专题九 计数原理与概率统计（练基础）-2025届高三数学二轮复习

专题九 计数原理与概率统计（练基础） ——高考数学二轮复习讲练测合集 1.某教育局想了解全市所有高中生对某电影的评价，决定从全市所有高级中学中选取3所学校按学生人数用分层随机抽样的方法抽取一个样本.若3所学校学生人数之比为，且从学生人数最少的一个学校中抽取120人，则这个样本的容量为( ) A.560 B.540 C.450 D.400 2.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到2所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( ) A.35 B.40 C.50 D.70 3.在一次实验中，测得的五组数值如表所示. x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 经计算知，y关于x的回归直线方程是6.，预测当时，( ) A.47.5 B.48 C.49 D.49.5 4.在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，，记，，，经统计，某零件的尺寸大小X（单位：）服从正态分布，则( ) A. B. C. D. 5.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成，如图，分别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五行中任选不同的两行，则这两行相克的概率为( ) A. B. C. D. 6.已知随机变量，若，则( ) A． B． C． D． 7.的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为( ) A.320 B. C.160 D. 8.甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是( ) A. B. C. D. 9.（多选）下列结论正确的是( ) A.若随机变量X服从两点分布，，则 B.若随机变量Y的方差，则 C.若随机变量服从二项分布，则 D.若随机变量服从正态分布，，则 10.（多选）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某政府为了制定居民节约用水相关政策，抽样调查了该市200户居民月均用水量（单位：t），绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( ) A.图中小矩形ABCD的面积为0.24 B.该市居民月均用水量的众数约为 C.大约有85%的居民月均用水量不超过 D.这200户居民月均用水量的中位数大于平均数 11.某中学将5名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团且每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种. 12.假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于p，其中，且各场比赛互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率.已知，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为__________. 13.一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装三发子弹.当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，则猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，则猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若三发子弹都没打中，野兔就逃跑了.在已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________. 14.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率. （2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 15.进入12月就到了贵阳市附近草莓采摘的时间，某草莓园为了制定今年的草莓销售策略，随机抽取了去年100名来园采摘顾客的消费情况，得到如图的频率分布 直方图. （1）求a的值，并根据频率分布直方图估计顾客消费的中位数； （2）若把这100名顾客中消费超过120元的称为“超级消费者”，完成下表，并判断是否有的把握认为“超级消费者”与性别有关. 男 女 总计 超级消费者 8 28 非超级消费者 32 总计 100 附：，. 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 答案以及解析 1.答案：B 解析：设样本容量为n，依题意，，解得，所以这个样本容量为540.故选B. 2.答案：C 解析：将6名学生分成两组，每组不少于2人的分组中，可分成一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案数为.故选C. 3.答案：B 解析：由题意知，，，由回归直线过点得，解得，故.所以当时，.故选B. 4.答案：C 解析：由题意知，，，，. 结合正态曲线的对称性可得.故选C. 5.答案：B 解析：因为从这五行中任选不同的两行有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种情况，其中相克的情况有金木、金火、水火、水土、木土，共5种，所以两行相克的概率.故选B. 6.答案：B 解析：随机变量，则有，由，解得，所以. 故选B 7.答案：D 解析：的展开式的通项，则.因为，所以..令，可得，则，得.因为，所以在中，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故选D. 8.答案：A 解析：由题，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色. 若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为.故所求概率为.故选A. 9.答案：CD 解析：对于A，若随机变量X服从两点分布，，则，故A错误.对于B，若随机变量Y的方差，则，故B错误.对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C正确.对于D，若随机变量服从正态分布，，则，故，故D正确.选CD. 10.答案：ABC 解析：由，可得，所以，故A正确； 由题意可知该市居民月均用水量的众数约为，故B正确； 由题意可得该市居民月均用水量不超过的频率为，故C正确； 设这200户居民月均用水量的中位数为， 因为第一个矩形的面积为0.04，第二个矩形的面积为0.3，第三个矩形的面积为0.24，所以中位数， 则. 这200户居民月均用水量的平均数，因为， 所以这200户居民月均用水量的中位数小于平均数，故D不正确.故选ABC. 11.答案：240 解析：根据题意，分2步完成分配：①将5名学生志愿者分为4组，选其中2名为1组，其余3名为3组，有（种）分组方法；②将分好的4组安排到4个社团参加志愿活动，有（种）安排方式.由分步乘法计数原理知共有（种）分配方案. 12.答案： 解析：由题意知.因为，所以.化简，得，解得（负值已舍去），从而. 13.答案： 解析：记事件A表示“猎人开第一枪击中野兔”，B表示“猎人开第二枪击中野兔”，C表示“猎人开第三枪击中野兔”，D表示“野兔被击中”，则，，所以. 14.答案：（1） （2），，，甲班级代表学校参加大赛更好 解析：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率； （2）甲班级能正确回答题目人数为X，则X的可能取值为1，2，，， 则，. 乙班级能正确回答题目人数为Y，则Y的可能取值为0，1，2.所以， ，. 由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好. 15.答案：（1）；中位数 （2）列联表见解析；有的把握认为“超级消费者”与性别有关 解析：（1）由题意，得，解得. 易知中位数在之间. 设中位数为m， 则， 解得. （2）补充完整的列联表如下： 男 女 总计 超级消费者 8 20 28 非超级消费者 40 32 72 总计 48 52 100 由题意，得， 所以有的把握认为“超级消费者”与性别有关. 学科网（北京）股份有限公司 $$