解：设每天销售吉祥物获得的利润为y元， 依题意得，∵且， 解得， ， ∵， ∴当，最大，最大值为， 答：销售单价为元时每天获利最大，最大利润元． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）据统计，2020年底某市汽车拥有量为75万辆，而截止到2022年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2024年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2023年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率． 【答案】从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆；2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 【分析】设2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，由题意可列一元二次方程求解；根据2024年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆即可求出从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆． 【详解】设2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是， 根据题意，得， 得，（不合题意，舍去）， 设从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过万辆， 由题意得：，解得， 答：从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆；2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是． 【点睛】本题考查一元二次方程与增长率问题．正确理解题意是解题关键． 4．（2024·辽宁·模拟预测）沈阳市推出“沈水之阳 我心向往——冬日雪暖阳”沈阳冬季游系列活动，涵盖四大主题余项精彩活动． 年春节假期期间，沈阳文旅市场异常火爆，累计接待国内游客万人次，据统计，我市某景点去年月份接待游客人数为万人，今年月份接待游客人数万人．求今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率． 【答案】今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为，根据题意列出方程，然后求解即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为， 由题意得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， 答：今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为． 5．（2024·山西朔州·二模）2024年中国家电及消费电子博览会在上海举行．据了解某电商平台2024年2月份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元．求该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程．设该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率为x． 根据题意得 解得，（不符合题意，舍去） 所以． 答：该电商平台3.4两个月销售额的月平均增长率为． ►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用 1．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（    ） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于x的方程，并用整体代入思想解答是解题关键．欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理建立关于x 的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x，设，则， ∴， 在中，， 即， 整理得，， 矩形的面积为：， ∴该矩形的面积为， ∴矩形的面积是与的积， 故选：A． 2．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键． 根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可． 【详解】解∶设幻方所填数如图所示， ∴，， 由①得， 由② 由得：， 解得：，， 故选：A． 3．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ． 【答案】 【分析】设正方形城池的边长为步， ，根据比例性质列方程即可． 【详解】解：设正方形城池的边长为步，则， ， ， ， ，即， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程和相似三角形的应用，构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长是解题的关键． 4．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 【答案】这批椽的数量为46株 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格”列方程求解即可． 【详解】解：设这批椽有x株， 依题意得                           整理得 解得（不合题意，舍去） 答：这批椽的数量为46株 5．（2023·福建泉州·一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？ 【答案】宽为6尺，高为8尺，长为10尺 【分析】设长竿的长x尺，再表示宽和高，根据勾股定理列出方程，然后求出解，即可确定答案． 【详解】解：设竿长为尺，则门的宽为尺，高为尺，依题意，得 整理，得 解得，， ， 只取， 故，． 答：宽为6尺，高为8尺，长为10尺． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，勾股定理是求线段长的常用方法． 6．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)2022 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：2022； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得n=9，（负值舍去）， 故n的值为9． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． $$