四川省攀枝花市第七高级中学校2024-2025学年高三上学期第五次诊断性考试数学试题

2025 届高三上第 5 次诊断 数学试卷第 1 页，共 4 页 攀枝花七中 2025届高三上第五次诊断性考试 数学试题 命题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得 5分，选错得 0分． 1．已知集合 = −A m0,{ }1, ， =B {1,2}，若 = −A B { 1,0,1,2}，则实数m 的值为（ ） A．−1或0 B．0 或1 C．−1或2 D．1或2 2．2．已知平面向量?⃗? = (1,2)，?⃗? = (3, 𝑘)，若?⃑? ⊥ ?⃗⃑?，则 k＝（ ） A．− 2 3 B．6 C． 2 3 D．－6 3．从集合 0,1,2,3,4,5 中任取两个互不相等的数a b, 组成复数 +a bi ,其中虚数有( )个 A．36 B．30 C．25 D．20 4．已知角 的终边不在坐标轴上，且 = 2sin2 sin ，则 =cos2 （ ） A．− 8 7 B． 8 7 C．− 8 7 或 1 D．− 16 15 5．无线电在传播过程中会进行衰减，假设某 5G 基站的电磁波功率衰减量 L（单位：dB） 与发射器的发射功率 P（单位：W/mW）之间的关系式为 =L P 4 10lg ，取 lg 2 0.3，则 P从 5 变化到 10 时，衰减量的增加值约为（ ） A．2dB B．3dB C．4dB D．5dB 6．已知正项等比数列 an 中， =a a a 2791 5 ，a6与a7的等差中项为 9，则 =a10 （ ） A．729 B．332 C．181 D．96 7．某工厂有 A B, 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是98%和99%，已知某批 产品的60%和40%分别是 A B, 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合 格，则该产品是由 A车间生产的概率为（ ） A． 4 3 B． 7 4 C． 7 3 D． 2 1 8．把函数    = +     f x x 4 sin 0 π )()( 的图象向右平移 4 π 个单位长度，得到的函数图象关于 点       2 ,0 π 对称，则当取最小值时，曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)与 =y xln 的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2025 届高三上第 5 次诊断 数学试卷第 2 页，共 4 页 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题满分 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 A=“出现点数为偶数”，事件 B=“出现点数为 3”，事 件 C=“出现点数为 3 的倍数”，事件 D=“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A．A与 B互斥 B．A与 D互为对立事件 C． ( ) 1 2 P C = D． ( ) ( )P CD P B= 10．若 , , , ,A B C D E 五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果 必须相邻且 B 在A 的右边，那么不同的排法有 24 种 B．最左端只能排A 或 B ，最右端不能排A ，则不同的排法共有 42 种 C． 不相邻的排法种数为 72 种 D． , ,A B C 按从左到右的顺序排列的排法有 120 种 11．我们知道，函数 ( )y f x= 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 ( )y f x= 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 ( )y f x= 的图象关于点 ( , )P a b 成中心 对称图形的充要条件是函数 ( )y f x a b= + − 为奇函数．已知函数 4 ( ) 2 2x f x = + ，则下列结论 正确的有（ ） A．函数 ( )f x 的值域为 (0,2] B．函数 ( )f x 的图象关于点 (1,1)成中心对称图形 C． 2( ) (2 ) 2f x f x+ −  的解集为(0,1) D．若函数 ( )g x 满足 ( 1) 1y g x= + − 为奇函数，且其图象与函数 ( )f x 的图象有2024个交 点，记为 ( , ( 1,2, , )) 2024i i iA x y i = ，则 2024 1 ( 8) 404i i i x y = + = 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 12．在 ( 1)nx+ 的二项展开式中，若各项系数和为 32，则 2x 项的系数为 ． 13．为了研究某种菌在特定环境下随时变化的繁殖情况，得如下实验数据： 天数 x （天） 3 4 5 6 7 繁殖个数 y （个） 2.5 c 4 4.5 6 由以上信息，计算得回归直线方程为 0.85 0.25y x= − ，则c的值为 ． 2025 届高三上第 5 次诊断 数学试卷第 3 页，共 4 页 14．已知函数 ( ) ex x f x m= − ， 2( ) e x g x m= − ，若 ( )f x 与 ( )g x 的零点构成的集合的元素个数 为 3，则 m的取值范围是 . 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在 ABCV 中， a b c、 、 分别为内角 、 、A B C 的对边，且 2 sin (2 )sin (2 )sina A b c B c b C= + + + （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C+ = ，试判断 ABCV 的形状． 16．已知等差数列 的前 n项和为 nS ， 1 2 43 25a a a+ + = ，且 3 2a + ， 4a ， 5 2a − 成等比数 列． (1)求数列 的通项公式； (2)设 13 nan nb a + =  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 17．某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶，且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别 为0.9,0.8,0.7 . (1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为4 : 4 : 2，小张到该批发地 任意购买一盒红茶，求他买到的红茶是优质品的概率； (2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶，求他恰好买到两盒优质红茶 的概率. 2025 届高三上第 5 次诊断 数学试卷第 4 页，共 4 页 18．如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 2AB AC= = ， 1 3AA = ， 1 1A B AC= ，点D为 AB 的中 点，且 1AA CD⊥ . (1)求证： 1AA ⊥平面 ABC ； (2)若 ABCV 为正三角形，求 1B C与平面 1A DC 所成角的正弦值. 19．定义：记函数 ( )f x 的导函数为𝑓′(𝑥)，若𝑓′(𝑥)在区间 I 上单调递增，则称 ( )f x 为区间 I 上的凹函数；若𝑓′(𝑥)在区间 I 上单调递减，则称 ( )f x 为区间 I 上的凸函数.已知函数 ( ) ( ) ( ) ( ) e 0 ,x f x f x x a x g x x = −  = . (1)求证： ( )f x 为区间 ( )0, + 上的凹函数； (2)若 ( )g x 为区间 1,2 的凸函数，求实数a 的取值范围； (3)求证：当 e 1ea + 时， ( ) lng x a a x+  . 试卷第 1 页，共 4 页 第五次诊断考试答案 一、 单选题 1——8：DACA BDAC 9、ABD 10、ABC 11、BCD 12、10 13、3 14、 2 2 2 2 1 (0, ) ( , ) e e e 8【详解】把 ( )f x 的图象向右平移 π 4 个单位长度得到的图象对应的函数解析式为 ( ) π π sin 4 4 g x x     = + −    ， 由 ( )g x 的图象关于点 π ,0 2       对称可得 ( ) π π π π 2 4 4 k k   + − = Z ，故 ( )4 1k k = − Z ， 又 0  ，所以的最小值为 3，此时 ( ) π sin 3 4 f x x   = +    . 在同一平面直角坐标系中画出函数 ( )y f x= 与 lny x= 的图象， 如图所示，（点拨： 3 3π e 3.2 4 4    ， 11π 11 3.1 2.8 e 12 12     ）数形结合可知，它们的交点个数为 3. 14．【详解】由 ( ) 0g x = ，得 2e x m= ，令函数 2e x y = ，一次函数 2e x y = 在 R 上单调递增，值域为 R，因此直线 y m= 与函数 2e x y = 的图象有且只有一个交点，即函数 ( )g x 有 1 个零点 0x ；由 ( ) 0f x = ，得 ex x m= ， 令函数 ( ) x x h x e = ，依题意，函数 ( )f x 有不同于 0x 的两个零点，即直线 y m= 与函数 ( )y h x= 的图象有两个交点，且 交点横坐标不能是 0x ，由 ( ) x x h x e = ，求导得 1 ( ) ex x h x −  = ， 当 1x  时， ( ) 0h x  ；当 1x  时， ( ) 0h x  ，即函数 ( )h x 在 ( ,1)− 上单调递增在 (1, )+ 上单调递减， max 1 ( ) (1) e h x h= = ， 而 (0) 0h = ，当 0x  时， ( ) 0h x  恒成立，则当 1 0 e m  时，直线 y m= 与函数 ( )y h x= 的图象有两个交点，当 ( ) ( )f x g x= ， 即 2e ex x x = 时， 0x = 或 2x = ，则当 0x = 或 2x = 时， ( )f x 与 ( )g x 的零点相同，由 0 0x = ，得 0m = ，由 0 2x = ，得 2 2 e m = ， 因此 1 0 e m  且 2 2 e m  ，所以 m的取值范围是 2 2 2 2 1 (0, ) ( , ) e e e . 15． （1）由已知，根据正弦定理得 22 (2 ) (2 )a b c b c b c= + + + 即 2 2 2a b c bc= + + ，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 故 1 cos 2 A = − ， 0120A = （2）由（1）得： 0 0 3 1 sin sin sin sin(60 ) cos sin sin(60 ) 2 2 B C B B B B B+ = + − = + = + 故当 030B = 时， sin sinB C+ 取得最大值 1，此时三角形为等腰三角形. 16． 【详解】（1）由题意， Nn  在等差数列 na 中，设公差为 d , 由 1 2 43 25a a a+ + = ，得 15 10 25a d+ = ，则 1 32 5a d a+ = = ， 第 2 页，共 4 页 又 a3＋2，a4，a5－2 成等比数列，∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得 ( ) ( ) 2 5 7 3 2d d+ = + ，即 ( ) 2 2 0d − = ，得 d＝2， ∴ ( )3 3 2 1na a n d n= + − = − ， Nn  ， ∴数列 na 的通项公式为： ( )2 1 Nna n n = −  ． （2）由题意及（1）得， Nn  ，在数列 na 中， 2 1na n= − ，在数列 nb 中， 13 nan nb a + =  ， ∴ ( ) ( )22 1 3 2 1 3n nnb n n= −  = −  ， ∴ ( )1 2 31 3 3 3 5 3 2 1 3nn nT =  +  +  + + −  ( ) ( )2 3 13 1 3 3 3 2 3 3 2 1 3n nnT n n +=  +  + + −  + −  ， 两式相减得 ( ) ( )2 3 12 3 2 3 3 3 2 1 3n nnT n +− = + + + + − −  ( ) ( ) 1 1 9 1 3 3 2 2 1 3 1 3 n nn − + − = +  − −  − ( ) 16 2 2 3nn += − + −  ． ∴ ( ) ( )13 1 3 NnnT n n+ = + −   17．【详解】（1）设事件 , ,A B C 分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件D表示他买到的红 茶是优质品，则依据已知可得 ( ) ( ) ( ) 4 0.4, 0.2 4 4 2 P A P B P C= = = = + + ， ( ) ( ) ( )0.9, 0.8, 0.7P D A P D B P D C= = = ， 由全概率公式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.9 0.4 0.8 0.4 0.7 0.2 0.82P D P A P D A P B P D B P C P D C= + + =  +  +  = ， 所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82 . （2）设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶，组成事件E的情况有： 甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶，乙丙优质红茶甲非优质红茶，且优质与否互相独立， 则 ( ) ( ) ( ) ( )0.9 0.8 1 0.7 0.9 1 0.8 0.7 1 0.9 0.8 0.7 0.216 0.126 0.056 0.398P E =   − +  −  + −   = + + = ， 所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398 . 18【详解】（1）取BC中点O，连接 AO， 1AO 因为 1 1A B AC= ，O是BC中点， 1BC AO ⊥ ， 因为 AB AC= ，O是BC中点，-所以BC AO⊥ ， 又 1AO AO O = ， 1,AO AO平面 1A AO， 所以 ⊥BC 平面 1A AO，又 1A A平面 1A AO 1BC AA ⊥ ,又 1 ,AA CD BC CD C⊥  = ， ,BC CD 平面 ABC 所以 1AA ⊥平面 ABC . 试卷第 3 页，共 4 页 （2）因为 ABCV 为正三角形，所以DC AB⊥ .过点D作CD的延长线为 x 轴，以DB为 y 轴，过点D作 1AA 的平行线 为 z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0)D ， (0, 1,0)A − ， 1(0, 1, 3)A − ， (0,1,0)B ， 1(0,1, 3)B ， ( 3,0,0)C − ， 1 1(0, 1, 3), ( 3,0,0), ( 3,1, 3)DA DC CB= − = − = ， 设平面 1A DC 的法向量为 ( , , )n x y z= ，则 1 0 3 0 0 3 0 n DA y z n DC x   = − + =     = − =   令 3y = ，得 (0, 3,1)n = 设 1B C与平面 1A DC 所成角为θ， 1 1 3 21 sinθ 77 n CB n CB  = = =  .  