（趣味奥数）第三讲 圆柱与圆锥（二）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

第三讲 圆柱与圆锥（二） 谷垛的体积之秘 在丰收的季节，金黄的稻谷堆满了整个村庄。村子里有一位聪明的老农夫，他一生都在与这些稻谷打交道，对谷垛的事情了如指掌。 有一天，村里几个年轻的农夫围在一个巨大的谷垛旁，讨论着这个谷垛到底有多少稻谷，也就是它的体积是多少。年轻的农夫们你一言我—语，有的说看着很大，肯定有好多稻谷，有的则摇头说很难估算。 老农夫笑着走过来，他看着谷垛，缓缓说道：“这谷垛啊，看似不规则，但我们可以把它看成是由一些简单的形状组成的。就像很多个圆锥和圆柱叠放在一起。" 年轻农夫们一脸疑惑，老农夫接着说：“你们看，谷垛的底部比较宽大，接近圆柱的形状，而顶部尖尖的部分就像圆锥。” 老农夫蹲下身子，用手比划着：“我们先量出底部近似圆柱部分的底面半径和高度，根据圆柱体积公式V₁=πr²h₁(这里的r是底面半径，h₁是圆柱部分的高度),就能算出圆柱部分的体积。"“那顶部的圆锥部分呢?“一个年轻农夫迫不及待地问。 老农夫站起身来，指看谷垛顶部说：“对于圆锥部分，我们量出它的高h2,冉根据圆锥体积公式(这里的半径和圆柱部分底面半径相同)算出圆锥的体积。然后把圆柱体积和圆锥体积相加，就大概能得出这个谷垛的体积了。" 年轻农夫们听了，恍然大悟。他们按照老农夫的方法，找来工具测量，经过一番计算，终于得出了谷垛的大概体积，也对谷垛的构成和体积计算有了更深的认识。从那以后，年轻农夫们更加尊敬老农夫的经验和智慧，而老农夫也继续将他的知识传授给更多的年轻人，让他们懂得在农业劳作中也蕴含着许多数学的奥秘。 圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线(圆锥顶点到底面圆周上任意一点的连线)。 圆锥的体积 可以通过实验来推导圆锥的体积公式。准备等底等高的圆柱和圆锥形容器，将圆锥形容器装满沙子(或水),然后倒入圆柱形容器中，会发现正好倒满圆柱形容器的三分之一。所以圆锥的体积公式为(其中V表示圆锥体积，π通常取3.14,r表示底面半径，h表示圆锥的高)。 圆锥的表面积 圆锥的表面积由底面积和侧面积组成。底面积是一个圆的面积，根据圆的面积公式S=πr²。圆锥s=2的侧面积可以通过扇形面积公式来推导，已知扇形面积公式(其中是扇形弧长，r是扇形半径),对于圆锥，扇形弧长就是底面圆的周长C=2πr,扇形半径就是圆锥的母线长l,所以圆锥侧面积S=πrl。那么圆锥的表面积公式为S=πmr²+πrl。 1：如图，圆锥形容器中装有4升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 【标准答案】解：（2×4）：（1×1）=8：1 4×（8-1） =4×7 =28（升） 答：这个容器还能装28升水。 【思路分析】大小圆锥的高之比是2：1，底面积之比是4：1，体积之比是（2×4）：（1×1）=8：1，就是说这个容器可以装8份4升的水，所以这个容器还能装水：4×（8-1）=28升水。 1． （1）如图所示，上排的图形快速旋转后会形成什么图形，请与下排的图形连一连。 （2）奇思说“对于三角形、四边形等所有的多边形，以短边为轴旋转一周所得图形的体积，总是大于以长边为轴旋转一周所得图形的体积。”你同意他的说法吗？说明理由。 2．某种一次性纸杯的形状近似于圆锥，测得底面直径是6cm，高是8cm。一桶纯净水的体积是18.925L，用这种一次性纸杯盛水，至少能倒出多少杯？ 3．如图，将直角梯形 ABCD 以高 AB 所在直线为轴旋转一周，形成 一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 2：如图，瓶底的面积和杯子(杯身呈圆锥形)杯口的面积相等，将瓶中的水倒入杯中，能倒满多少杯？ 【标准答案】解：S×2h÷（×S×h） =2Sh÷Sh =2÷ =6(杯) 答：能倒满6杯。 【思路分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，一个高度是h的圆柱可以倒满3杯圆锥，两个高度是h的圆柱可以倒满6杯圆锥，据此解答。 4．把一个底面半径8dm、高4dm的圆柱形钢材，锻压成底面半径为4dm的圆锥形钢材，它的高是多少分米？ 5．一个圆柱削去20立方分米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 6．寒假的一天下午，聪聪独自一个人在家，闲着无聊，于是到后院去玩，看到了一个圆柱形的木棒，他想把这根木棒削成一个最大的圆锥，削好后，他认真计算一下，发现圆锥的体积与这根圆柱形木棒的体积之和是60cm3，请你算一算这根圆柱形木棒的体积是多少？ 哥德巴赫猜想 200多年前，德国的数学家哥德巴赫发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，数学家欧拉表示同意，这个猜想被称为“哥德巴赫猜想”，人们把这个猜想比喻为“数学皇冠上的明珠”，1966年，我国数学家陈景润在“哥德巴赫猜想”的研究上取得了更加显著的进展，轰动的国内外数学界。 1． （1）如图所示，上排的图形快速旋转后会形成什么图形，请与下排的图形连一连。 （2）奇思说“对于三角形、四边形等所有的多边形，以短边为轴旋转一周所得图形的体积，总是大于以长边为轴旋转一周所得图形的体积。”你同意他的说法吗？说明理由。 【标准答案】（1）解： （2）解：我同意奇思的说法。 如：一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米、4厘米，以直角边3厘米为轴旋转一周得到的立体图形为圆柱体，它的体积： V==16(立方厘米) 以直角边4厘米为轴旋转一周得到的立体图形为圆柱体，它的体积： V==12(立方厘米) 16>12 再如：一个长方形的长4是3厘米，宽是2厘米，以宽2厘米的边为轴旋转一周得到的立体图形为圆柱体，它的体积： V=×42×2=32(立方厘米) 以长4厘米的边为轴旋转一周得到的立体图形为圆柱体，它的体积： V=×22×4=16(立方厘米) 32>16 所以，对于三角形、四边形等所有的多边形，以短边为轴旋转一周所得图形的体积，总是大于以长边为轴旋转一周所得图形的体积。 【思路分析】(1)根据图片和圆柱的特征、棱柱的特征可知，直角梯形旋转后会形成圆台，长方形旋转后梅形成圆柱，半圆旋转后或形成球； (2)我同意奇思的说法，以直角的较短的直角边为轴旋转一周得到立体图形(圆锥)的体积大于以这个直角三角形较长的直角边为轴旋转得到的立体图形(圆锥)的体积；以四边形(长方形)较短的边为轴一周得到的立体图形(圆柱)的体积比以这个长方形较长的边为旋转一周得到的立体图形(圆柱)的体积大。可以通过举例证明。 2．某种一次性纸杯的形状近似于圆锥，测得底面直径是6cm，高是8cm。一桶纯净水的体积是18.925L，用这种一次性纸杯盛水，至少能倒出多少杯？ 【标准答案】解：6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×8 ＝×3.14×9×8 ＝75.36（立方厘米） 75.36立方厘米＝0.07536升 18.925÷0.07536≈251（杯） 答：至少能倒出251杯。 【思路分析】π×底面半径的平方×高÷3=一个圆锥形纸杯的体积；一桶纯净水的体积÷一个圆锥形纸杯的体积，商采取去尾法得到的整数就是至少能倒出的杯数。 3．如图，将直角梯形 ABCD 以高 AB 所在直线为轴旋转一周，形成 一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 【标准答案】解：AD=BC-AB=6-3=3(厘米) 3.14×62×6×-3.14×32×3× =113.04×2-28.26×1 =226.08-28.26 =197.82(立方厘米) 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 【思路分析】如图，，延长DC与AB相交于点E，因为∠C=45°，所以EB=BC=6cm，EA=EB-AB=6-3=3(cm)，AD=BC-AB=6-3=3(厘米)；因此，圆台的体积=底面半径为6cm，高为6cm的圆锥体积-底面半径为3cm，高为3cm的圆锥体积，根据圆锥体积=π×半径2×高×，代入数值分别计算出两个圆锥的体积，再相减即可解答。 4．把一个底面半径8dm、高4dm的圆柱形钢材，锻压成底面半径为4dm的圆锥形钢材，它的高是多少分米？ 【标准答案】解：3.14×82×4×3÷（3.14×42） =3.14×64×4×3÷50.24 =200.96×4×3÷50.24 =803.84×3÷50.24 =2411.52÷50.24 =48（分米） 答：它的高是48分米。 【思路分析】圆锥形钢材的高=圆柱的体积×3÷圆锥的底面积；其中， 圆柱的体积=底面积×高，底面积=π×半径2。 5．一个圆柱削去20立方分米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【标准答案】解：20÷（1-） =20÷ =30（dm3） 答：这个圆柱的体积是30dm3。 【思路分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去的体积是圆柱体积的1-=，故这个圆柱的体积=削去的体积÷削去的体积是圆柱体积的几分之几。 6．寒假的一天下午，聪聪独自一个人在家，闲着无聊，于是到后院去玩，看到了一个圆柱形的木棒，他想把这根木棒削成一个最大的圆锥，削好后，他认真计算一下，发现圆锥的体积与这根圆柱形木棒的体积之和是60cm3，请你算一算这根圆柱形木棒的体积是多少？ 【标准答案】解：60÷4×3 =15×3 =45（立方厘米） 答：这根圆柱形木棒的体积是45立方厘米。 【思路分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆柱的体积=圆锥的体积×3；其中，圆锥的体积=圆柱和圆锥的体积和÷4。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$