北京市第十四中学2024～2025学年上学期九年级数学12月月考试题

1 一、选择题（共 16 分，每题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A B C B A 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9． 6 10．-3 11．3 12．  13．-4 14．.1200(1 + �)2 = 1452 15. 0.9 16. ②③ 三、解答题 17．解方程： 2 4 3 0x x   ． 解：方法一： 2 4 4 1 0x x     22 1x   ……………………………………………………3分 2 1x   1 21, 3x x  ． ……………………………………………………5分 方法二：  22 4 4 4 3 4b ac        . ……………………………………2分 2 4 4 2 2 2 b b acx a       , ……………………………………3分 1 21, 3x x  ． ……………………………………………………5分 方法三： ( 1)( 3) 0x x   ………………………………3分 1 0x   或 3 0x   1 21, 3x x  ． ……………………………………………………5分 18．已知关于 x的二次函数 2 ( 2) 3y x m x    ． （1）该函数图象经过点 (2, 3) ． ①求这个二次函数的表达式及顶点坐标； ②分别求出这个二次函数图象与 x轴， y 轴的交点坐标； （2）将这个二次函数的图象沿 x轴平移，使其顶点恰好落在 y轴上，请直接写出平移后 2 的函数表达式． 解：（1）∵该二次函数图象经过点 (2, 3) ， ∴ 23 2 ( 2) 2 3m      ，解得 4m  ． ……………1分 ∴二次函数的表达式为 2 2 3y x x   ． ∴二次函数顶点坐标为 (1, 4) ． ……………2分 （2）∴该二次函数图象与 x轴的交点坐标为 ( 1,0) ， (3,0)．……………4分 （3） 2 4y x  ． ……………5分 19. 解：（1）画 图 ………………3分 （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ……4分 ∠DAP=∠BAC ………………………………5分 20. 解：如图，作 OC⊥AB于点 C，连接 OA. ∴∠ACO=90°， 1 . 2 AC AB ………………………………2分 ∵AB=0.8， ∴AC=0.4. ………………………………3分 在 Rt△ACO中，根据勾股定理，得 2 2 0.3OC OA AC   . …………4分 ∴0.3+0.5=0.8. ∴水的最大深度为 0.8 m. ………………………………5分 21.解：(1)依题意得  =16-4（2m-1）＞0. ………………………………2分 ∴ m＜ 5 2 . ………………………………3分 (2) ∵m为正整数， ∴m=1或 2. ………………………………4分 当 m=1时，方程 2 4 1 0x x   的根 2 3x   不是整数； 当 m=2时，方程 2 4 3 0x x   的根 1 21 3x x ， 都是整数. ……………5分 综上所述，m=2. ……………6分 3 22． 解：(1) 1 4 ； ………………………………… 2分 (2) 记从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，抽到“B．液桥演示实验”和“C．水 油分离实验”为事件 M． 方法一：用列表法列举所有可能出现的结果： ………………………………… 4分 由表中可以看出，所有可能的结果有 12种，并且这 12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件 M的结果有 2种，即 BC，CB， ∴P(M)＝ 2 12 ＝ 1 6 ． ………………………………… 5分 方法二：根据题意可以画出如下的树状图： ………………………………… 4分 由树状图可以看出，所有可能的结果有 12种，并且这 12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件 M的结果有 2种，即 BC，CB， ∴P(M)＝ 2 12 ＝ 1 6 ． ………………………………… 5分 23． 解（1）∵A( 2 ，n)在一次函数 ( 2) 1y k x   （ 0k  ）的图象上， ∴n= ( 2 2) 1 1k      . …………………………………………………………1 分 ∴点 A的坐标为( 2 ， 1 ). ∵点 A在反比例函数 my x  （ 0m  ）的图象上， ∴ 2m  .………………………………………………………………………………2分 ∴反比例函数的表达式为 2y x  . ………………………………………………3 分 （2） 1k≥ .…………………………………………………………………………………5分 24． 解：（1）略；…………………………………………………………………………………1 分 （2）3.2；…………………………………………………………………………………2分 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 4 （3）设二次函数表达式为  25 3.2y a x   （ 0a  ）. ∵ 该抛物线经过点（0，0.7）， ∴  20.7 0 5 3.2a   . 解得 0.1a   .……………………………………………………………………3分 ∴二次函数表达式为  20.1 5 3.2y x    .…………………………………4分 （4）1或 9．……………………………………………………………………………6分 25. （1）证明：连接 OD. ∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE， ∵DE∥OA， ∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD， ∴∠AOC=∠AOD. 在△AOD和△AOC中， AO AO AOD AOC OD OC      ∴ △AOD≌△AOC， ······································································· 1分 ∴ ∠ADO=∠ACO. ∵AC与⊙O相切于点 C， ∴ ∠ADO=∠ACO=90°, ··································································· 2分 又∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线. ········································································ 3分 （2）解：∵CE=6，∴OE=OD=OC=3. 在 Rt△ODB中，BD=4，OD=3， ∴ 2 2 2BD OD BO  ， ∴BO=5， ∴BC=BO+OC=8. ···················································································· 4分 ∵⊙O与 AB和 AC都相切，∴AD=AC. ……………………………………………5分 在 Rt△ACB中， 2 2 2AC BC AB  ， 即： 2 2 28 ( 4)AC AC   ， 解得：AC=6. ……………………………………………………………………6分 5 26.解：（1）当 a=2时， ( )22 3y x= - - ， 顶点坐标为（2,-3）； ……1分 1 2y y> . ……2分 （2）① 1 2 ； ……3分 ②∵对于任意的 4≤m≤6都满足 y1＞y3＞y2， ∴点 A、B、C存在如下情况： 情况 1，如示意图，当 3 1a m- < + < 时， 可知 3 2 m a- + < ， ∴ 3 1 2 m a m- + < < - ， 解得 3 3 2 a< < . 情况 2，如示意图，当 3 1m a- < < + 时 可知 1 2 m a a+ + < ， ∴ 1 1 a m a m ì > -ïïíï > +ïî ， ∴ 1a m> + ，解得 7a> . 综上所述， 3 3 2 a< < 或 7a> . ……7分 解：（1）由对称可知 CD＝C′D，∠CDE＝∠C′DE． 在正方形 ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴AD＝C′D． 又∵F为 AC′中点， ∴DF⊥AC′，∠ADF＝∠C′DF．……………………1分 ∴∠FDP＝∠FDC′＋∠EDC′= 1 2 ∠ADC＝45°．………2分 （2）结论：BP＋DP＝ 2 AP． 如图，作 AP′⊥AP交 PD延长线于 P′， ∴∠PAP′＝90°． 在正方形 ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°， ∴∠DAP′＝∠BAP．…………………3分 由（1）可知∠APD＝45°， ∴∠P′＝45°． ∴AP＝AP′……………………………………………4分 6 在△BAP和△DAP′中， BA DA BAP DAP AP AP        ， ∴△BAP≌△DAP′（SAS）…………………………5分 ∴BP＝DP′． ∴DP＋BP＝PP′＝ 2 AP．………………………6分 （3） 2 －1………………………………………7分 28．解：（1）① 2 3,T T . ……………………2分 ②当 2 x 时， 0y ， ∴一次函数 2 y kx k过定点(-2,0)， 如图 1当一次函数 2 y kx k 的图象与半径为 1的O相切时， 可得 3 3 k ，则 2 3 3 a . 如图 2当一次函数 2 y kx k 的O与 y轴的交点时， 可得 2a . ∴由题意可知 2 3 2 3  a . ……………………4分 （2） 15 31 2 2    m 或 3 151+ 2 2  m . ……………………6分 第 1 页，共 8 页 第 2 页，共 8 页 北京市第十四中学 2024—2025学年度第一学期阶段检测 初三数学 测试卷 2024.12 班级：__________________ 姓名：___________________ 一、选择题（共 16分，每题 2分） 第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产 名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 180° B. 明天会下雪 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是 7 D. 足球运动员射门一次，未射进 3. 函数 21 2y x  （ ） 的最小值是（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．不透明袋子中有 1 个红球和 2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别. 从袋子中 随机取出 1 个球，恰好是红球的概率为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D．1 5. 点 11A y（ ，）， 21B y（ ， ）， 32C y（ ，）是反比例函数 2 y x  图象上的三个点，则 1 2 3y y y， ， 的大小关系是（ ） A． 3 2 1y y y  B． 1 3 2y y y  C． 2 3 1y y y  D． 3 1 2y y y  6. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD=36°， 那么∠BAD 等于（ ） A． 36° B．44° C．54° D．56° 7. 若关于𝑥的方程𝑘𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0有实数根，则𝑘的取值范围是（ ） A. 