黑龙江省绥化市肇东市第四中学2024-2025学年高三上学期知识竞赛数学试卷

肇东市第四中学 竞赛习题 出题人：李孟岩 第I卷（选择题） 1. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　） A. （﹣2，1] B. （﹣∞，﹣4] C. （﹣∞，1] D. [1，+∞） 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2 3. 设是内一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（ ） A. 53 B. 51 C. 15 D. 16 5. 若，，满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（　　） A. 120 B. 204 C 168 D. 216 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，为导函数．若存在直线同为函数与的切线，则直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、多选题（18分，3题，每题6分） 9. 若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与相交 10. 设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是周期函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 方程只有1个实数根 11. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交直线于上的点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. 到的渐近线的距离为 D. 内切圆圆心横坐标为 三、填空题（15分，3题，每题5分） 12. 下列说法正确的有______（填正确命题的序号） ①若函数在处导数不存在，则函数图像在处无切线． ②若为离散型随机变量，则所有的取值构成的集合可能是无限数集． ③在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数越大，两个变量的相关性越强． ④正态分布的密度曲线与轴所围成的区域的面积为1． 13. 圆心为且与直线相切的圆的方程是_________． 14. 对于实数和，定义运算“”： ，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________；的取值范围是__________． 四、解答题（77分，5题） 15. 已知数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 16. 如图，三棱柱中，，是的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 18.（15分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 表一： 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）请用相关系数说明该组数据中变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）； （2）求关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （3）基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关. 表二： 没有进步 有进步 合计 参与周六在校自主学习 35 130 165 未参与周六不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 （参考数据：的方差为的方差为230.8，） 附：， . 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ. （1）请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且. （2）在（1）的条件下，设曲线的左､右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 第2页，总2页 第3页，总3页 学科网（北京）股份有限公司 $$