广东省广州市铁一中学2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

2024学年第一学期初三年级12月学情摸查 数学试卷 命题人：陈川 审题人：王滨 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B. 若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数为40次 C. 汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 D. 经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 3. 用配方法解方程，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 与y轴交点坐标为 B. 与x轴有两个公共点 C. 当时，y随x增大而减小 D. 对称轴为直线 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在上，，交于，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A. π B. π C. π D. 2π 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是________．（写出一个即可） 12. 有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为______． 13. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 14. 如图，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交于点M，N．若，则的周长为___________． 15. 对于任意实数，若规定，若m，n是的两个根，则______． 16. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则为等边三角形；⑤若，则．其中结论正确的序号是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程：． 18. 如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点逆时针旋转后得到，则坐标为________，并在图中画出； （2）旋转过程中所扫过的面积为________（结果保留 ）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）当的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值． 21. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字是3的正整数倍的概率为______； （2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解） 22. 大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． （1）求证：是小圆O的切线． （2）若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 23. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与的函数表达式； （2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 24. 如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为上的动点（不与端点重合），连接PD． （1）求证：∠APD＝∠BPD； （2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°； （3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． （3）如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2024学年第一学期初三年级12月学情摸查 数学试卷 命题人：陈川 审题人：王滨 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 【11题答案】 【答案】1（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】2026 【16题答案】 【答案】①②③⑤ 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【19题答案】 【答案】（1）点坐标为， 如图所示： （2）． 【20题答案】 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 无论m为何值，， ， 无论为何值，该方程总有两个实数根； （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2） 【23题答案】 【答案】（1） （2）①；② 【24题答案】 【答案】（1） 证明：∵直径CD⊥弦AB， ∴， ∴∠APD=∠BPD； （2） 如图， 作∠BAP的平分线，交PD于I， 证：∵AI平分∠BAP， ∴∠PAI=∠BAI， ∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI， ∵， ∴∠DAB=∠APD， ∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI， ∴∠AID=∠DAI， ∵∠AIP+∠AIDa=180°， ∴∠AIP+∠DAI=180°； （3）2 【25题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）存在，的坐标或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $