精品解析：四川省成都市玉林中学2024-2025学年九年级上学期12月期中考试数学试题

2024—2025学年度（上期）初2022级12月诊断性评价 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点D，E分别在△ABC的两边上，，若，，，则为（ ） A. 13 B. C. 14 D. 15 5. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为( ) A. B. C. D. 8. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 若，则_________． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 11. 若点在双曲线上，则代数式的值为 _____． 12. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，则的长为______． 13. 如图，在中，，点D为边上一点，连接．现将沿翻折使得点A落在边的中点E处．若，则__________． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课科技项目中，你最喜欢的是　　　　　　（单选） A．无人机 B．人工智能 C．动漫 D．编程 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图， （2）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ （3）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 16. 如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段表示站在路灯左侧的小明，线段表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长为，当小明步行至路灯右侧点处时，此时影长为，已知小明的身高为，则路灯的高为多少米？ 17. 如图,在平面直角坐标系中，直线与轴交于点,与直线交于点，点的坐标为 （1）求直线的解析式； （2）直线与轴交于点，若点是直线上一动点（不与点B重合），当与相似时，求点的坐标 18. 如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）若，求线段的值． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 若m，n是一元二次方程的两实根，则的值为______． 20. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是__________． 21. 黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．如图，一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（黄金分割比） 22. 如图，中，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，与交于点，连接，分别与边交于点E，与交于点O．若，则的值为_______． 23. 在矩形中，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）．过点作于点，在矩形的内部作正方形．当时，若直线将矩形的面积分成两部分，的值为 ______． 二、解答题（共30分） 24. 某药店销售一种消毒液，每瓶的进价是元，日均销售量（瓶）与每瓶售价（元）成一次函数关系，且．当每瓶售价为元时，日均销售量是瓶，当每瓶售价为元时，日均销售量是瓶． （1）求关于的函数表达式； （2）要使日均利润达到元，每瓶售价应定为多少元？ 25. 如图1，已知正方形的边长为6，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当点E在边延长线上时，设线段，，求y关于x的函数解析式； （3）当时，求的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接，若的面积为1，求； （3）在（2）的条件下，点E是x轴上的一动点，点F在图象上，当为等边三角形时，请直接写出点E的坐标，并写出其中一个点E坐标的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（上期）初2022级12月诊断性评价 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形． 【详解】解：从上面看得到的平面图形为： ， 故选B． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出当时，当时，当时y的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴四个选项中，只有C选项中的点在反比例函数的图象上， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． 3. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，点D，E分别在△ABC的两边上，，若，，，则为（ ） A. 13 B. C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，关键是推出． 首先证明出，然后得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， 故选D． 5. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 7. 某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额共1000万元， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 8. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 根据根的判别式得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 11. 若点在双曲线上，则代数式的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，由此求得的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据题意得出，是解答本题的关键． 12. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，已知，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．直接利用相似三角形的判定方法得出，得到，代入已知条件求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D为边上一点，连接．现将沿翻折使得点A落在边的中点E处．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明是等边三角形，得到，则，根据含30度角的直角三角形的性质求出，则由勾股定理可得． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，证明是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程： （1）原式分别计算，，，，然后再进行加减运算既可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） = ． （2）， ， ∴． 15. 为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课科技项目中，你最喜欢的是　　　　　　（单选） A．无人机 B．人工智能 C．动漫 D．编程 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图， （2）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ （3）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示． （2）300人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 【小问2详解】 解：（人）． 故估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， ∴． 故恰好甲和丁同学被选到的概率为 16. 如图，是小明晚上散步回家的场景，图中线段表示站在路灯左侧的小明，线段表示直立在地面上的路灯，此时小明的影长为，当小明步行至路灯右侧点处时，此时影长为，已知小明的身高为，则路灯的高为多少米？ 【答案】路灯的高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，设，，证明，，根据相似三角形的性质可列方程组，求解即可． 【详解】解：设， 由题可知：，，都垂直于地面， ∴， ∴，， ∴， ∴ 解得： 答：路灯的高为． 17. 如图,在平面直角坐标系中，直线与轴交于点,与直线交于点，点的坐标为 （1）求直线的解析式； （2）直线与轴交于点，若点是直线上一动点（不与点B重合），当与相似时，求点的坐标 【答案】（1）;（2）（3，），（2，2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先设出一次函数解析式，将点A,D代入即可求出一次函数解析式;（2）先写出OB,OD,BC的长度，然后分两种情况讨论1：△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC. 试题解析：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0) 将点A代入直线y=kx+b中得： 解得： 直径AD的解析式为： （2）设点E的坐标为（m,m+1） 令得x=-2 点B的坐标为（-2，0） 令y=-x+3=0得x=3 点C的坐标为（3，0） OB="2," OD="1," BC="5," BD= 1. 当△BOD∽△BCE时,如图（1）所示，过点C作CEBC交直线AB于E： CE= m+1=,解得m=3 此时E点的坐标为（3，） 2. △BOD∽△BEC时，如图（2）所示，过点E作EFBC于F点，则： CE= BE= BE*CE=EF*BC EF=2 解得m=2 此时E点的坐标为（2，2） 当△BOD与△BCE相似时，满足条件的E坐标（3，），（2，2）. 