专题九 计数原理与概率统计（练重难）-2025届高三数学二轮复习

专题九 计数原理与概率统计（练重难） ——高考数学二轮复习讲练测合集 1.若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该二项展开式中常数项为( ) A.90 B. C.180 D. 2.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人们的生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量Y与温度X的关系可以用模型（其中e为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量Y的估计值为( ) A. B. C.3 D.6 3.设样本数据，，，…，，的平均数和方差分别为2和8，若（m为非零常数，），则，，，…，，的平均数和标准差分别为( ) A.，32 B.， C.， D.，32 4.中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为( ) 附:若，则，， A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773 5.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办世界性综合运动会.该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项，其中，篮球项目比赛、热身和训练在凤凰山体育公园等8个体育场馆举行.将5名志愿者分配到3个场馆，每个场馆至少有1名志愿者，且每名志愿者只去一个场馆，则志愿者甲、乙到同一场馆的概率为( ) A. B. C. D. 6.现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则( ) A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件 C. D. 7.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则这九根树枝从高到低不同的顺序共有( ) A.23种 B.24件 C.32种 D.33种 8.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为( ) A. B. C. D. 9.（多选）为响应城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图： 基于以上统计信息，则( ) A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟 B.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟 C.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 D.坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值 10.（多选）已知，随机变量X，Y的分布列如表所示. X 0 1 P Y 0 1 P 下列说法正确的是( ) A.若且，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 11.的展开式中的系数为________（用数字作答）. 12.某人在10次射击中击中目标的次数为X，.若最大，则___________. 13.江先生上班通常乘坐公交或乘坐地铁，且他从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交的路上经常拥堵，所需时间Z（单位：分钟）服从正态分布，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Y（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.若江先生要在9点之前赶到单位打卡上班，则：①若出门，则乘坐公交不会迟到；②若出门，则乘坐地铁不迟到的可能性更大；③若出门，则乘坐公交不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能不迟到.从统计的角度认为，以上说法中所有合理说法的序号是_________. 参考数据：若随机变量，则，，. 14.2022年2月4日至2月20日第24届冬奥会在北京举行，本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，其中一个原因是主办方的广泛宣传.某课外学习小组通过收集整理出了宣传力度（x）与好评量（y）之间的散点图（如图所示），根据散点图中的数据，令，统计整理得到与的如下数据表，现计划用或建立y关于x的回归方程. 10.15 109.94 3.04 0.16 13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22 （1）设与的相关系数分别为，，求，的值并根据其意义判断哪种模型更合适建立y与x的回归方程，请求出该方程； 参考数据和公式：，， ，回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. （2）为发挥线上购物的优越性，现主办方在某网购平台推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品进行售卖，网购平台为提高销售量，组织A，B，C三家网店开展“秒杀”抢购活动.其中甲在A家抢购一个订单，乙在B家抢购一个订单，丙在C家抢购一个订单，若三人在三家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，且三人是否抢购成功互不影响，记三人抢购到的订单总数为随机变量Z. （1）求Z的分布列及； （2）若每个订单由个“冰墩墩”构成，记三人抢购到的“冰墩墩”总数量为T，假设，求取最小值时正整数k的值. 15.某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），将数据分成，，，，，这6组，得到如图的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74.以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率. （1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值. （2）若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在的个数，求X的分布列和数学期望. （3）若变量S满足且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度Y满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批零件能否被签收？ 