河北省秦皇岛市山海关南园中学2024-2025学年数学九年级上学期期末模拟测试卷

2024-2025学年度初中数学九年级第一学期期末测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 （每题3分，共36分） 1．如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（   ） A． B． C． D． 2．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点，，，，坐标分别为，，，，，则位似中心的坐标为（   ） A． B． B． C． D． 4．如果关于的一元二次方程 没有实数根，那么的取值范围是(   ) A． B． C． D． 5．在△ABC中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使△ADE与△ABC相似，则下列尺规作图错误的是（） A． B． C． D． 6．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 7．如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，，将△ABC在平面内绕点逆时针旋转到的位置，点与对应，且，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 12．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（   ） A． ①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 评卷人 得分 二、填空题 （每题3分，共12分） 13．在中，，，则的值是 ． 14．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． （14题） （ 15题） （16题） 15．如图，在平面直角坐标系中，横纵坐标都为整数的点称为整点，等边三角形的顶点在第一象限，点，双曲线把△AOB分成两部分，若这两部分内的整点个数相等（不含边界），则的取值范围为 ． 16．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 评卷人 得分 三、解答题 （共72分） 17． （8分）（1）解方程：；        （2）计算：． 18．（8分）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)已知的面积为2.5，则的面积为_______． 19．（8分）如图，已知，是的直径，与相切，切点为，弦，连接并延长交的延长线点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，某办公楼的后面有一栋建筑物，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有25米的距离（在一条直线上）．求办公楼的高度．（参考数据：） 21．（9分）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段、、表示三片风叶，，，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为4m的标杆影长为3m． (1)直接写出的度数及的长； (2)求风叶转动时点到地面的最小距离． 22．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B为x轴负半轴上一点，以为边构造菱形，点C的坐标为，反比例函数 的图象经过点 C，且与边 交于点P． (1)求反比例函数的解析式及A 点坐标； (2)判断点 P 是否为边 的中点，并说明理由． 23．（10分）某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批玩具进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种玩具一段时间内的销售量（个）与销售单价（元/个）之间的关系为：，这种玩具的进价为6元/个． (1)按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价（元/个）之间的函数关系式； (2)若这种玩具的进货成本不超过1080元，要想获得最大的利润，试确定这种玩具的销售单价，并求出此时的最大利润． 24．（12分）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D C C B B C 题号 11 12 答案 B D 1．C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上方看得到的视图．找到从上方看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该锥形瓶的俯视图的底层是： 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了根的判别式，根据方程没有实数根，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图—作圆、尺规作图—作一个角等于已知角、尺规作图—作垂线等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案． 【详解】解：A．由作图可得是的垂线， ，， ， ， ． 故选项A不符合题意； B．由作图可得， ， ． 故选项B不符合题意； C．由作图可得是圆的直径， ， ， ， ． 故选项C不符合题意； D．其作图无法使与相似， 故选项D符合题意， 故选：D 6．C 【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的顶点式为，再由顶点坐标是，确定解析式即可． 【详解】解：一条抛物线的形状和开口方向与相同， ， 顶点坐标是， ∴它的解析式为， 故C满足条件， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，取格点E，连接．利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题． 【详解】解：如图，取格点E，连接， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．B 【分析】连接，取的中点M，连接，根据圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理解答即可． 【详解】解：连接， ∵为直径的圆交于点E， ∴， 取的中点M，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积． 【详解】解：∵圆锥的母线长是 ， ∴底面周长是 ∴圆锥体的侧面积是： 故选C． 11．B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，则根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出，即可确定旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故选：B． 12．D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征；由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点可得出，将其代入点的坐标即可得出，即可判断④． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵，则， ∴， ∴点的坐标为，， ∴，即故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：D． 13．/ 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．根据余弦值，求出三角形的各边，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：如图示： ∵在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案是：． 14．/ 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， 点的坐标为， ， ， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征、等边三角形的性质及新定义，正确理解新定义是解题的关键． 根据整点的定义先确定中的整点为：，再代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：由题意得，在中的整点为： 当刚好经过时， 当刚好经过时， 把分成两部分，若这两部分内的整点个数相等 故答案为：． 16． 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 17．（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算等知识点，掌握相关运算方法以及牢记常见特殊角的三角函数值成为解题的关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或． 解得：． （2） ． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点为所作； （2）解：如图所示，为所作； （3）解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 19．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查切线的性质和判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）连接，证明，推出，即可得证； （2）切线长定理，得到，勾股定理求出的长，设，则，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 为圆的切线， ，即， ， 又为圆的半径， 为圆的切线； （2）解：，分别切于D，B， ， ，即， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 20．20米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡脚问题，过点作于点，设，在中，由可知，在中，利用锐角三角函数的定义求出的值即可． 【详解】解：如答图，过点作于点，设， 在中， ， ， ， 在中， ，， ，即， 解得． 答：办公楼的高度约为20米． 21．(1)， (2) 【分析】（1）通过，即可求得，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解的度数； （2）过点作于点H，过点E作于点I，由，求得，则，根据直角三角形的性质得到，故当时，风叶转动时点到地面的最小距离为； 【详解】（1）解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点H，过点E作于点I， 在中，由勾股定理得； 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，而， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当时，风叶转动时点到地面的最小距离为， 答：风叶转动时点到地面的最小距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 22．(1)反比例函数的解析式为 ，点A的坐标为 (2)点P不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数图像和性质，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质求出点A坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，然后求出菱形的边长，利用菱形的四条边相等得到长，即可解题； （2）根据点A，B的坐标得到中点P的坐标，代入反比例函数解析式检验即可． 【详解】（1）∵点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ∴． ∴反比例函数的解析式为， 延长 交y轴于点 D． ∵， ∴． ∵点C的坐标为， ∴，． 在中， ， ∴． ∴． ∴点A的坐标为． （2）点 P 不是边 的中点． 理由∶∵A的坐标为，点B的坐标为， ∴由中点公式可得的中点坐标是， ， ∴点P不是边的中点． 23．(1) (2)销售单价为元/个时，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一元一次不等式的应用等，找出等量关系式，会利用二次函数性质求最值是解题的关键． （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量，据此列出函数关系式即可求解； （2）由进价成本不超过1080元求出的取值范围，将化为顶点式，利用二次函数的性质求最值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∴； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， 当时，随着的增大而减小， 而 当时，取得最大值为， （元）， 故此时的销售单价为元/个时，最大利润为元． 24．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 设，则，， 在中， 即， ∴ ∴，即， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$