𝑘 ≤ −1 B. 𝑘 ≤ 1 C. 𝑘 < 1且𝑘 ≠ 0 D. 𝑘 ≤ 1且𝑘 ≠ 0 8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y x bx c   与 x 轴只有一个交点 M，与平行于 x 轴的直线 l 交于 A、 B 两点.若 AB=3，则点 M 到直线 l 的距离为（ ） A． 9 4 B． 5 2 C．2 D． 7 4 二、填空题（共 16分，每题 2分） 9．已知反比例函数 k y x  的图象经过点  2,3A ，则 k 的值为 . 10．已知𝑥 = 2是关于𝑥的一元二次方程𝑥2 + 𝑏𝑥 − 6 = 0的一个根，则该方程的另 一个根是 ． 注 意 事 项 1.本试卷共 8 页，共 28道小题，满分 100分。考试时间 120 分钟。 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.答题不得使用任何涂改工具。 出题人：邢晓东 审核人：李红文 B C D OA 第 6 题图 第 8 题图 第 3 页，共 8 页 第 4 页，共 8 页 11．如图，𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙𝑂的切线，切点分别为𝐴，𝐵. 若∠𝑂𝐵𝐴 = 30°，𝑃𝐴 = 3，则 𝐴𝐵的长为 ． 12．如图，“凸轮”的外围由以正三角形 ABC 的顶点为圆心，以正三角形的边长 为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为 1，则凸轮的周长等于_______． 13．如图，若点 P 在反比例函数 ( 0) k y k x   的图象上，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M ，PN⊥y 轴于点 N，若矩形 PMON 的面积为 4，则 k 的值是________. 14．杭州亚运会的吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐 朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自 然生态和创新基因.吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.经统计，某商店吉祥物 “江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江 南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为𝑥，则可列方程为___________． 15．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的 移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况， 数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是 .（结果保留小数点后一位） 16．在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，1），B（1，1），有以下 4 种说法： ①一次函数 y＝x 的图象与线段 AB 无公共点； ②当 b＜0 时，一次函数 y＝x+b 的图象与线段 AB 无公共点； ③当 k＞1 时，反比例函数 k y x  的图象与线段 AB 无公共点； ④当 b＞1 时，二次函数 y＝x2﹣bx+1 的图象与线段 AB 无公共点． 上述说法中正确的是 ． 三、解答题（共 68分，第 17～20 每题 5分，第 21题 6分，第 22～23 每题 5分， 第 24～25每题 6分，第 26～27题 7分，第 28题 6分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解方程： 2 4 3 0x x   ． 18．已知关于 x 的二次函数 2 3y x mx   ，该函数图象经过点 (2, 3) . （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）这个二次函数图象与 x 轴的交点坐标是________________； （3）将这个二次函数的图象沿 x 轴平移，使其顶点恰好落在 y 轴上，请直接写出 平移后的函数表达式_______________． 19．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求作： 射线 BP，使得 1 2 ABP BAC   . 作法：①以点 A为圆心，AB 长为半径画圆； ②延长 BA 交⊙A 于点 D，以点 D 为圆心，BC 长为半径 画弧，与⊙A 交于点 P（点 C， P 在线段 BD 的同侧）； ③作射线 BP. ∴射线 BP 即为所求. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； CB A 第 19 题图 第 11 题图 x y M NP O 第 13 题图 A 第 12 题图 B C 第 5 页，共 8 页 第 6 页，共 8 页 x y –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 O （2）完成下面的证明 证明：连接 AP，DP. ∵𝐴𝐵 = 𝐴𝐶， ∴点 C 在⊙A 上. ∵DP DP ， ∴ 1 2 ABP DAP∠ ∠ （ ）（填推理依据）. ∵ DP=BC, ∴ ________DAP ∠ . ∴ 1 2 ABP BAC∠ ∠ . 20．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅 力学性能好，而且构造简单、施工方便. 某水平放置的 圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆， 如图所示，若水面宽 AB=0.8 m，求水的最大深度. 