上海市杨思高级中学2024-2025学年高二上学期12月阶段质量检测数学试卷

2024学年第一学期上海市杨思高级中学12月阶段质量检测 年级：高二 时长：90分钟 学科：数学 命题人：王煦 审卷人：程蕾 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 已知，则______. 2. 若球的半径为2，则此球的表面积是________. 3. 已知，，若，则______. 4. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 5. 从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是________． 6. 已知，，则向量在向量上的投影向量是______. 7. 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是______. 8. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有______种.（用数字作答） 9. 如图已知点A，在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为4π，∠ASB=30°，若AB与截面SAO所成角为60°，则圆锥SO的侧面积为______ 10. 如图所示，在平行六面体中，，，，则______. 11. 从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为________.（用数字作答） 12. 如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是________. 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 16. 在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（ ）． A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（共5题，共52分） 17. 3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. （1）学生甲不在最左边； （2）3名男生必须排在一起. 18. （1）解不等式： （2）证明：. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21. 如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. （1）求直线到平面的距离； （2）在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 2024学年第一学期上海市杨思高级中学12月阶段质量检测 年级：高二 时长：90分钟 学科：数学 命题人：王煦 审卷人：程蕾 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 【1题答案】 【答案】6 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】6 【4题答案】 【答案】平行或异面 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】96 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（共5题，共52分） 【17题答案】 【答案】（1）4320 （2）720 【18题答案】 【答案】（1）； （2）证明： ， 因此，. 【19题答案】 【答案】（1）证明：，且为棱的中点， ， 四边形为正方形， ， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 平面， ， 又，，平面， 平面； （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【21题答案】 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，点H的轨迹是半径为的圆 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $