5.1.2利用二分法求方程的近似解课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

5.1.2 利用二分法求方程的近似解 例：方程lnx+2x-6=0在区间[2,3]内是否有解？为什么？ 思考：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果你是维修工人，你会爬上每根线杆测试吗？ 怎样工作才合理？ （两线杆之间的距离大约是30-50米） 设闸房和指挥部的所在处为点A,B 首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时， 若发现AC段正常，断定故障在BC段； 再从BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段； 再到CD中点E来查..... 这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半， A (闸房) C B （指挥部） D E 取中点 算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50m-100m左右，即两根电杆附近，最多查几次就可以了？ 1.学习二分法的思想，掌握二分法求方程近似解 的一般步骤.（重点） 2.明确精确度ε与近似值的区别. 3.学会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解.（难点） 4.学习用二分法思想解决其他的实际问题. 已知函数方程lnx+2x-6=0在区间[2，3]内有零点. 类比维修工人的维修方法，如何利用二分法缩小这个解所在范围？ 2 f(2)<0 3 f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 2.75 f(2.75)＞0 2.625 f(2.625)＞0 2.5625 f(2.5625)＞0 新知识 1、方程的近似解 为了得到满足精确度的近似解，只需要找到方程的一个有解区间[a,b]，使得区间长度b-a≤，那么区间[a,b]内任意一个数都是满足精确度的解 满足精度的近似解： 设是方程f（x）=0的一个解，给定正数，若x0满足________，就称x0是满足精度的近似解。 对于一般函数y=f(x)，x∈[a,b]，若函数y=f(x)的图像是一条连续的曲线，，则f(x)=0在区间(a,b)内有解。 如何求方程f(x)=0的近似解？ 中点 新知识 2、什么是二分法 根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号 （2，3） f(2)<0,f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 （2.5，3） f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.75)>0 （2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 （2.5，2.625） f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)>0 （2.5，2.5625） f(2.5)<0 f(2.5625)>0 2.51325 f(2.53125)<0 （2.53125，2.5625） f(2.53125)<0 f(2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0 （2.53125，2.546875） f(2.53125)<0 f(2.546875)>0 2.5390625 f(2.5390625)>0 （2.53125，2.5390625） f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 由于|2.5390625-2.531 25|=0.0078125＜0.01， 所以，可以将x=2.51325作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也就是方程lnx+2x-6=0的近似根。 例4：求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（精确度为0.01） 解：考察函数f（x）=2x3+3x- 3，基于零点存在定理。从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在的区间. 经试算，f（0）= -3＜0，f（1）=2＞0，所以方程f（x）=0 在区间（0，1）内有解. 取区间（0，1）的终点0.5，f（0.5）= -1.25＜0，所以方程f（x）=0，在区间（0.5，1）内有解. 如此下去，得到方程f（x）的解所在的区间，如表 至此，可以看出区间[0.734375,0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01.而方程的解就在这个区间内. 因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解. 例如，0.74就是方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的一个近似解. 新知识 3、用二分法求方程近似解的步骤 “初始区间”是一个两端点函数值异号的区间； 新区间的一个端点是原区间的中点，另一个端点是原区间两个端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号. 若方程f（x）=0，有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值. 1、所有函数的零点都可以用二分法求出（ ） 只有函数y＝f(x)的图象在零点附近是连续的且在该零点左右函数值异号才可以用二分法求解． 2、观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) × 【解析】 选A. 3、在用二分法求方程f(x)=0的一个近似解时，经计算f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则方程f(x)=0的一个近似解可以是（ ） A.0.64 B.0.65 C.0.70 D.0.73 答案：C 【解析】选B.据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算． 4、用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 5、用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________． 【解析】令f(x)＝x3－2x－5， 则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0. 因为f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根的区间为[2，2.5). 答案：[2，2.5) 6、已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为(　　) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的零点个数为3. 答案:D 二分法的定义：对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，___________，则每次取区间的____，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 7、用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01) 解析：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0， 因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (1,1.5) 1.25 －0.30 (1.25,1.5) 1.375 0.22 (1.25,1.375) 1.312 5 －0.05 (1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08 (1.312 5,1.343 75) 1.328 125 0.01 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 －0.02 因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01， 所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125. 8、若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列命题中正确的是(　　) A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点 C．函数f(x)在(2,5)内有零点 D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点 答案：ABD 【典例】 已知函数f(x)在区间(0,a)(a>0)内有唯一的零点,在用 二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为 ,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)在区间内一定有零点 B.函数f(x)在区间内有零点 C.函数f(x)在区间内无零点 D.函数f(x)在区间内有零点,或零点是 正解:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的 区间.因此,在区间内有零点,或零点是,故选D. $$