（趣味奥数）第四讲 比例（一）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第四讲 比例（一） 神奇的比例王国 在一个遥远的地方，有一个神秘的比例王国。这个王国里的一切都遵循着比例的规则，无论是建筑、生活还是自然现象。 在比例王国的中心，有一座宏伟的城堡。城堡的建筑结构就是比例的杰作。城墙的高度与厚度之比、塔楼的直径与高度之比，都恰到好处，使得城堡既坚固又美观。据说，城堡的设计师是一位比例大师，他深知比例的奥秘，能够运用比例创造出令人惊叹的建筑。 在城堡里，住着国王和他的臣民们。国王的宫殿中，有一幅巨大的地图，这幅地图是比例王国的缩影。地图上的山川、河流、森林和城市，都按照精确的比例绘制而成。国王每天都会站在地图前，思考着如何让比例王国更加繁荣昌盛。 有一天，国王发现王国的粮仓出现了问题。粮仓里的粮食存储量与人口数量的比例失调了，导致粮食供应不足。国王立刻召集了他的大臣们，商议解决办法。 大臣们纷纷提出自己的建议。其中一位大臣说：“我们可以增加粮食的产量，让粮食与人口的比例重新达到平衡。” 另一位大臣则说：“我们可以控制人口的增长，减少粮食的消耗。” 国王听了大臣们的建议后，陷入了沉思。他知道，无论是增加粮食产量还是控制人口增长，都需要考虑到比例的因素。如果盲目地增加粮食产量，可能会导致土地资源的过度开发；如果过度地控制人口增长，可能会影响比例王国的发展活力。 于是，国王决定派遣一支探险队，去寻找一种神奇的种子。据说，这种种子可以在任何土地上生长，并且产量极高。探险队出发了，他们穿越了比例王国的高山、河流和森林，历经千辛万苦，终于找到了这种神奇的种子。 探险队带着种子回到了比例王国，国王立刻下令在全国范围内种植这种种子。在种植的过程中，国王严格按照比例的要求，分配土地、劳动力和水资源。经过一段时间的努力，粮食产量大幅增加，粮食与人口的比例重新恢复了平衡。 比例王国的臣民们欢呼雀跃，他们为国王的智慧和决策感到骄傲。从那以后，比例王国的人们更加重视比例的作用，无论是在农业生产、工业制造还是日常生活中，都会遵循比例的规则。 在比例王国的学校里，老师会教孩子们学习比例的知识。孩子们通过学习比例，能够更好地理解周围的世界。他们知道，比例就像一把神奇的钥匙，能够打开知识的大门，让他们看到世界的奥秘。 随着时间的推移，比例王国变得越来越繁荣昌盛。国王和他的臣民们深知，这一切都离不开比例的功劳。他们将继续遵循比例的规则，创造更加美好的未来。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 求比值和化简比： 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 按比例分配： 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 1：一个比例中，两个外项的积加上两个内项的积是120，其中一个内项是最小的质数，一个外项是最小的合数，写出所有符合条件的比例。 【标准答案】解：120÷2=60，60÷2=30，60÷4=15， 4：2=30：15 4：30=2：15 15：30=2：4 15：2=30：4 【思路分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。所以用120除以2即可求出两个外项或者两个内项的积。用两个内项的积除以最小的质数2求出另一个内项。用两个外项的积除以最小的合数4求出另一个外项。然后写出符合要求的比例即可。 1．两个外项的积加上两个内项的积结果是160，一个外项是2，另一个外项是多少？一个内项是5，另一个内项是多少？你能写出这个比例吗？ 2．在比例4：15=8：30中，如果第一个比的后项增加5，那么第二个比的前项应该怎样变化才能使比例成立？ 3．一个比例的两个内项分别是 和21，其中一个外项是 ，另一个外项是多少？ 2： 果园里的桃树和苹果树棵数的比是 5∶6，其中桃树有90棵，苹果树有多少棵？（用比例解答） 【标准答案】解：设苹果树有x棵。 90：x=5：6 5x=90×6 x=540÷5 x=108 答：苹果树有108棵。 【思路分析】桃树的棵数：苹果树的棵数=5：6，设苹果树有x棵，据此写比例，再根据比例的基本性质及等式的性质2解比例即可。 4．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以上的高度比符合黄金比0.618：1，则这个人的身材比较好看。一个参加空姐选拔活动的选手身高是165cm，她肚脐以上的部分长65cm，未来显得更好看些，她应该穿多高的鞋子？（得数保留整数） 5．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯多少米? 6．生产了一批零件，每天生产200个，15天完成，实际每天生产了250个，实际比原计划可以提前多少天完成?（用比例求解） 3：实验小学举行了书画比赛，未获奖作品的数量与上交作品的数量比是5：9。有多少幅作品获奖?(用比例解) 【标准答案】解：设有x幅作品获奖，则 （72-x）：72=5：9 9×（72-x）=72×5 648-9x=360 9x=648-360 9x=288 x=288÷9 x=32 答：没有获奖的作品数是32幅。 【思路分析】未获奖作品的数量：上交作品的数量=5：9，据此列比例，根据比例的基本性质和等式性质解比例。 7．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 8．在毕业照上，身高186厘米的孙老师的身高只有6厘米，李铭在这张照片的身高只有4.8厘米，李铭的身高多少厘米？（用比例解) 9．