21．已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求 m 的取值范围； （2）若 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值. 22．2022 年 3 月 23 日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国 空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象(A.太 空冰雪实验；B.液桥演示实验；C.水油分离实验；D.太空抛物实验)，神奇的太 空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理 讲述的活动． （1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A.太空 冰雪实验”的概率是 ； （2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或 画树状图的方法，求他恰好抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验” 的概率． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数  2 1y k x   （ 0k  ）的图象与反比例 函数 m y x  （ 0m  ）的图象的一个交点为 A（ 2 ，n）． （1）求反比例函数 m y x  的表达式； （2）当 1x  时，对于 x 的每一个值，一次函数  2 1y k x   （ ）的值大于反比例函数 m y x  （ 0m  ）的值，直接写出 k 的取值范围_________． 24．公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出， 水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为 x（单位：m），距地 面的垂直高度为 y（单位：m），现测得 x 与 y 的几组对应 数据如下： 水平距离 x /m 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 y /m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 请根据测得的数据，解决以下问题： （1）在平面直角坐标系 xOy 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画 出该函数的图象； 2 4 2 1 0x x m    0k  y/m x/m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 O 第 20 题图 第 7 页，共 8 页 第 8 页，共 8 页 （2）结合所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为____m； （3）所画图象对应的二次函数表达式是____________________； （4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高 1.6m 的石柱，使该喷水枪喷 出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m． （注：不考虑石柱粗细等其他因素） 25. 如图， AC 与⊙O 相切于点 C， AB 经过⊙O 上的点 D，BC 交⊙O 于点 E， DE∥OA，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 BD＝4，CE＝6，求 AC 的长． 26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（−3，𝑦1），B（𝑎 + 1，𝑦2）在抛物线 2 2 1y x ax   上. （1）当 2a 时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出𝑦1和𝑦2的大小关系； （2）抛物线经过点 C（𝑚，𝑦3）. ①当 4m 时，若𝑦1 = 𝑦3，则 a 的值为________； ②若对于任意的4 ≤ 𝑚 ≤ 6都满足 y1＞y3＞y2，求 a 的取值范围. 27．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上一动点（不与点 B，C 重合），连接 DE，点 C 关于直线 DE 的对称点为 Cʹ，连接 ACʹ并延长交直线 DE 于点 P，F 是 AC′中点，连接 DF． （1）直接写出∠FDP=_______°； （2）连接 BP，请用等式表示 AP，BP，DP 三条线段之间 的数量关系，并证明． （3）连接 AC，若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ACC′ 的面积最大值为_____________． 28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于⊙M 内的一点 P，若在⊙M 外存在点 P'，使得 MP'＝2MP，则称点 P 为⊙M 的二倍点． （1）当⊙O 的半径为 2 时， ①在 T1（1，0），T2（1，−1）， 3 3 3 2 2 T（- ，）三个点中，是⊙O 的二倍点的是 ； ②已知一次函数 y＝kx+2k 与 y 轴的交点是 A（0，a），若一次函数在第二象限的 图象上的所有点都是⊙O 的二倍点，则 a 的取值范围是__________________． （2）已知点 M（m，0）， 1 0, 2 B （ ）， 1 1, 2 C （ ），⊙M 的半径为 2，若线段 BC 上 存在点 P 为⊙M 的二倍点，则 m 的取值范围是_____________________． 图6 OE D CB A 第 25 题图 F P C' B C A D E 第 27 题图