2024-2025学年上学期八年级数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第15章（轴对称图形与等腰三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列新能源车标中不是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 2．如果两个图形关于某条直线对称，下列说法中错误的是（   ） A．这两个图形的形状相同，大小相等 B．对应线段的长度相等 C．对称点的连线互相平行或在同一条直线上 D．对称点之间的距离相等 3．将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 5．如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合．已知，的周长为，则的长（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，平分，于，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 8．如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，已知点 D、点E分别是等边三角形中、边的中点， ，点F是边上的动点， 则的最小值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．不能确定 10．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 12．如图，在中，，则 ． 13．如图，将等边三角形和等腰直角三角形重叠摆放，，点D，E分别在边上，且．若，则的面积等于 ． 14．如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点，的坐标； (2)的面积为________． 16．如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 17．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    18．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 19．如图，在中，，垂直平分，的平分线交于点P，连接，若，求的度数． 20．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高； (2)在图②中，为上一点，在上作点，使得； (3)在图③中，在线段上作点，使得． 21．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 22．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 23．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第15章（轴对称图形与等腰三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列新能源车标中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查识别轴对称图形，掌握如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题关键．根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2．如果两个图形关于某条直线对称，下列说法中错误的是（   ） A．这两个图形的形状相同，大小相等 B．对应线段的长度相等 C．对称点的连线互相平行或在同一条直线上 D．对称点之间的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，理解并掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质进行分析即可求解． 【详解】解：如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形是轴对称图形， ∴这两个图形的形状相同，大小相等，故A选项正确，不符合题意； 对应线段的长度相等，故B选项正确，不符合题意； 对称点的连线互相平行或在同一条直线上，故C选项正确，不符合题意； 对称点之间的距离不一定相等，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 3．将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得，根据，求得，再根据三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 5．如图，将沿直线折叠后，使点B与点A重合．已知，的周长为，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知， ∵的周长为， ， ， ∴； 故选：A． 6．如图，在中，，平分，于，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键．根据角平分线的性质可得，根据即可得答案． 【详解】解：∵，平分，于， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 7．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（  ） A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ∵， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 8．如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 9．如图，已知点 D、点E分别是等边三角形中、边的中点， ，点F是边上的动点， 则的最小值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，点 D、点E分别是等边三角形中、边的中点， ∴， ∴直线为的一条对称轴， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， 此时，点F与点M重合， ∵是等边三角形，点 D、点E分别是等边三角形中、边的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故选：A． 10．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴， ∴ ，故②正确； 连接，过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：4 ． 12．如图，在中，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵，是高， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 故答案为：20． 13．如图，将等边三角形和等腰直角三角形重叠摆放，，点D，E分别在边上，且．若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，先判定是等边三角形，推出，根据是等边三角形，得到，进而求出，由是等腰直角三角形，求出，过点作于，求出，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 过点作于， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、轴对称、全等三角形的判定与性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．由得出，连接交直线于，在上截取，连接，利用轴对称的性质和全等三角形的性质推出、即为符合题意的两个点，利用A、B、C、D坐标求出直线与直线的解析式，联立可得的坐标，再根据对称性得出的横坐标等于的横坐标的相反数，代入直线即可完成求解． 【详解】解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 对于， 令，则，即， 令，则，即， ， ； 连接交直线于，在上截取，连接， ， 和关于轴对称， 、在轴上， ， 为符合题意的一个点， ，， ， ， ，，， ， ， 为符合题意的另一个点； ，， 直线的解析式为， ，， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 由对称性得：的横坐标为， 代入，则， ， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点，的坐标； (2)的面积为________． 【答案】(1)图形见解析，， (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和轴对称的性质： （1）根据图形轴对称的性质可知，点，，的对应点分别为点，，，依次连接点，，． （2）用的三个顶点所在矩形的面积减去该矩形内减去面积以外的部分的面积即可． 【详解】（1）解：根据轴对称的性质可知，点，，的对应点分别为点，，，依次连接点，，． （2） 故答案为： 16．如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，作出关于的对称点，连接即可作出水泵站；作线段的垂直平分线即可作出码头 【详解】解：如图所示，两点的位置即为所求 17．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】解：如图，即为所求作：    18．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 19．如图，在中，，垂直平分，的平分线交于点P，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，根据线段垂直平分线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高； (2)在图②中，为上一点，在上作点，使得； (3)在图③中，在线段上作点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可，左侧3个格点确定点，连接，与的交点即为点； （2）取的中点，过中点，作线段，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接即可； （3）取格点，连接，构造等腰直角三角形，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，，高即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的高； （2）如图，即为所求； 由作图可知：都是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴； （3）如图，点即为所求； 由作图可知：， ， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 21．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 22．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到，即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 23．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$