一间办公室铺地砖，用边长为4分米的方砖铺，需要320块，如果改用边长为8分米的方砖铺，需要多少块？(用比例知识解答) 天元术 早在3600多年前，古埃及人和巴比伦人已经能用方程解决数学问题。我国的《九章算术》也记载了用一组方程解决实际问题的方法。700多年前，我国数学家李冶在解决问题的过程中，系统地应用并发展了“天元术”，“天元术”是一种用数学符号列方程的方法。14世纪初，我国数学家朱世杰又创立了“四元术”，这是我国古代数学的一次飞跃。 1．两个外项的积加上两个内项的积结果是160，一个外项是2，另一个外项是多少？一个内项是5，另一个内项是多少？你能写出这个比例吗？ 【标准答案】解：160÷2=80 80÷2=40 80÷5=16 答：另一个外项是40，另一个内项是16，这个比例可以是40：16=5：2。 【思路分析】在比例中，两个外项的积等于两个內项的积，所以外项的积=內项的积=两个外项的积加上两个内项的积的和÷2，所以另一个外项=两个外项的积÷其中一个外项，另一个內项=两个內项的积÷其中一个內项，然后组成比例即可。 2．在比例4：15=8：30中，如果第一个比的后项增加5，那么第二个比的前项应该怎样变化才能使比例成立？ 【标准答案】解：4×30=120，15+5=20，120÷20=6，8-6=2。 答：第二个比的前项应该减去2才能使比例成立。 【思路分析】比例中，两个外项的积等于两个內项的积； 因为变化的是比的內项，所以先算出两个外项的积，然后算出第一个比的后项加上1个数后的数，接着用两个外项的积除以变化后的第一个比的后项，最后减去第二个比的前项就是要增加的数。 3．一个比例的两个内项分别是 和21，其中一个外项是 ，另一个外项是多少？ 【标准答案】 ×21÷ =6÷ =15 答：另一个外项是15. 【思路分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。由此用两个内项的积除以一个外项即可求出另一个外项。 4．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以上的高度比符合黄金比0.618：1，则这个人的身材比较好看。一个参加空姐选拔活动的选手身高是165cm，她肚脐以上的部分长65cm，未来显得更好看些，她应该穿多高的鞋子？（得数保留整数） 【标准答案】解：设她应该穿鞋跟高xcm的鞋子。 65：（165-65+x）=0.618：1 0.618×（100+x）=65 61.8+0.618x=65 0.618x=65-61.8 0.618x=3.2 x=3.2÷0.618 x≈5 答：她应该穿鞋跟高5cm的鞋子。 【思路分析】空姐的身高-肚脐以上的部分长+鞋子的高度=肚脐以下的部分长；肚脐以上的部分长：肚脐以下的部分长=0.618：1，据此写比例，解比例时，根据比例的基本性质把比例化为方程，再根据等式性质解方程。 5．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯多少米? 【标准答案】解：设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100：（100-x）=（100-10）：（100-15） 解得x= 答：当杨洋跑到终点时会领先张雯 米。 【思路分析】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100-10）：（100-15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100-x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100：（100-x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 6．生产了一批零件，每天生产200个，15天完成，实际每天生产了250个，实际比原计划可以提前多少天完成?（用比例求解） 【标准答案】解：设实际需要x天， 200×15=250x， 解得x=12 15-12=3（天） 答：实际比原计划可以提前3天完成。 【思路分析】这批零件的总数不变，每天生产零件的个数和生产的天数成反比例关系，所以实际和计划每天生产的个数和生产的天数的乘积是相等的，设实际需要x天完成，列出方程解方程即可。 7．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 【标准答案】解：设可兑换x元话费。 = 1800x=3300×30 18x=33×30 18x=990 x=990÷18 x= 55 答：可兑换55元话费。 【思路分析】比例关系：=，据此列比例，根据比例的基本性质和等式性质解比例。 8．在毕业照上，身高186厘米的孙老师的身高只有6厘米，李铭在这张照片的身高只有4.8厘米，李铭的身高多少厘米？（用比例解) 【标准答案】解：李铭的身高x厘米。 4.8：x=6：186 6x=4.8×186 x=148.8 答：李铭的身高148.8厘米 【思路分析】设李铭的身高x厘米，毕业照的比例尺不变，即照片上李铭高度：李铭实际身高=照片上孙老师高度：孙老师实际身高，据此列出比例方程解答。 9．一间办公室铺地砖，用边长为4分米的方砖铺，需要320块，如果改用边长为8分米的方砖铺，需要多少块？(用比例知识解答) 【标准答案】解：设需要x块。 4×4×320=8×8×x 5120=64x 64x＝5120 x=5120÷64 x=80 答：需要80块。 【思路分析】一块方砖的面积×用的块数=办公室地面的面积（一定），据此列反比例，根据比例的基本性质解比例。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$