1B C与平面 1A DC 所成角的正弦值为 21 7 . 19．（1）由题意得， ( ) ( )1 exf x x + = ，记𝑓′(𝑥)的导函数为𝑓″(𝑥)（下同）， 则 ( ) ( )2 e 0xf x x= +  ，所以𝑓′(𝑥)在区间(0,+∞)上单调递增， 所以 ( )f x 为区间(0,+∞)上的凹函数. （2）由题意得， ( ) ( )e 0x a g x x x = −  ，则 ( ) ( )2 3 2 e , ex x a a g x g x x x   = −= + ， 令 ( ) 0g x  ，则 3 2 e 0x a x −  ，故 3e 2xx a . 令 ( ) 3exm x x= ，则 ( ) ( )2 3 23 e e 3 e 0x x xm x x x x x= + = +  ， 故 ( )m x 在 1,2 上单调递增，故 ( ) ( ) 2 max 2 8em x m= = ， 则 28e 2a ，故 24ea  ，故实数a的取值范围为 )24e ,  + . （3）由题意得， e ln x a a x a x −  − . 当 0a = 时，e 0x  ，符合题意， 当 0a  时，因为 0x  ，则e 0 x a x −  ，则即证e ln x a a x a x −  − ， 即证 1 e ln 1x a x x    + −    ， 设 ( ) 1 ln 1n x x x = + − ，则 ( ) 2 1x n x x = − ， 所以 ( )n x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故 ( ) ( )1 0n x n = . 故当 0a  时， 1 e 0 ln 1x x a x     + −    ，即 e ln x a a x a x −  − 成立. 第 4 页，共 4 页 当 e 10 ea +  时，由（1）知 ( ) exf x x a= − 在(0,+∞)上单调递增， 又 ( ) ( ) ( )0 0, e 1 0af a f a a= − = − ，所以 ( )0 0,x a  ，使得 ( ) 00 0 0 x f x x e a= − = ， 所以 00e x a x= ，因为 e 10 ea +  ，所以 0 e 1 00 e e x x +  ，所以 00 ex  . i）当 ( )00,x x 时， e 0, e 0 x x ax a x −  −  ，即证 e ln 0 xa a x a x − − +  ， 设 ( ) e lnx a F x a x a x = − − + ，则 ( ) 2 e 0 xa aF x x x = − − −  ， 所以𝐹(𝑥)在 ( )00, x 上单调递减， 所以 ( ) ( ) ( )0 0 0ln 1 ln 0F x F x a x a a x = − + = −  . ii）当  )0x x  + 时， e 0xx a−  ，即e 0 x a x −  ，即证e ln 0 x a a x a x − − +  ， 设 ( ) e lnx a G x a x a x = − − + ，则 ( ) 2 2 2 e e x x a a x a axG x x x x + = − = + − ， 令 ( )  )2 0e , , xp x x a ax x x = + −  + ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )2 '' 22 e , 4 2 e 0x xp x x x a p x x x= + − = + +  ， 故 ( )p x 在 )0 ,x + 上单调递增，则 ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 0 02 e 0 x p x p x x x a ax a  = + − = +  ， 故 ( )p x 在 )0 ,x + 上单调递增，则 ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 0 0 0 x p x p x p x x e a ax a = = + − =  ， 则 ( ) ( ) 2 0 p x G x x =  ，则 ( )G x 在 )0 ,x + 上单调递增， 故当  )0 ,x x  + 时， ( ) ( ) ( )0 0 0ln 1 ln 0G x G x a x a a x = − + = −  . 综上，当 e 1ea + 时， ( ) lng x a a x+  . 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由 e 10 ea +  时，根据 ( ) exf x x a= − 在(0,+∞)上单调递增，利用零点存在 定理，得到 ( )0 0,x a  ，使得 ( ) 00 0 0 x f x x e a= − = ，再分 ( )00,x x 和  0x x  + 而得证.