考点：一次函数的综合题. 18. 如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）若，求线段的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ∴，， 延长到点，使， ∴，， 四边形是平行四边形； （2） 证明：是矩形，且， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到； （3）设，，由已知可得到，的长，又因为，从而求得和的长，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形为平行四边形，，相交点， ， ∴设，， ，， 在中， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ，， ，． ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理、勾股定理、二次根式的混合运算，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 若m，n是一元二次方程的两实根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得，，即可得． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是理解题意，掌握一元二次方程的根与系数的关系． 20. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是__________． 【答案】##0.01 【解析】 【分析】根据题意可知：后两个数字共有100种情况，据此即可求得一次就能打开该锁的概率． 【详解】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 21. 黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．如图，一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（黄金分割比） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比例的实际应用、解分式方程；熟记黄金分割比例，正确求解方程是解题的关键．设演员的上半身长为，掂起脚尖后，下半身长为，根据黄金分割比列方程求解即可． 【详解】解：设演员的上半身长为，身高为，则掂起脚尖身高为， 下半身长为， 此时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比， 黄金分割比例约为：， ， 解得，经检验符合题意； 故答案为：． 22. 如图，中，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，与交于点，连接，分别与边交于点E，与交于点O．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠得到垂直平分，得到，进而得到为的中位线，得到，证明，得到，证明，求出的值，以及的值，根据，以及三角形的中线平分面积求出与的关系，进而求出的值即可． 【详解】解：∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵点D为边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，三角形的中线等知识点，解题的关键是得到为的中位线，利用相似三角形进行求解． 23. 在矩形中，连接，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）．过点作于点，在矩形的内部作正方形．当时，若直线将矩形的面积分成两部分，的值为 ______． 【答案】或或或3 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、矩形与正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，学会分类讨论的数学思想是解题的关键． 分四种情况讨论：当点在上，点在下方时，延长交于，根据直线将矩形的面积分成两部分得出，根据矩形和正方形的性质证明，即可求出的长，根据点速度即可得出值；当点在上，点在上方时，延长交于，可得，证明可得的长，根据点速度即可得出值；当点在上，点在上方时，延长交于，交延长线于，可得，利用证明，得出，利用勾股定理求出，证明，得出，证明，可求出的长，即可求出值；当点在上，点在下方时，延长交于，同理可求出的长，即可求出值，综上即可得答案． 【详解】解：如图1，当点在上，点在下方时，延长交于，此时， ∴， ∴， 解得：， ∵在矩形的内部作正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿着的路径运动， ∴． 如图2，当点在上，点在上方时，延长交于，此时， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 如图3，当点在上，点在上方时，延长交于，交延长线于，此时 ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 如图4，当点在上，点在下方时，延长交于，此时 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或或或． 故答案为：或或或 二、解答题（共30分） 24. 某药店销售一种消毒液，每瓶的进价是元，日均销售量（瓶）与每瓶售价（元）成一次函数关系，且．当每瓶售价为元时，日均销售量是瓶，当每瓶售价为元时，日均销售量是瓶． （1）求关于的函数表达式； （2）要使日均利润达到元，每瓶售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每瓶售价应定为元 【解析】 【分析】（1）设，根据题意找出点代入即可得到答案； （2）根据利润（售价进价）数量列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由题意得一次函数过，，代入可得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得：， ， ， 答：每瓶售价应定为元． 【点睛】本题考查求一次函数解析式及一元二次方程求解销售利润问题应用题，解题的关键是从题意中找出相应点及等量关系式． 25. 如图1，已知正方形的边长为6，点是射线上一点（点不与点、重合），过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当点E在边延长线上时，设线段，，求y关于x的函数解析式； （3）当时，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可证明结论成立； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，由（1）得是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即； 【小问3详解】 解：当点在上时，如图，过点作，垂足为， ， ， 由（）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为； 当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为， 由（）可得，， ， ，即， 解得：， ， ，即， 解得：， 的面积为 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质和勾股定理，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接，若的面积为1，求； （3）在（2）的条件下，点E是x轴上的一动点，点F在图象上，当为等边三角形时，请直接写出点E的坐标，并写出其中一个点E坐标的求解过程． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得出值，可得点坐标，联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组求出、的值即可求出点坐标； （2）如图，过点作轴于，交于，过作于，设，设直线的解析式为，则直线的解析式为，当时，，，，由的面积为1，得到，解得：，（舍去），故，而，则，则； （3），使得点E在x轴上，则可以理解为将点F绕点D逆时针旋转得到点E，顺时针旋转不可能，将点F绕点D逆时针旋转得到的点E为一条直线，连接，将绕点D逆时针旋转得到，过点D作y轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为，延长至点M，使得，延长至点N，使得，连接，则，因此，可求，则，可求，，则，而， 故，此时，故，直线与x轴交点记为，则绕点逆时针旋转后的点记为点，按照同样方式构造辅助线，可求点，故点E的轨迹为直线，可求直线解析式为：，当，，解得：，故． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴， 联立一次函数与反比例函数解析式得：， 解得：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于，交于，过作于，设，设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∵， ∴，， ∵的面积为1， ∴，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 使得点E在x轴上，则可以理解为将点F绕点D逆时针旋转得到点E，顺时针旋转不可能， ∵点F在直线上， ∴直线可以看成点F的集合， ∴将点F绕点D逆时针旋转得到的点E也是一条直线， 连接，将绕点D逆时针旋转得到，过点D作y轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为，延长至点M，使得，延长至点N，使得，连接， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可求，， ∴ 而， ∴， ∴， ∴ 对于直线，当，则 解得：， ∴直线与x轴交点记为， 则绕点逆时针旋转后的点记为点， 按照同样方式构造辅助线，可求点， ∴点E的轨迹为直线， 设直线解析式为：， 则代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为：， 当，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $