（趣味奥数） 第五讲 比例（二）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第五讲 比例（二） 精灵的魔法棒 在一个美丽而神秘的数学森林里，住着一群可爱的小动物。有聪明机灵的小松鼠跳跳，善良憨厚的小熊笨笨，还有活泼好动的小兔子可可。 有一天，森林里突然出现了一些奇怪的现象。原本清澈的小溪，水流的速度变得时快时慢，毫无规律；树上的果子，有的长得巨大无比，有的却小得可怜；小动物们建造的房屋，有的屋顶大得像小山，有的墙壁薄得一碰就倒。这可把大家都吓坏了，不知道是怎么回事。 就在大家不知所措的时候，一只浑身散发着柔和光芒的比例精灵出现了。她手持一根闪闪发光的魔法棒，轻声说道：“森林里的秩序被打乱了，是比例失衡导致的。” 小动物们都围了过来，满脸疑惑。比例精灵解释道：“比例就像是一种神奇的规则，它让世间万物都保持着和谐与平衡。比如，小溪水流的速度和河道的宽窄、坡度有着一定的比例关系；果子的大小和果树吸收的养分、阳光也有比例关联；房屋的各个部分也需要按照合适的比例来建造才会坚固。” 为了恢复森林的秩序，比例精灵决定带着小动物们一起行动。她首先来到小溪边，挥动魔法棒，口中念念有词：“水流快快慢，比例来规范，宽窄与坡度，和谐一线牵。” 瞬间，小溪的水流恢复了平稳，按照合适的比例奔腾流淌。 接着，他们来到果树下。比例精灵再次施展魔法：“果树吸养分，阳光也均分，果子大小定，比例显神通。” 树上的果子立刻开始调整，逐渐长成了大小均匀、饱满诱人的模样。 最后，大家来到那些奇怪的房屋前。比例精灵和小动物们一起动手，按照正确的比例重新修缮房屋。“墙壁和屋顶，比例要相称，地基需牢固，家园才安稳。” 在比例精灵的指导下，房屋很快就恢复了坚固与美观。 经过一番努力，数学森林终于恢复了往日的和谐与美丽。小动物们都非常感激比例精灵，也深刻地认识到了比例的重要性。从那以后，他们在做任何事情的时候都会先考虑比例，森林里再也没有出现过比例失衡的混乱情况。 在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。 成正比或反比的量中都有两种相关联的量，一种量（记作 x）变化时另一种量（记作 y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为 k）．在判断变量 x 与 y 是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量 k。如成正比例；如果 k 是 y 与 x 的积，即在 x变化时，y 与 x 的积不变：xy＝k，那么 y 与 x 成反比例．如果这两 个关系式都不成立，那么 y 与 x 不成（正和反）比例。 1：铺设一块空地，如果用边长为4分米的正方形地砖来铺需要2625块。如果改用25平万分米的方砖来铺，需要多少块 (用比例解决) 【标准答案】解：设需要x块。 25×x=4×4×2625 25x=16×2625 x=16×2625÷25 x=1680 答：如果改用25平万分米的方砖来铺，需要1680块。 【思路分析】不管怎么铺，空地的面积相等，可据此列比例；一块方砖的面积×需要的块数=一块方砖的面积×需要的块数，据此反比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 1.李老师开车从甲地到乙地，若每小时行驶90千米，6小时可以到达。若每小时行驶100千米，则李老师可以提前几小时到达？（用比例的方法解答） 2. 一个晒盐场用10千克海水可以晒出0.3千克盐。如果一块盐田有4000吨海水，可以晒出多少吨盐？（用比例知识解答） 3．一辆汽车的总长是6.3米，某玩具厂商制作这辆汽车的模型进行售卖，模型总长与汽车总长的比是1：9。这个模型的总长为多少厘米? 2： 一列火车以每小时140千米的速度从甲地开往乙地，3小时行驶了全程的，那么在比例尺是1：7000000的地图上，甲、乙两地之间铁路线的长为多少？ 【标准答案】解：140×3÷ =420÷ =980（千米） 980千米=98000000厘米 98000000×=14（厘米） 答：甲、乙两地之间铁路线的长为14厘米。 【思路分析】用速度乘3求出3小时行驶的路程，根据分数除法的意义，用3小时行驶的路程除以求出全程。把全程换算成厘米，然后用实际距离乘比例尺即可求出图上距离。 4．阳光社区新建一个长方形的社区健身园，在比例尺是的图纸上，量得健身园长是3cm，宽是2cm。社区健身园实际占地面积是多少平方米？ 的宽=健身园的面积。 5．琳琳在比例尺是1：20000的图纸上，量得一块长方形花圃的长是3厘米，宽是2厘米，这块长方形花圃的实际面积是多少公顷？ 6．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得两个城市的图上距离是4cm，这两个城市之间的实际距离是多少千米? 3：把左边的平行四边形按比例放大后得到右边的平行四边形，求未知数x 【标准答案】解：20：x=50：15 50x=20×15 50x=300 x=300÷50 x=6 【思路分析】依据右边平行四边形的高：左边平行四边形的高=右边平行四边形的底：左边平行四边形的底，列比例，解比例求出x的值。 7．某手机专卖店在门口竖起了一块宣传牌，宣传牌上的手机图片是按15：1打印而成的，手机图片的高是180 cm，手机的实际长是多少厘米？ 8．把一个长方形按照1：3的比缩小，缩小后它们的面积相差64平方厘米，原来长方形的面积是多少平方厘米？ 9．一个直角三角形ABC的两条直线边分别长2.5cm和6cm，把它按2：1的比放大后得到三角形DEF。三角形ABC与三角形 DEF 的周长之比是多少？面积之比呢？ 4：用边长是3分米的方砖铺地，需要 100 块，如果改用面积 15 平方分米的方砖铺地，需要多少块？(用比例解) 【标准答案】解：设现在需要x块。 15x=3×3×100 15x=900 x=900÷15 x=60 答：需要60块。 【思路分析】设现在需要x块。依据现在需要的块数×现在平均每块的面积=原来方砖的边长×边长×原来需要的块数，列比例，解比例。 10．某小学修整地面，用边长 0.5米的正方形花砖需要 196块，师傅建议改用边长是 0.7 米的正方形花砖更美观，算一算需要多少块？(用比例解题) 11．无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计要求，坡度指每段坡道的垂直高度与水平长度的比(如图)。一条轮椅坡道的坡度是1：16，水平长度是12.8m，这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？(用列比例的方法解答) 12.．加工一批机器零件，如果师傅单独加工，每天加工24个，加工完这批零件需要6天；如果徒弟单独加工，每天加工的零件个数是师傅的75%。徒弟单独加工完这批零件需要多少天？（用比例方法解答） 泰勒斯巧测金字塔 2600多年前的古希腊港口城市米利都，泰勒斯出生在一个奴隶主贵族家庭。从小就受到了良好的教育。泰勒斯早年也是一个商人，曾到过不少东方国家，学习了古巴比伦观测日食月食的方法和测算海上船只距离等知识，知道了古埃及土地丈量的方法和规则等。他还到美索不达米亚平原，在那里学习了数学和天文学知识。 据说，一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能测量出金字塔的高度来。泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件--法老必须在场。第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓。泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。每过一会儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻将大金字塔在地面的投影处作一记号，然后在丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。在法老的请求下，他向大家讲解了如何从"影长等于身长"推到"塔影等于塔高"的原理。也就是今天所说的相似三角形定理。 命题证明的思想和平面几何的贡献 泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。 1：铺设一块空地，如果用边长为4分米的正方形地砖来铺需要2625块。如果改用25平万分米的方砖来铺，需要多少块 (用比例解决) 【标准答案】解：设需要x块。 