精品解析：河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年上学期期中学科素养检测卷九年级数学试题

汝阳县2024~2025学年第一学期期中学科素养检测卷 九年级数学 一、选择题（各小题四个选项中，只有一个是正确的，将正确的选项代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式为（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如果m是负实数，则关于x的方程根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 一个实数根 C. 两个实数根 D. 不能判断 4. 已知，则下列成立的为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 或1 D. 1 7. 如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　 ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6 8. 今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？（注：1里步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（ ） A. 300步 B. 315步 C. 400步 D. 415步 9. 如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知5a=6b（a≠0），那么的值为_______． 12. 当时，化简：______． 13. 两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是______． 14. 如图，反比例函数图象上一点A，连结，作轴于点B，作交反比例函数图象于点C，作轴于点D，若点A、点C横坐标分别为，则的值为_______． 15. 辅助线的功能为题目增加新的条件，使题目思路能够顺利进行下去．下面题目需要添加辅助线，请你解答填空．有一个，在它的三边上（或它（它们）的延长线上）相应地各取一点（如下图所示），如果三点共线，那么_______． 三、解答题（共8个小题，满分75分，要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. （1）用配方法解方程； （2）解关于x的一元二次方程． 17. 计算：． 18. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，泉州市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小成，点A的对应点为，点B的对应点为． （1）把缩小成有几种情况，分别在图中画出； （2）直接写出的坐标_______． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点． （1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求DF的长． 21. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 23. 如图，点P（m，n）是双曲线（x＜0）上一动点，且m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32＝0的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，FO的延长线交过B点与AB垂直的直线于点Q． （1）求双曲线的解析式； （2）求OP的最小值； （3）若点O到AB的距离等于OP的最小值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汝阳县2024~2025学年第一学期期中学科素养检测卷 九年级数学 一、选择题（各小题四个选项中，只有一个是正确的，将正确的选项代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、 ，可化简，故本选项错误； B、 是最简二次根式，故本选项正确； C、，可化简，故本选项错误； D、，可化简，故本选项错误； 故选B. 【点睛】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简即可． 【详解】解：A.，此选项错误，不符合题意； B. ，此选项正确，符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟知运算法则以及二次根式的性质是解本题的关键． 3. 如果m是负实数，则关于x的方程根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 一个实数根 C. 两个实数根 D. 不能判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断即可解答． 【详解】解：∵m是负实数， ∴ ∴关于x的方程根的情况为无实数根． 故选：A． 4. 已知，则下列成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据结合比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴A．C．D选项错误，B选项正确． 故选：B． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 或1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：A． 7. 如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　 ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ADE∽ABC， ∴， 又∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴ODE∽OCB， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 8. 今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？（注：1里步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（ ） A. 300步 B. 315步 C. 400步 D. 415步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：B． 9. 如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积是16． 故选：D． 10. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知5a=6b（a≠0），那么的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由等式可用a表示出b，代入求值即可． 【详解】解： ∵5a=6b（a≠0）， ∴b= a， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键． 12. 当时，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 两个相邻偶数的积是168，则这两个相邻偶数中较大的数是______． 【答案】14或 【解析】 【分析】先设出相邻的最小偶数，用偶数的性质表示对大的偶数，根据题意构造方程，解这个方程即可 【详解】解：设两个相邻偶数分别为n，n+2, 根据题意 整理得 配方得 ∴ ∴, ∴， 这两个相邻偶数中较大的数是14或-12 【点睛】本题考查一元二次方程数字问题应用题，掌握一元二次方程数字问题应用题方法与步骤，注意偶数的表示，连续偶数的表示是解题关键． 14. 如图，反比例函数图象上一点A，连结，作轴于点B，作交反比例函数图象于点C，作轴于点D，若点A、点C横坐标分别为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程等，表示出线段的长度是解题的关键． 根据题意得到，，则，，，，，证出，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵点A、点C横坐标分别为m、n， ∴， ∴，，，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得，， 解得，（负数舍去）， ∴． 故答案为：． 15. 辅助线的功能为题目增加新的条件，使题目思路能够顺利进行下去．下面题目需要添加辅助线，请你解答填空．有一个，在它的三边上（或它（它们）的延长线上）相应地各取一点（如下图所示），如果三点共线，那么_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，过点C作交于点J，首先证明出，，得到，，然后等量代换求解即可；如图所示，过点C作交于点E，首先证明出，，得到，，然后等量代换求解即可． 【详解】如图所示，过点C作交于点J ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作交于点E ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 三、解答题（共8个小题，满分75分，要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. （1）用配方法解方程； （2）解关于x的一元二次方程． 【答案】（1），；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后将二次项系数化为1，然后利用配方法解一元二次方程即可； （2）方程移项，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 又可化为 得， 得到， 所以原方程的解为，； （2）解： 即 即 即 即 或 解得，． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先用完全平方公式、平方差公式、二次根式乘除混合运算法则计算，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的相关运算法则是解答本题的关键． 18. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，泉州市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？请说明理由． 【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【解析】 【分析】(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，三月份10万，四月份10+10x=10(x+1),五月份10(1＋x)2根据题意列出方程10(1＋x)2＝12.1，解这个方程即可， (2)求出21名快递员投递0.6×21万件，6月份快递任务：12.1×(1＋0.1)万件两式经过计算比较即可． 【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意，得10(1＋x)2＝12.1， (1＋x)2＝1.21，1＋x＝±1.1， x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； (2) ∵0.6×21＝12.6(万件)， 12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)， 12.6万件＜13.31万件， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 【点睛】本题考查增长率问题，掌握增长率问题的应用题的解题方法，会用增长率表示代数式，利用题意列出方程，会解方程与检验是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小成，点A的对应点为，点B的对应点为． （1）把缩小成有几种情况，分别在图中画出； （2）直接写出的坐标_______． 【答案】（1）共有两种情况， 如图：为所求； 或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查位似变换，根据“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或”是解题的关键． （1）根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标的比等于或，”求解出位似图形的坐标，即可画出图形； （2）由（1）即可解答． 【小问1详解】 解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点A的对应点的横坐标是或，纵坐标依次是或， 点A的对应点的横坐标是或，纵坐标依次是或， 即点A的对应点的坐标为或，点B的对应点的坐标为或， ∴把缩小成共有两种情况 【小问2详解】 解：由（1）知：点的坐标为或． 20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点． （1）尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求DF的长． 【答案】（1） 如图，过点D作DF⊥AE即可； （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作DF⊥AE，利用余角的性质找两个角对应相等，则可得到△ABE∽△DFA； （2）先根据中点的性质求出BE，再根据勾股定理求出AE长，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠DFA=90°， ∵∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DFA； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∵点E是BC的中点． ∴BE＝BC＝3， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝5， ∵△ABE∽△DFA， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似的变换和勾股定理等知识，正确作出点F是解题的关键． 21. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 22. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 【答案】（1） 证明： 所以此方程总有实根． （2）三角形另外两边长为2，2 【解析】 【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证． （2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则此方程有两个相等实根 此时，则， 原方程为：，， ∴另外两边长为2和2， ②若，则是方程的根， ∴， ∴， 原方程为， 解得：，， 而1、1、2为边不能构成三角形． 所以，三角形另外两边长为2，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 23. 如图，点P（m，n）是双曲线（x＜0）上一动点，且m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32＝0的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，FO的延长线交过B点与AB垂直的直线于点Q． （1）求双曲线的解析式； （2）求OP的最小值； （3）若点O到AB的距离等于OP的最小值，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得 ，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到当 时，OP最小，即可求解； （3）过点O作OG⊥AB于点G，可得到 ，设EF=x，可得AE=2x，再由OG⊥AB，AE⊥AB，QB⊥AB，可得到△BOG∽△BEA，△BOQ∽△EOF，从而得到 ，进而得到 ，即可求解． 【详解】解：（1）∵m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32＝0的两根， ∴ ， ∵点P（m，n）在双曲线（x＜0）上． ∴， ∴双曲线的解析式为 ； （2）∵点P（m，n）， ∴ ， ∴当 时，OP最小，最小值为 ， 即OP的最小值为； （3）如图，过点O作OG⊥AB于点G， ∵点O到AB的距离等于OP的最小值， ∴ ， 设EF=x， ∵点F是AE的中点， ∴AE=2x， ∵OG⊥AB，AE⊥AB，QB⊥AB， ∴QB∥OG∥AE， ∴△BOG∽△BEA，△BOQ∽△EOF， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $