广东省广州市香江中学2023-2024学年九年级上学期综合练习数学试卷

2023-2024学年广东省广州市香江中学九年级（上）综合练习数学试卷 一.选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列各点中，在函数y＝﹣图象上的是（　　） A．（﹣2，﹣4） B．（2，3） C．（﹣1，6） D．（﹣，3） 2．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．（3分）“明天是晴天”这个事件是（　　） A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件 4．（3分）如图，已知A、B、C在⊙O上，∠COA＝100°，则∠CBA＝（　　） A．40° B．50° C．80° D．200° 5．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）关于反比例数y＝的图象，下列说法正确的是（　　） A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3 8．（3分）在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是（　　） A． B．1 C．2 D． 9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，且AC＝BC，AO的延长线交BC于点E，若△ABE与△ABC相似，则∠ABC＝（　　） A．55° B．65° C．67.5° D．72° 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 二.填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 12．（3分）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 　 　m2． 13．（3分）圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则这个圆锥的侧面积是 　 　． 14．（3分）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N．若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为 　 　． 15．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若△ADE的面积是4，则正六边形ABCDEF的面积是 　 　． 16．（3分）如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线y＝过点F，交AB于点E，连接EF．若＝4，则k的值为 　 　． 三.解答题（共72分） 17．（4分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，求证：△AOB∽△DOC． 18．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，OB＝10cm，弦CD⊥AB于E，BE＝4cm，求弦CD的长． 19．（6分）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高． 20．（6分）装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）货车到达目的地后开始卸货，如果以1.5t/min的速度卸货，需要多长时间才能卸完货物？ 21．（8分）某中学举行“中国梦，我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 　 　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 　 　度，图中m的值为 　 　； （2）补全条形统计图； （3）组委会决定分别从本次比赛中获得A、B两个等级的学生中，各选出1名学生培训后搭档去参加市中学生演讲比赛，已知甲的等级为A，乙的等级为B，求出同时选中甲和乙的概率． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若OA＝2，∠B＝30°，求涂色部分的面积（结果保留π和根号）． 23．（10分）如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在直线y1＝k1x+b和反比例函数图象上． （1）求m，k2的值； （2）直接写出当x满足什么条件时，y1＞y2； （3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，求点P的坐标． 24．（12分）如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，点P为弧AC上的一动点，延长CP交x轴于点E；连接PB，交OC于点F． （1）若点F为OC的中点，求PB的长； （2）求CP•CE的值； （3）如图2，过点OH∥AP交PD于点H，当点P在弧AC上运动时，试问的值是否保持不变；若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由． 25．（12分）如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 2023-2024学年广东省广州市香江中学九年级（上）综合练习数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A D D B C B 一.选择题（每题3分，共30分） 1．【解答】解：A、∵（﹣2）×（﹣4）＝8≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵2×3＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵（﹣1）×6＝﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D、∵（﹣）×3＝﹣≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：C． 2．【解答】解：∵圆心O到直线l的距离d＝3，⊙O的半径R＝4，则d＜R， ∴直线和圆相交．故选A． 3．【解答】解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选：D． 4．【解答】解：∵∠COA＝100°， ∴∠CBA＝∠AOC＝100°＝50°． 故选：B． 5．【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝＝＝＝． 故选：A． 6．【解答】解：∵反比例数y＝， ∴该函数过点（1，4），故选项A不符合题意； 两个分支分布在第一、三象限，故选项B不符合题意； 两个分支关于原点对称，但不关于x轴成轴对称，故选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D． 7．【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 在每一象限y随x的增大而增大， 而x1＜x2＜0＜x3， ∴y3＜0＜y1＜y2． 即y2＞y1＞y3． 故选：D． 8．【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4； 根据勾股定理AB＝＝5； 若设Rt△ABC的内切圆的半径为R，则有： R＝＝1． 故选：B． 9．【解答】解：如图，连接BO，设∠C＝x°． ∵△ABE与△ABC相似， ∴∠BAE＝∠C＝x°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAE＝x°， 又∵∠AOB＝2∠C＝2x°，∠OBA+∠BAE+∠AOB＝180°， ∴x°+x°+2x°＝180°， ∴x°＝45°， ∴， 故选：C． 10．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC＝3，PC＝a， 把x＝3代入y＝x得y＝3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD＝3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE＝BE＝AB＝×4＝2， 在Rt△PBE中，PB＝3， ∴PE＝， ∴PD＝PE＝， ∴a＝3+． 故选：B． 二.填空题（每题3分，共18分） 11．【解答】解：∵， ∴x≠0， 故答案为：x≠0． 12．【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25＝（m2）， 故答案为：． 13．【解答】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm． ∴BC＝＝10cm， ∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl＝π×6×10＝60πcm2 故答案为：60πcm2． 14．【解答】解：∵AB∥DC， ∴△CDO∽△ABO， ∴＝， ∵DO：OB＝1：2， ∴＝， ∴OC＝OA， ∵AC＝OA+OC＝12， ∴OA+OA＝12， ∴OA＝8， ∵MN∥AC，M是AB的中点， ∴MN为△AOB的中位线， ∴MN＝OA＝×8＝4． 故答案为：4． 15．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠DEF＝∠BAF＝∠F＝120°，∠DAF＝60°，DE＝AF＝EF， ∴∠AEF＝∠EAF＝30°，， ∴∠DAE＝∠EAF＝30°，∠AED＝90°， ∴AD为直径，DE＝AD＝OD＝OE， ∴△ODE是等边三角形， ∵△ADE的面积是4， ∴△ODE的面积＝△ADE的面积＝2， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6△ODE的面积＝6×2＝12； 故答案为：12． 16．【解答】解：如图，过F作FC⊥OA于C， ∵， ∴OA＝3OC，BF＝2OC， ∴设F（m，n）， 则OA＝3m，BF＝2m， ∵S△BEF＝4， ∴BE＝， 则E（3m，n﹣）， ∵E在双曲线y＝上， ∴mn＝3m（n﹣）， ∴mn＝6， 即k＝6． 故答案为：6． 三.解答题（共72分） 17．【解答】证明：∵AC，BD交于点O， ∴∠AOB＝∠DOC， ∵∠A＝∠D， ∴△AOB∽△DOC． 18．【解答】解：如图，连接OC． ∵OB＝10cm， ∴OC＝OB＝10cm， ∵BE＝4cm， ∴OE＝OB﹣BE＝10﹣4＝6（cm）， 在Rt△CEO中利用勾股定理，得CE＝＝＝8（cm）， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2CE＝2×8＝16（cm）． 答：弦CD的长是16cm． 19．【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB ∴， ∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m， ∴， ∴CB＝4（m）， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）． 答：树高为5.5米． 20．【解答】解：（1）x（t/min）代表装载速度，y（min）代表装完货物所需时间，货物的质量m＝xy， 把（0.5，40）代入得货物的质量m＝0.5×40＝20； 由xy＝20得； （2）当x＝1.5时， ． 需要分钟时间才能卸完货物 21．【解答】解：（1）根据题意得：3÷15%＝20（人）， 表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°＝72°； C级所占的百分比为×100%＝40%， 故m＝40， 故答案为：20，72，40． （2）等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人）， 补全统计图，如图所示： ； （3）列表如下： 乙 B B B B 甲 甲、乙 甲、B 甲、B 甲、B 甲、B A A、乙 A、B A、B A、B A、B A A、乙 A、B A、B A、B A、B 所有等可能的结果有15种，同时选中甲和乙的情况有1种， 所以同时选中甲和乙的概率为． 22．【解答】解：（1）BC与⊙O相切． 证明：连接OD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． 又∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA． ∴∠CAD＝∠ODA． ∴OD∥AC． ∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切； （2）解：∵OA＝OD，OA＝2， ∴OD＝2， 在Rt△ABC中，OD＝2∠B＝30°， ∴OB＝4∠ODB＝60°， 由勾股定理得：BD＝2 ∴S△OBD＝OD•BD＝2，S扇形ODF＝＝π， ∴涂色部分的面积＝2﹣π． 23．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上， ∴k2＝﹣1×5＝m×（﹣1）， ∴k2＝﹣5，m＝5； （2）∵A（﹣1，5），B（5，﹣1）是直线y1＝k1x+b和反比例函数的交点， 观察图象可知：x＜﹣1或0＜x＜5时，y1＞y2； （3）∵A（﹣1，5），B（5，﹣1）在直线y1＝k1x+b上， ∴， 解得， ∴y1＝﹣x+4， ∵直线AB交y轴于（0，4）， 设P（0，n）， ∵△ABP的面积是△ABO面积的2倍， ∴×|m﹣4|×（5+1）＝2××4×（5+1）， 解得m＝12或﹣4， ∴P（0，12）或（0，﹣4）． 24．【解答】（本题满分8分） 解：（1）连接AP， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠APB＝∠FOB＝90°． ∵∠ABP＝∠FBO， ∴△ABP∽△BOF． ∴．（1分） ∵， ∴． ∴．（2分） （2）连接BC， ∵OC⊥AB，， ∴＝， ∴∠CPB＝∠EBC．（3分） ∵∠BCP＝∠BCE， ∴△BCP∽△ECB． ∴．（4分） ∴BC2＝CP•CE＝32．（5分） （3）的值保持不变．（6分） 连接PC，AC， ∵OH∥AP， ∴∠APD＝∠OHP＝∠AOD＝45°． ∴∠CPA＝∠OHD＝135°． 又∵∠CAP＝∠ODH， ∴△CAP∽△ODH．（7分） ∴． 当点P在弧AC上运动时，的值保持不变，的值为．（8分） 25．【解答】解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB＝＝＝8， ∴⊙O的半径为4； （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°； （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ＝＝2， ∵CM≤CJ+JM＝2+2， ∴CM的最大值为2+2． 学科网（北京）股份有限公司 $$