精品解析：河北省邯郸市魏县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　) A. 12 B. ﹣12 C. 64 D. ﹣64 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3x－1＝0 B. C. D. 6. 直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 7. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（　　） A. B. C. D. 无法求解 8. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 9. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为______． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是____． 13. 已知 是关于x的方程的两个实数根，，则＝_____． 14. 若a，b为有理数，且，则=___． 15. 已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____． 三、解答题（共10小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图所示，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）点B关于点A对称的点的坐标是___________； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转90度，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标． 18. 在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． （1）如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； （2）如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出点关于点对称的点的坐标： ； （2）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）画出绕原点逆时针旋转后得到的． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值． 21. 用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 22. 已知所给的抛物线C的解析式为y＝mx2＋(1－3m)x＋1－4m，其中m≠0． （1）判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； （2）当m＝1时，抛物线C与y轴的交点为A，点B(－4，0)，点P在抛物线C上，且∠ABO＝2∠PAO，求点P的坐标； （3）当－1≤x≤4时，0≤y≤5，求m的取值范围． 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元． （1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价； （2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润． 24. 某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用7320元购进甲，乙灯笼各120对，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．经市场调查发现，甲灯笼每天的销量y1（单位：对）与售价x（单位：元）的函数关系为y1＝﹣2x+109，乙灯笼每天的销量y2（单位：对）与售价z（单位：元）的函数关系y2＝﹣z+78，其中x，z均为整数．商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当甲灯笼的销售单价为多少元时，两种灯笼每天销售的总利润相同； （3）当这两种灯笼每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时甲灯笼的销售单价． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，，交轴于． （1）求抛物线解析式： （2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴于点，再过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段沿直线平移，得到线段，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项不是轴对称图形是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是中心对称图形也是轴对称图形； 故选：D． 2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵将 绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 3. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　) A. 12 B. ﹣12 C. 64 D. ﹣64 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】∵与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则n的最小整数解是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出n的范围，确定出最小整数解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则n的最小整数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 3x－1＝0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化成一般式，根据一般式判断选择即可． 【详解】因为3x－1＝0是一元一次方程， 所以A不符合题意； 因为是一元二次方程， 所以B符合题意； 因为化简后是一元一次方程， 所以C不符合题意； 因为不是一元二次方程， 所以D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 6. 直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．根据一元二次方程根与系数关系可得，．再根据勾股定理即可求． 【详解】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与， 直角三角形两直角边是方程的两根， ，， 根据勾股定理可得：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 7. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（　　） A. B. C. D. 无法求解 【答案】C 【解析】 【分析】可以把方程看作是关于的一元二次方程，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， 又∵抛物线的顶点坐标是， ∴由二次函数的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到的图象． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标． 9. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ） ① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a＜0 ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵b＝﹣4a，a＞0， ∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确， 观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误， 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A， ∵b＜0， ∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确． ∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a）， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K． ∵AM⊥CM， ∴∠AMC＝∠KMH＝90°， ∴∠CMH＝∠KMA， ∵∠MHC＝∠MKA＝90°， ∴△MHC∽△MKA， ∴＝， ∴＝， ∴a2＝， ∵a＞0， ∴a＝，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵ ， 由旋转的性质可知，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证出以及是解题的关键． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式． 13. 已知 是关于x的方程的两个实数根，，则＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，再代入代数式计算即可； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 14. 若a，b为有理数，且，则=___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据配方法可得，进一步可得，求出a和b的值，进一步即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15. 已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得出，，进而得出，B点的纵坐标为，将点的坐标代入二次函数解析式，解方程求得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 令， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴B点的纵坐标为， 把代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (是常数，) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （3）在方程两边都加上3，再利用配方法解方程即可； （4）方程两边先都除以2，再两边都加上，再利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得：， 【小问2详解】 ， ∴ ∴或 解得：， 【小问3详解】 ， ∴ ∴ ∴ 解得：， 【小问4详解】 ， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法，因式分解法，配方法解一元二次方程”是解本题的关键． 17. 如图所示，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）点B关于点A对称的点的坐标是___________； （2）将绕坐标原点O逆时针旋转90度，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1）（2，6）； (2）所作图形如图所示： ， 点B的对应点的坐标是（0，-6）． 【解析】 【分析】（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）； （2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标． 【详解】解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）； （2）略 【点睛】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． （1）如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； （2）如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 【答案】（1） 解：如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的； （2） 如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的． 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，点的横坐标坐标右加左减，纵坐标上加下减． （1）将原来，，，四个点的横坐标都加上4，得到，，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得 （2）将，，，四个点的纵坐标都减 ，得到，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出点关于点对称的点的坐标： ； （2）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1） （2） 即为所求： （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据轴对称的性质即可写出点关于点对称的点的坐标； （2）根据平移的性质即可平移，使平移后点的对应点的坐标为，进而画出平移后的； （3）根据旋转的性质即可画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【小问1详解】 解：点关于点对称的点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于x的方程， ∵，，， ∴ ， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出 ，即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，根据题意得出，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若此方程的两个根分别为，，由题意得， ，， ∵， ∴， 即， ， ∴， 即， 解得， 当时，，，，不符合题意， ∴舍去， 当时，，，，符合题意， 故m的值为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根据为，，则，． 21. 用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 【答案】，，，，，，，， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 按照配方法解一元二次方程的一般步骤补全整个计算过程即可． 【详解】解：用配方法解一元二次方程如下： ， 整理，得：， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，， 故答案为：，，，，，，，，． 22. 已知所给的抛物线C的解析式为y＝mx2＋(1－3m)x＋1－4m，其中m≠0． （1）判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； （2）当m＝1时，抛物线C与y轴的交点为A，点B(－4，0)，点P在抛物线C上，且∠ABO＝2∠PAO，求点P的坐标； （3）当－1≤x≤4时，0≤y≤5，求m的取值范围． 【答案】（1） 令y=0，得mx2＋(1－3m)x＋1－4m=0， Δ＝(1－3m)2－4m(1－4m)＝25m2－10m＋1＝(5m－1)2≥0， ∴当m＝时，抛物线与x轴只有1个交点， 当m≠时，抛物线与x轴有2个交点； （2）点P的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）令y=0，得mx2＋(1－3m)x＋1－4m=0，计算Δ＝(1－3m)2－4m(1－4m)＝25m2－10m＋1＝(5m－1)2≥0，再进行判断即可； （2）先求出OA的长，在x轴上截取BA＝BM，再求出∠PAO＝∠AMO，再根据勾股定理求出BM的长，设P的坐标为(p，p2－2p－3)，根据tan∠P1AO＝＝，求出p的值，最后求出点P的坐标； （3）先求出抛物线过定点(－1，0)和(4，5)，再进行分类讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 m＝1时，y＝x2－2x－3， ∴A(0，－3) ， ∴AO＝3 ， 在x轴上截取BA＝BM， ∴∠AMO＝∠MAB ∵∠ABO＝∠AMO＋∠MAB ∴∠ABO＝2∠AMO ∵∠ABO＝2∠PAO ∴∠PAO＝∠AMO ∵B(－4，0) ∴BO＝4 在Rt△ABO中，AB＝＝5 ∴BM＝5 ∴MO＝5＋4＝9 在Rt△MAO中，tan∠OMA＝＝ 设P的坐标为(p，p2－2p－3)，过P作PQ⊥y轴，交y轴于点Q 当P在y轴左侧时，P1Q1＝－p，AQ1＝p2－2p 在Rt△AP1Q1中，tan∠P1AO＝＝，即＝ 解得：p＝－1 ∴P1(－1，0) 当P在y轴右侧时，P2Q2＝p，AQ2＝p2－2p 在Rt△AP2Q2中，tan∠P2AO＝＝，即＝ 解得：p＝5 ∴P2(5，12) 综上所述，点P的坐标为(－1，0)或(5，12)； 【小问3详解】 y＝mx2＋(1－3m)x＋1－4m＝m(x2－3x－4)＋(x＋1) ∴抛物线过定点(－1，0)和(4，5)， ∵当－1≤x≤4时，0≤y≤5， ∴当－1≤x≤4时，y随x的增大而增大， 当m＞0时，－≤－1，解得0＜m≤， 当m＜0时，－≥4，解得－≤m＜0， 综上所述，m的取值范围为－≤m＜0或0＜m≤. 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、解直角三角形、勾股定理、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是注意对分类讨论思想及数形结合思想的运用． 23. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元． （1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价； （2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润． 【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元 （2）1800元 【解析】 【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可． （2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解． 【小问1详解】 设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得： 解得： 每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元． 【小问2详解】 ． 当时，w最大值为1800元． ∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键． 24. 某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用7320元购进甲，乙灯笼各120对，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．经市场调查发现，甲灯笼每天的销量y1（单位：对）与售价x（单位：元）的函数关系为y1＝﹣2x+109，乙灯笼每天的销量y2（单位：对）与售价z（单位：元）的函数关系y2＝﹣z+78，其中x，z均为整数．商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当甲灯笼的销售单价为多少元时，两种灯笼每天销售的总利润相同； （3）当这两种灯笼每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时甲灯笼的销售单价． 【答案】（1）甲种灯笼每对的进价为 元，则乙种灯笼每对的进价为 元 （2）当甲灯笼的销售单价为40元时，两种灯笼每天销售的总利润相同 （3）当这两种灯笼每天销售的总利润的和最大时，甲灯笼的销售单价为43元 【解析】 【分析】（1）设甲种灯笼每对的进价为 元，则乙种灯笼每对的进价为 元，根据用7320元购进甲、乙灯笼各120对，列方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出甲、乙两种灯笼的利润与单价的函数解析式，再列方程可得答案； ②设这两种灯笼每天销售的总利润为 元，根据题意得到关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值． 【小问1详解】 设甲种灯笼每对的进价为 元，则乙种灯笼每对的进价为 元 由题意得 解得 答：甲种灯笼每对的进价为 元，则乙种灯笼每对的进价为 元． 【小问2详解】 设甲种灯笼每天的销售利润为 元，则乙种灯笼每天的销售利润为 元，则 商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价 当两种灯笼每天销售的总利润相同时， 即 解得 或26（舍去） 答：当甲灯笼的销售单价为40元时，两种灯笼每天销售的总利润相同． 【小问3详解】 设这两种灯笼每天销售的总利润为 元，则 对称轴为 ， 又-3＜0，x为整数， ∴当x=43时，w最大 答：当这两种灯笼每天销售的总利润的和最大时，甲灯笼的销售单价为43 元． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元一次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，，交轴于． （1）求抛物线解析式： （2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴于点，再过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段沿直线平移，得到线段，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）时，的最大值， （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将，，代入二次函数解析式求解； （2）设，得到，，求出直线的解析式，根据平行线分线段成比例求出的解析式，利用二次函数的性质求解； （3）根据题意，为等腰三角形有三种情况：①，②，③，根据等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理来求解． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，，交轴于， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，． ，. 直线的解析式为． ， ， ， ， ， 时，的最大值， ； 【小问3详解】 解：如图2中，为等腰三角形有三种情况：①，②，③， 由（2）得，直线的解析式为， 抛物线的解析式为， ． ， ， ①， ， 设，过点作轴于，则轴， ， ， ， 时，， ， 时，， ， 或； ②， 设，过点作于，则， ，即， ， ， ， 化简得， 解得：， ， ③， ， 化简得， 解得：， 此时，点与重合，不合题意，舍去；， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰三角形的尾，平行分线分线成比例，勾股定理，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $