第24章 专题集训1 一元二次方程的解法-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级全一册数学新导学课时练（冀教版）河北专版

C新导学课时练 数学·九年级·J刀 专题集训一一元二次方程的解法 解题指导 m)2=11,则c+m是 1.方程为x2=n或(mx十n)2=p(p≥0)型 5.解下列方程： 时，选用直接开平方法； (1)x2-3x-1=0(用公式法). 2.当二次项系数为1，且一次项系数为偶数 时，或常数特别大时，选用配方法； 3.如果化为一般形式，系数和常数都比较简 单时，易选用公式法； 4.方程能化成右边是0，左边能因式分解 时，选用因式分解法 (2)2x2+6x一1=0（用配方法）. 类型一直接开平方法 1.下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程 时做的4个小题，其中正确的有() ①x2=-5,解方程，得x=土√一5； ②(x-1)2=9,解方程，得x-1=3,x=4: 类型三因式分解法 ③(x+3)2=4x,解方程，得x十3=士√4x, 6.下列方程能用因式分解法解的有() x=一3士2√x; ①x2=x@x2-x+4=0:⑧x-x2-3= ④2(x+1)2=3,解方程，得x+1=士 F2 0;④(3x+2)2=16. A.1个B.2个C.3个D.4个 x=-1±/ 3 [2x=一1士. 7.若方程x2一17x十60=0的两根恰好是一个 A.1个 B.2个C.3个D.4个 直角三角形两条直角边的长，则这个直角三 2.对于方程x2=m-1. 角形的斜边长是 (1)若方程有两个不相等的实数根，则m 8.用因式分解法解下列方程： (1)2(x-1)2=x-1. (2)若方程有两个相等的实数根，则m (3)若方程无实数根，则m 类型二配方法与公式法 3配方结果为(x-》”-5的一元二次方程 (2)(3x-2)2=(4-x)2. 可以是() A.4x2-4x=19B.2x2-2x=19 C.x2-x=19 D.3x2-3x=19 4.一元二次方程x2-8x十c=0配方，得(x一 ●026 第二十四章一元二次方程 新导学课时练 类型四一元二次方程解法的综合 类型五一元二次方程的特殊解法 9.解下列方程：①3x2-27=0;②x2-3x-1 11.阅读下面材料，然后解答问题： =0:③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)2 解方程：(x2-6)2-(x2-6)-2=0. =3x一1.较简便的方法是() 分析：本题实际上是一元四次方程.若展开 A依次为直接开平方法，配方法，公式法， 按常规解答对于同学们来说还是有一定的 因式分解法 挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”， B.依次为因式分解法，公式法，配方法，直接 我们发现本方程是以x2一6为基本结构搭 开平方法 建的，所以我们可以把x2一6视为一个整 C.①用直接开平方法，②③用公式法，④用 体，设为另外一个未知数，可以把原方程降 因式分解法 次为一元二次方程来继续解答.我们把这 D.①用直接开平方法，②用公式法，③④用 种换元解方程的方法叫做换元法 因式分解法 解：设x2一6=m,则原方程变形为m2一 10.选择合适的方法解下列方程： m-2=0,(m-2)(m十1)=0， (1)x2+2x-9999=0. 解得m1=2,m2=-1, 所以x2-6=2或x2-6=-1, 解得x1=2√2，x2=-2√2，x3=√5，x4= -5. 请参考例题解法，解下列方程： (2)x2-5x+8=0. (1)x4-5x2+6=0. (2)x2+3x-√x2+3x-2=0. (3)2x2-6x-3=0. (4)(2x-3)2=5(2x-3). 27●.x=0,或x一3=0，.x1=0,xg=3. 11.5或√13 (2)原方程可变形为(x+1)2一6(x十1)=0， 12.3或一3 (x+1)(x+1-6)=0, 13.x2+nx-(n+1)=0x1=-n-1,z2=1 x+1=0,或x十1-6=0， 解析：由题意，得 x1=-1,x2=5. 第n个方程为x2十nx一(n十1)=0， (3)原方程可变形为(2x一1)一(3一x)2=0, .(x十n+1)(x-1)=0, (2x-1+3-x)(2x-1-3+x)=0, .x十n十1=0，或x-1=0, (x+2)(3x-4)=0, .x1=-n-1,xg=1. x十2=0，或3x一4■0， 14.解：(1)24 4 ∴x1=-2x=3 (2)①x2-3x-4=0,即(x-4)(x十1)=0， x-4=0,或x十1=0，.x1=4,x4=-1 变式1-1C ②x-7x+12=0,即(x-3)(x-4)=0, 变式1-20 .x一3=0或x一4=0， 典题2解：(1)原方程可化为 .x1=3,xg=4. x-10-号 专题集训一一元二次方程的解法 两边开平方，得工一1=士是 1.A2.(1)>1(2)=1(3)<13.A4.9 5 1 所以工1=2=一2 5解：1x,=3+图，3-区 ,x:= 2 2 (2)移项，得x2+4x=5. 配方，得x2十4x十4=5+4，即(x+2)2=9, (2)x1=二3+V 2 =3页 2 两边开平方，得x十2=士3 6.C 解得x1=1,x2=一5. 7.13 (3)原方程可化为3(x-5)2+2(x-5)=0,(x一5)(3x-13) 8.解：(1)移项，得2(x一1)2一（一1）=0， =0. 分解因式，得(x一1)(2x一2一1)=0， 得x-5=0或3x-13=0, x-1=0成2x-2-1=0, 13 x1=5,x4=3 所以x1=1江=2 3 变式2-1D (2)移项，得(3x-2)2一(4一x)2=0. 【阶梯训练·知能检测】 分解图式，得[(3x-2)-(4-x)][(3x-2)+(4-x)]=0, 1.D2.A3.C4.B 即(4x-6)(2x+2)=0, 5.(x+1)(x-2) 所以4x一6=0成2x十2=0. 6.57.1或-3 3 8.解：(1)第二步. 所以x=22:=-1 (2)正骑的解答过程如下： 9.D 移项，得(x十3)(x一3)-2(x一3》■0， 10.解：(1)x1=99,x2=-101. 将左边因式分解，得(x一3)(x十1)=0， (2)方程没有实数解 别x一3=0，或x十1=0， （31-3+压，x,-3压 解得x1=3,x=一1. 2 2 9.解：(1)a=1,b=-3,c=1. 3 (4)x=之x=4. b2-4ac=(-3)2-4X1×1=5>0, x=-（-3)± 2×1 ,即x1=3十5 11.解：(1)设x°=t,则原方程可变形为2一5t+6=0. 2x,=35 2 ∴(4-2)(1-3)=0. t=2减t=3 (2)直接开平方，得x一1=士3 当x2=2时，z1=√2，x2=一√2： .x1=1+5,x2=1-3. (3)图式分解，得(x一1)(x1+2)=0,即(x一1)(x十1)=0， 当x2=3时，x3=5,x:=一5. ∴.x1=1,x2=一1 ∴原方程的解为x1=瓦，x1=一√瓦，x1=3,x4=一√5. 10.C (2)设√+3.z=y(y≥0)，则x2+3x=y2. 215 原方程可化为y2一y一2=0. 即k的取值范围为k≤5. .(y-2)(y十1)=0. (2)①不存在，理由如下： y=2或y=-1(舍去) 矩形的面积为10， 当y=2时，√x+3x=2. .x1x2=k-1=10.解得k=11, 两边平方，得x2十3x=4. 而k≤5， .x2十3x-4=0..(x十4)(x-1)=0 ∴不存在实数k,使得矩形的面积为10 x1=一4，x2=1. ②存在. ,原方程的解为x1=一4，x2=1. 根据根与系数的关系，得工1十xg=4,x1工2=k一1， :矩形的对角线长为√0， 24.3一元二次方程根与系数的关条 即x+x=(√10)2， 【知识梳理·自主学习】 .(x1+x:)2-2x1x2=10, - 即42一2(k一1)=10.解得k=4,而k≤5，，存在k,使得矩 形的对角线长为√/10，k的值为4 【典题变式·突破新知】 典题1解：因为方程x一x一1=0的两实数根为a,b. 24.4一元二次方程的应用 所以a十b=1,ab=一1. (1)a2+b3=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3. 第1课时几何类问题 +--1 【知识梳理·自主学习】 变式1-1D 1.宽平方高 典题2D 【典题变式·突破新知】 变式2-1A 典题1解：设小路的宽度为xm,那么草坪的总长度和总宽度 变式2-2A 分别为(16-2x)m,(9-x)m. 【阶梯训练·知能检测】 根撼题意，得出方程(16一2x)(9一x)=112. 1.B2.D3.A4.B 解得x1=1,x1=16. 5.2+√5-1 16>9, 6.15 x=16不特合题意，舍去， 1m>号 .x=1. 答：小路的宽为1m 8.解：设方程的两根为x1x2, 变式1-1D 则有x1十x2=2(m十1)，x1·xg=m2-2, 典题21 且62-4ac=-[-2(m+1)]2-4(m2-2)=8m+12. 变式2-1C (1)2(m十1)=0，得m=-1. 【阶梯调练·知能检测】 (2)2(m+1)=3,得m=2 1 1.D2.A 【变式】20 (3)m3-2=1,得m=土√3， 3.B4.B5.5 ,当m=-√3时，b2-4ac=一8√3+12<0， 6.解：(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40一 .m=√5. x)cm,由题意，得 (40x1+x=8,即(x1十x)2-2x1·x1=8, (）}'+(0-8, ∴[2(m+1)]3-2(m2-2)=8, 解得x1=12,x1=28, 解得m1=0,mg=一4. x=12时，较长的为40-12=28(cm), 当m=一4时，b2一4a■一20<0，∴，m=0. 当x=28时，较长的为40-28=12cm<28cm(含去). (5)-2(m十1)=m-2, 答：李明应域把铁丝剪成长为12cm和28cm的两段. 解得m1=0,m2=一2. (2)李明的说法正确，理由如下： 当m=-2时，b2-4ac=-4<0,∴m=0. 设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40一m)cm, 9.B10.7 由题意，得 11.(1)4(2)1 12.解：(1)根撼题意，得（一4）2一4(k一1)≥0，解得k≤5， (受)'+(0）=48， 216