13.4轴对称专题之“将军饮马”模型课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

“将军饮马”模型 利用轴对称解决最短路径 1 为了解决生产、经营中省时省力省钱而希望寻求最佳方案产生了最短路径问题。 近几年来,最短路径问题是中考的热点,且经常用“将军饮马”中的对称思想解决一类最小值问题,其归属于动态几何问题,由于学生的建模能力不强,导致难以下手。 我也由形形色色的题目获得一些思考,将以“将军饮马”问题为载体进行变式设计,开展对“最短路径问题”的探究,在经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,发现其实质即利用轴对称、平移、构造全等相似等手段将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”的问题。 模型背景 模型思路 (三动型) P’ . 两点之间,线段最短 垂线段最短 1、一定一动型 (APmin) 2、两定一动型 (AP+BP)min 两顶点在异侧 两顶点在同侧 转化成异侧 化折为直 轴对称性 化折为直 3、两动一定型 如图,已知将军营地在P处,将军每天牵着马先到河边M地饮水,再到草地N地吃草,然后回到营地,试设计出最短的路线。 抽象 化折为直 类比 思考1:若只求PM+MN最小值是什么情况? 即求 PMN周长最小 思考2:我们能不能把P点也动起来呢? 化折为直 垂线段最短 不难发现, PMN的周长最小值即P’P’’的长度! 思考:P’P’’的长度跟哪些量有关? 思考2:能否考虑把P点也动起来的情况呢? 问:在一个 ABC中任取三点P,M,N,使得 PMN周长最小? 3、三动点 思考3:P点能不能在弧上动? 点P是弧BC上的动点 点M,N是线段AB,AC上的动点,∠A为定角。 求 PMN周长最小? 根据对称后化折为直 PMN周长最小即转化为P’P’’最小 类比,P’P’’最小即求AP最小。 圆外一点到圆上距离最小即“一箭穿心”问题。连结AO交弧BC即为所求P点 4、两定两动型 如图点P、Q是∠O内的两点,M,N分别在射线m,n上,要使四边形PABQ的周长最小。 变式、饮水散步 将军从军营A地出发,牵着马到河边P处饮水后,沿着河边散步100米到达Q处,再到军营B地,问:点P在什么位置才能使将军所走的路程最短? 架桥选址 甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A处和B处,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?请做出示意图。(注意:桥必须与河流两旁垂直,桥宽忽略不计) 应用讲解 应用1 如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60 ,AD=4,P是对角线AC上一动点,连结DP,求 AP+DP最小值 思路1:如何利用角度的特殊性将AP转化 思路2:转化后能否将“将军饮马”模型应用其中 “胡不归”模型 应用讲解 应用1 如图,在Rt OAB中,AO=6,BO=8,圆O的半径为4,P是圆O上一动点,连结AP,BP,求 BP+AP最小值 思路: 可证 OHP∽ OPB,相似比1:2, ∴HP= BP ∴BP+AP =HP+AP,相当于两定点H,P分别在圆内,圆外,P是圆弧上一动点,同直线异侧问题,两点之间线段最短。 “阿氏圆”模型 构造相似 连OP,取半径中点H 应用讲解 应用3 如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,连结BD,在BC,DB上各有一点E,F,且BE=DF,求AE+AF最小值 思路1.在BH上截BH=AD,则 ADF全等于 HBE 2.则AE+AF=AE+HE,套用将军饮马即可。 “逆等线”模型 教法 2 3 1 能将实际生活问题或一些几何问题中抽象剥离出“将军饮马”模型 掌握“将军饮马”的基本模型 能把“将军饮马”的基本模型应用到不同的问题情境中。 应用归纳 几点思考 1、关于几何基本模型的探究的必要性 2、题目的积累,题型的归纳,题后的反思 3、形形色色的解题技巧,花里胡哨的解题名称,有时并不需要成为学生心中的“珠峰”,回归解题的初衷! “条件联想——合理假设——结论倒推” 感谢您的聆听! 15 $$