（趣味奥数）第二讲 圆柱与圆锥（一）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第二讲 圆柱与圆锥（一） 阿柱的圆柱之旅 在古老的几何王国里，有一个叫阿柱的小圆柱。阿柱对自己的形状总是充满好奇，他常常看着周围的方形房屋、三角形的旗帜，心想自己到底有什么独特之处呢。 有一天，阿柱决定离开他熟悉的小镇，去探索外面的世界。他沿着一条宽阔的道路滚动着前行，一路上，他看到了各种各样的物体。有的像他一样圆润，有的则有着尖锐的棱角。 走着走着，阿柱来到了一个大广场。广场上正在举行一场盛大的建筑比赛。阿柱好奇地凑了过去，看到建筑师们正在用各种形状的材料搭建着精美的建筑。 其中一位建筑师看到了阿柱，眼睛一亮。他拿起阿柱，把他放在了一座正在建造的塔的底部。阿柱惊讶地发现，自己和其他几个圆柱一起，成为了这座塔的支撑柱。他感受到了巨大的压力，但他努力地挺直身子，支撑着上面的重量。 在支撑塔的过程中，阿柱结识了一个叫小锥的圆锥。小锥在塔的顶部，像一个尖尖的帽子。阿柱和小锥常常聊天，小锥告诉阿柱，他虽然没有阿柱那么稳定的支撑力，但他可以在风中减少阻力，让塔更加坚固。 然而，有一天，一场暴风雨突然来临。狂风呼啸着，似乎要把一切都吹倒。阿柱和其他圆柱们紧紧地抓住地面，用尽全力支撑着塔。小锥也在顶部努力地稳定着。 经过漫长而艰难的几个小时，暴风雨终于过去了。阿柱虽然疲惫不堪，但他感到无比自豪。他明白了自己作为圆柱的价值，不仅可以用来支撑重物，还可以在建筑中与其他形状相互配合，创造出伟大的作品。 从那以后，阿柱不再对自己的形状感到迷茫。他回到了自己的小镇，把他的经历告诉了朋友们。他鼓励大家要相信自己的独特之处，并且要学会与他人合作，这样才能创造出更美好的世界。 圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。如果底面周长和高相等时，侧面展开图是正方形。例如，把一张长方形的纸卷起来就可以围成一个圆柱，此时长方形的长相当于圆柱底面的周长，宽相当于圆柱的高。 圆柱的表面积包括两个底面积和一个侧面积。底面积的计算是根据圆的面积公式S=πr²(其中S表示面积，π通常取3.14,r表示底面半径),因为有两个底面，所以两个底面积为2πm²。侧面积等于底面周长乘高，底面周长C=2π”,高为h,所以侧面积S侧=2πrh。那么圆柱的表面积公式就是S=2πr²+2πrh。 在计算制作一个圆柱形物体(如无盖的水桶)所需材料的面积时，因为水桶没有盖子，所以表面积就只需要计算一个底面积加上侧面积，即S=πr²+2πrh。 可以通过把圆柱转化为长方体来推导体积公式。把圆柱底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积V=Sh(S是底面积，h是高),所以圆柱的体积V=πr²h。 要计算一个圆柱形水池能容纳多少立方米的水，就可以根据圆柱体积公式，用底面半径和水池深度(相当于圆柱的高)来计算，即V=πr²h。通过这个公式可以解决很多关于容积、体积的实际问题，如计算粮仓的储粮体积等。 1：如图，阴影部分正好可以做成一个圆柱，做好的圆柱的高和底面周长分别是多少？(接口处忽略不计) 【标准答案】解：设圆柱的底面直径为dcm。 2d+3.14×d=20.56 5.14d=20.56 d=20.56÷5.14 d=4 圆柱的高和圆柱的底面直径相等，也是4cm。 圆柱的底面周长：3.14×4=12.56(cm) 答：做好的圆柱的高是4cm，底面周长是12.56cm。 【思路分析】等量关系：圆的直径+圆的底面周长+圆的直径=20.56，根据等量关系列方程，根据等式性质解方程；π×圆的底面直径=圆的底面周长。 1．一个圆柱的侧面展开图是一个长18.84 dm、宽9.42 dm的长方形，这个圆柱的底面半径是多少分米？ 提示：解题时注意长和宽都可能是圆柱的底面周长哟！ 2．有一张长方形铁皮(如下图)，剪下的涂色部分可以围成一个圆柱，求这个圆柱的底面直径。 3．王师傅将一张长方形的铁皮按右下图的方式剪开，正好可以制成一个底面直径是6分米的圆柱形铁皮油桶(带盖)。这张铁皮的面积至少是多少平方分米？ 2：小丽爸爸做了一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸(无盖)，这个鱼缸的底面半径是20cm，高是30cm(如图) （1）做这样一个鱼缸，至少需要多少平方厘米的钢化玻璃？ （2）在做好的鱼缸里倒入20cm高的水，小丽将一块珊瑚石放人鱼缸并完全浸没后，发现水面升高了5cm，这块珊瑚石的体积是多少立方分米？(鱼缸厚度忽略不计) 【标准答案】（1）解：3.14×20×2×30+3.14×202 =3.14×1200+3.14×400 =3.14×1600 =5024 (cm2) 答：至少需要5024cm2的钢化玻璃。 （2）解：3.14×202×5 =3.14×2000 =6280（cm3） 6280 cm3= 6.28 dm3 答：这块珊瑚石的体积是6.28 dm3。 【思路分析】（1）根据圆面积公式计算底面积，用圆柱的底面周长乘高求出侧面积，底面积加上侧面积就是需要钢化玻璃的面积； （2）水面升高部分水的体积就是珊瑚石的体积，因此用圆柱的底面积乘水面上升的高度即可求出这块珊瑚石的体积。 4．把一个装有351.68mL水的瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。已知这个瓶子的容积是1256mL，现在把这个瓶子正放过来，水的高度是多少cm？ 5．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6cm，高为12cm。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5cm，铅锤的高为2cm，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 6．一个圆柱形木桶，底面直径为4dm，桶口距底面最小高度为5dm，最大高度为7dm。 （1）这个木桶如右图放置时，最多能装多少水？ （2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？ 3：如图，一个圆柱和一个圆锥组成的透明封闭盛水容器，已知其中圆柱的底面直径和高都是 12cm。现容器内有一些水，正放时水面离圆柱顶部还有2cm，倒放时水面离顶部5cm，那么这个容器的容积是多少立方厘米？ 【标准答案】解：12÷2=6（厘米） 3.14×62×（12-2＋5） =113.04×15 =1695.6（立方厘米） 答：这个容器的容积是1695.6立方厘米。 【思路分析】这个容器的容积=π×半径2×（圆柱的高-正放时水面离圆柱顶部的高度＋倒放时水面离顶部的高度）。 7．一个底面内半径是3cm的瓶子，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是 18cm，这个瓶子的容积是多少毫升。 8．为了测量一个空瓶子的容积，一个学习小组进行了如下实验。 ①测量出整个瓶子的高度是23厘米。 ②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6厘米。 ③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5厘米。 ④把瓶子倒放时，无水部分是圆柱形，测量出无水部分的高度是15厘米。 （1）要求这个瓶子的容积，上面的记录中有用的信息是　 　（填序号） （2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。 9．一个底面内半径是2cm的瓶子里，水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，如图所示，无水部分是圆柱形，这个瓶子的容积是多少? 阿基米德与圆柱容球 阿基米德是古希腊伟大的百科式科学家、数学家、物理学家、哲学家,他为数学和物理的发展做出了巨大的贡献,对社会进步和人类发展有着不可磨灭的影响。阿基米德是举世公认的伟大的数学家,他在数学上有着极为光辉的成就,留下的几何著作，堪称希腊数学的顶峰。他一生热爱科学,热爱自己的国家,最终献出了生命,并留下了“圆柱容球”的故事。 公元前212年,古罗马军队攻陷叙拉古城,阿基米德被杀害了。传说阿基米德在生命的最后时刻,仍然在潜心研究画在地上的几何图形,这足以证明阿基米德对科学的热爱。 统率罗马大军的马塞拉斯将军得知阿基米德被杀的消息后,为阿基米德举行了隆重的葬礼,并在墓地上立了一块碑,在上面刻着“圆柱容球”的几何图形。 1．一个圆柱的侧面展开图是一个长18.84 dm、宽9.42 dm的长方形，这个圆柱的底面半径是多少分米？ 提示：解题时注意长和宽都可能是圆柱的底面周长哟！ 【标准答案】解：底面半径：18.84÷3.14÷2=3(dm) 底面半径：9.42÷3.14÷2=1.5(dm) 答：这个圆柱的底面半径是3dm或1.5dm。 【思路分析】长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的底面周长；底面周长÷π÷2=底面半径；据此解答。 2．有一张长方形铁皮(如下图)，剪下的涂色部分可以围成一个圆柱，求这个圆柱的底面直径。 【标准答案】解：设圆柱的底面直径是x厘米。 x+3.14x=33.12 （1+3.14）x=33.12 4.14x=33.12 x=33.12÷4.14 x=8 答：这个圆柱的底面直径是8厘米。 【思路分析】等量关系：圆柱的底面周长+圆柱的底面直径=长方形的长，根据等量关系列方程，根据等式性质解方程。 3．王师傅将一张长方形的铁皮按右下图的方式剪开，正好可以制成一个底面直径是6分米的圆柱形铁皮油桶(带盖)。这张铁皮的面积至少是多少平方分米？ 【标准答案】解：底面直径是6分米， 长方形的宽：6×2=12(分米) 长方形的长：3.14×6+6=24.84(分米) 长方形的面积：24.84×12=298.08(平方分米) 答：这张铁皮的面积至少是298.08平方分米。 【思路分析】长方形的宽=底面直径×2；长方形的长=圆柱的底面周长+底面直径；长方形的长×长方形的宽=长方形的面积。 4．把一个装有351.68mL水的瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。已知这个瓶子的容积是1256mL，现在把这个瓶子正放过来，水的高度是多少cm？ 【标准答案】解：1256-351.68=904.32（mL） 904.32÷18=50.24（平方厘米） 351.68÷50.24=7（厘米） 答：水的高度是7厘米。 【思路分析】空白部分的体积=这个瓶子的容积-水的体积，那么瓶子的底面积=倒置的空白部分的面积÷倒置的空白部分的高，所以正放水的高度=水的体积÷瓶子的底面积，据此代入数值作答即可。 5．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6cm，高为12cm。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5cm，铅锤的高为2cm，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【标准答案】解：3.14×（6÷2）2×0.5×3÷2 =3.14×9×0.5×3÷2 =42.39÷2 =21.195（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是21.195平方厘米。 【思路分析】水面升高部分水的体积就是铅锤的体积，因此用玻璃缸的底面积乘水面上升的高低即可求出铅锤的体积。根据圆锥的体积公式，用铅锤的体积乘3再除以高即可求出底面积。 6．一个圆柱形木桶，底面直径为4dm，桶口距底面最小高度为5dm，最大高度为7dm。 （1）这个木桶如右图放置时，最多能装多少水？ （2）装满水后，水跟桶的接触面积是多少？ 【标准答案】（1）解：4÷2=2（分米） 3.14×22×5 =12.56×5 =62.8（立方分米） 62.8立方分米=62.8升 答：最多能装水62.8升。 （2）解：3.14×22＋3.14×4×7 =12.56＋87.92 =100.48（平方分米） 答：装满水后，水跟桶的接触面积是100.48平方分米。 【思路分析】（1）最多能装水的体积=π×半径2×桶口距底面最小高度； （2）装满水后，水跟桶的接触面积=底面积＋底面周长×高。 7．一个底面内半径是3cm的瓶子，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是 18cm，这个瓶子的容积是多少毫升。 【标准答案】解：3.14×32×（7＋18） =28.26×25 =706.5（立方厘米） 706.5立方厘米=706.5毫升 答：这个瓶子的容积是706.5毫升。 【思路分析】这个瓶子的容积=底面积×高，其中，底面积=π×半径2，高=左边有水部分的高度＋右边无水部分的高度。 8．为了测量一个空瓶子的容积，一个学习小组进行了如下实验。 ①测量出整个瓶子的高度是23厘米。 ②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6厘米。 ③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5厘米。 ④把瓶子倒放时，无水部分是圆柱形，测量出无水部分的高度是15厘米。 （1）要求这个瓶子的容积，上面的记录中有用的信息是　 　（填序号） （2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。 【标准答案】（1）②③④ （2）3.14×（6÷2）2×（5+15） =3.14×9×20 =28.26×20 =565.2（立方厘米） 565.2立方厘米=565.2毫升 答：这个瓶子的容积是565.2毫升。 【思路分析】解：（1）要求这个瓶子的容积，首先需要知道瓶子圆柱形部分的内直径，然后在瓶子里装一些水，瓶子正放，量出水面的高，把瓶盖拧紧然后倒放，再量出无水部分的高，求出高的和；所以，上面记录中有用的信息是②③④。 故答案为：（1）②③④。 【分析】（1）要想知道这个瓶子的容积，首先需要知道瓶子圆柱形部分的内直径，然后在瓶子里装一些水，瓶子正放，量出水面的高，把瓶盖拧紧然后倒放，再量出无水部分的高，求出高的和，据此选择需要的信息； （2）根据圆柱的体积=πr2h计算即可。 9．一个底面内半径是2cm的瓶子里，水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，如图所示，无水部分是圆柱形，这个瓶子的容积是多少? 【标准答案】解：3.14×22×（18-12＋10） =12.56×16 =200.96（立方厘米） 200.96立方厘米=200.96毫升 答：这个瓶子的容积是200.96毫升。 【思路分析】这个瓶子的容积=π×半径2×（瓶子的高-倒放时水面的高度＋正放时水面的高度） 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$