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则项数，即，则其通项公式.令，得，则.故选C. 2.答案：B 解析：由表格中的数据知，，.将，的值代入，得，，即，.当时，.故选B. 3.答案：B 解析：样本数据，，，…，，的平均数和方差分别为2和8，（m为非零常数，），则，，，…，，的平均数为，标准差为.故选B. 4.答案：D 解析：抛掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，则， 故，， 由中心极限定理可知，， . 5.答案：D 解析：5名志愿者分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为3，1，1或2，2，1， 当分为3，1，1时，有（种）分配方法， 当分为2，2，1时，有（种）分配方法，即共有（种）分配方法， 其中志愿者甲、乙到同一场馆，将甲、乙看作一个整体，情况有（种）分配方法， 故志愿者甲、乙到同一场馆的概率为， 故选：D. 6.答案：C 解析：对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 7.答案：D 解析：不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置. 根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E，可得且在前四个位置，，，且E，F一定排在后三个位置. （1）若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有种排法； （2）若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位置中的一个位置时，共有5种排法. 由分类加法计数原理可得这九根树枝从高到低不同的顺序共有种.故选D. 8.答案：C 解析：解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜. 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为. 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为. 解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为. 故选：C. 9.答案：BC 解析：对A：设骑车时间的中位数为a，则，解得，故骑车时间的中位数的估计值是21.5分钟，A错误； 对B：设坐公交本时间的分位数为b，则，解得， 故坐公交车时间的分位数的估计值是19分钟，B正确； 对C：坐公交车时间的平均数 ，骑车时间的平均数， ，故坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，C正确； 对D：坐公交车时间的方差，骑车时间的方差，故坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值，D错误.故选BC. 10.答案：AC 解析：依题意， ， 则. 又， ， 所以， ， 所以 . 对于A：因为且，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，由于无法确定与1的大小关系，即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故B错误； 对于C：因为，所以，，所以，即，即，故C正确； 对于D：因为，所以，但是无法确定与1的大小关系，即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故D错误. 故选AC. 11.答案：-28 解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为. 12.答案：8 解析：在10次射击中击中目标的次数为X，且， 当时对应的概率， 因为的值最大，所以 即 即解得，因为且，所以，即时的概率最大. 13.答案：③④ 解析：①若出门，江先生乘坐公交，因为从家到公交站要5分钟，下公交后步行到单位要12分钟，并且乘坐公交所需时间Z服从正态分布，所以当满足时，江先生不会迟到，又，所以江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故①错误. ②若出门，江先生乘坐公交，则当满足时，江先生不会迟到，又，所以江先生乘坐公交不会迟到的概率约为0.97725；若出门，江先生乘坐地铁，因为从家到地铁站要5分钟，下地铁后步行到单位要5分钟，并且乘坐地铁所需时间Y服从正态分布，故当满足时，江先生不会迟到，又，所以江先生乘坐地铁不会迟到的概率约为0.97725.此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故②错误. ③若出门，江先生乘坐公交，则当满足时，江先生不会迟到，又，故江先生乘坐公交不会迟到的概率约为0.84135；若出门，江先生乘坐地铁，则当满足时，江先生不会迟到，又，故江先生乘坐地铁不会迟到的概率为0.5，此时比较两种上班方式，显然江先生乘坐公交不迟到的可能性更大，故③正确. ④若出门，江先生乘坐地铁，则当满足时，江先生不会迟到，又，故此时江先生乘坐地铁不会迟到的概率约为0.00135，即江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故④正确.综上可知，合理说法的序号为③④. 14.答案：（1） （2）①见解析；②k的值为3或4 解析：（1）由题意知，， 因为，所以用模型建立y与x的回归方程更合适.又因为， ，所以y关于x的回归方程为. （2）①由题意知，Z的所有可能取值为0，1，2，3，则， ，，，， 的分布列为 Z 0 1 2 3 P . ②，， 令，则， ， 则当时，；当时，；当时，. 取最小值时正整数k的值为3或4. 15.答案：（1）这批零件的长度大于1.60分米的频率为0.15；，， （2）X的分布列见解析；数学期望为2.1 （3）这批零件是合格的，将顺利被该公司签收 解析：（1）由题意可知120个样本零件中长度大于1.60分米的共有18个， 则这批零件的长度大于1.60分米的频率为. 记Y为零件的长度， 则， ， ， 故，，. （2）由（1）可知从这批零件中随机选取1个，长度在的概率. 又随机变量X服从二项分布， 则， ， ， ， 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 （或）. （3）由题意可知，， 则， . 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布. 因此应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 学科网（北京）股份有限公司 $$