25×x=4×4×2625 25x=16×2625 x=16×2625÷25 x=1680 答：如果改用25平万分米的方砖来铺，需要1680块。 【思路分析】不管怎么铺，空地的面积相等，可据此列比例；一块方砖的面积×需要的块数=一块方砖的面积×需要的块数，据此反比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 1.李老师开车从甲地到乙地，若每小时行驶90千米，6小时可以到达。若每小时行驶100千米，则李老师可以提前几小时到达？（用比例的方法解答） 【标准答案】解：设若每小时行驶100千米 ，则x小时可以达到： 100x= 90×6 x=540÷100 x=5.4 6 - 5.4=0.6（小时） 答： 李老师可以提前0.6小时到达 。 【思路分析】李老师开车从甲地到乙地，总路程是不变，而路程等于速度乘以时间，所以这里的速度和时间是成反比例关系。只要根据这个关系来进行列式解比例，先要设好未知数，这里可以设每小时行驶100千米则x小时到达，这样可以方便计算，后面再求出提前的时间即可。 2. 一个晒盐场用10千克海水可以晒出0.3千克盐。如果一块盐田有4000吨海水，可以晒出多少吨盐？（用比例知识解答） 【标准答案】解：设可以晒出x吨盐。 10：0.3=4000：x 10x=0.3×4000 10x=1200 x=1200÷10 x=120 答：可以晒出120吨盐。 【思路分析】因为海水的出盐率一定，所以一个晒盐场的海水质量：盐的质量=另一个晒盐场的海水质量：盐的质量，据此比例关系列比例，根据比例的基本性质解比例。 3．一辆汽车的总长是6.3米，某玩具厂商制作这辆汽车的模型进行售卖，模型总长与汽车总长的比是1：9。这个模型的总长为多少厘米? 【标准答案】解：设这个模型的总长为x厘米： 6.3米=630厘米 x ：630 = 1 ： 9 9x =630× 1 x =630÷9 x =70 答：这个模型的总长为70厘米。 【思路分析】这里可以利用解比例来做，只要熟练掌握比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项；还有就是要设好未知数x；题中已经给出汽车总长为6.3米，所以就可以设这个模型长x厘米，但是要注意先将6.3米化成630厘米，然后再进行解比例即可。 2： 一列火车以每小时140千米的速度从甲地开往乙地，3小时行驶了全程的，那么在比例尺是1：7000000的地图上，甲、乙两地之间铁路线的长为多少？ 【标准答案】解：140×3÷ =420÷ =980（千米） 980千米=98000000厘米 98000000×=14（厘米） 答：甲、乙两地之间铁路线的长为14厘米。 【思路分析】用速度乘3求出3小时行驶的路程，根据分数除法的意义，用3小时行驶的路程除以求出全程。把全程换算成厘米，然后用实际距离乘比例尺即可求出图上距离。 4．阳光社区新建一个长方形的社区健身园，在比例尺是的图纸上，量得健身园长是3cm，宽是2cm。社区健身园实际占地面积是多少平方米？ 【标准答案】解：比例尺是图上1厘米表示实际距离4米，表示为1：400， 3÷=1200（厘米）=12（米） 2÷=800（厘米）=8（米） 12×8=96（平方米） 答：社区健身园实际占地面积是96平方米。 【思路分析】图上距离÷比例尺=实际距离，据此求出健身园的长和宽，健身园的长×健身园的宽=健身园的面积。 5．琳琳在比例尺是1：20000的图纸上，量得一块长方形花圃的长是3厘米，宽是2厘米，这块长方形花圃的实际面积是多少公顷？ 【标准答案】解：长：3÷=3×20000＝60000（厘米）＝600（米） 宽：2÷=2×20000＝40000（厘米）＝400（米） 面积：600×400＝240000（平方米）＝24（公顷） 答：这块长方形花圃的实际面积是24公顷。 【思路分析】实际距离=图上距离÷比例尺；厘米÷100=米，平方米÷10000=公顷；长方形的面积=长×宽；据此解答。 6．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得两个城市的图上距离是4cm，这两个城市之间的实际距离是多少千米? 【标准答案】解：4÷=20000000(厘米)=200千米 答：这两个城市之间的实际距离是200千米。 【思路分析】已知比例尺，求实际距离，实际距离=图上距离÷比例尺；据此解答。 3：把左边的平行四边形按比例放大后得到右边的平行四边形，求未知数x 【标准答案】解：20：x=50：15 50x=20×15 50x=300 x=300÷50 x=6 【思路分析】依据右边平行四边形的高：左边平行四边形的高=右边平行四边形的底：左边平行四边形的底，列比例，解比例求出x的值。 7．某手机专卖店在门口竖起了一块宣传牌，宣传牌上的手机图片是按15：1打印而成的，手机图片的高是180 cm，手机的实际长是多少厘米？ 【标准答案】解：180÷15＝12（cm） 答：手机的实际长是12厘米。 【思路分析】根据题意可知，手机图片的高÷放大的倍数=手机的实际长度，据此列式解答。 8．把一个长方形按照1：3的比缩小，缩小后它们的面积相差64平方厘米，原来长方形的面积是多少平方厘米？ 【标准答案】解： 64÷（9-1）×9 =64÷8×9 =8×9 =72（平方厘米） 答：原来长方形的面积是72平方厘米。 【思路分析】图形的缩放：是指把一个图形按照一定的比例放大或缩小，只要把图形的各边按一定的比例放大或缩小即可。图形的缩放只是改变了图形的大小，形状没有发生改变。 本题中可以得出缩小后长方形的长和宽与原来长方形的长和宽之比=1：3，长方形的面积=长×宽，所以缩小后长方形的面积和原来长方形的面积之比=缩小后长方形的长和宽与原来长方形的长和宽之比的平方=1：9，所以相差的份数是9-1，所以原来长方形的面积=原来长方形的面积与缩小后长方形的面积之差÷（原来长方形面积占的份数-缩小后长方形面积占的份数）×原来长方形面积占的份数，代入数值计算即可得出答案。 9．一个直角三角形ABC的两条直线边分别长2.5cm和6cm，把它按2：1的比放大后得到三角形DEF。三角形ABC与三角形 DEF 的周长之比是多少？面积之比呢？ 【标准答案】解：周长比=1：2 面积比=12：22=1：4 【思路分析】三角形的周长之比等于对应边之比；三角形的面积之比等于对应边的平方之比。 4：用边长是3分米的方砖铺地，需要 100 块，如果改用面积 15 平方分米的方砖铺地，需要多少块？(用比例解) 【标准答案】解：设现在需要x块。 15x=3×3×100 15x=900 x=900÷15 x=60 答：需要60块。 【思路分析】设现在需要x块。依据现在需要的块数×现在平均每块的面积=原来方砖的边长×边长×原来需要的块数，列比例，解比例。 10．某小学修整地面，用边长 0.5米的正方形花砖需要 196块，师傅建议改用边长是 0.7 米的正方形花砖更美观，算一算需要多少块？(用比例解题) 【标准答案】解：设需要x块。 0.7×0.7×x=0.5×0.5×196 0.49x=49 x=49÷0.49 x=100 答：需要100块。 【思路分析】设需要x块。依据改用后方砖的边长×边长×改用后的块数=原来方砖的边长×边长×原来的块数，列比例，解比例。 11．无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计要求，坡度指每段坡道的垂直高度与水平长度的比(如图)。一条轮椅坡道的坡度是1：16，水平长度是12.8m，这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？(用列比例的方法解答) 【标准答案】解：设这条轮椅坡道的垂直高度是x米。 x：12.8=1：16 16x=12.8×1 x=12.8÷16 x=0.8 答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。 【思路分析】设这条轮椅坡道的垂直高度是x米，根据坡道的垂直高度与水平长度的比是1：16列出比例，解比例求出垂直高度即可。 12.．加工一批机器零件，如果师傅单独加工，每天加工24个，加工完这批零件需要6天；如果徒弟单独加工，每天加工的零件个数是师傅的75%。徒弟单独加工完这批零件需要多少天？（用比例方法解答） 【标准答案】解：设徒弟单独加工完这批零件需要x天。 24×75%×x=24×6 18x=144 x=8 答：徒弟单独加工完这批零件需要8天。 【思路分析】本题可以设徒弟单独加工完这批零件需要x天，题中存在的比例关系是：师傅每天加工的个数×师傅加工完这批零件需要的天数=徒弟每天加工的个数×徒弟加工完这批零件需要的天数，据此代入数值作答即可。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$