天津市西青区杨柳青一中2024-2025学年高三上学期第四次阶段性测试数学试题

杨柳青一中2024-2025 学年度第一学期高三年级第四次阶段性测试 数学学科(2024.12) 一. 选择题: 本题共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的, 请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 已知全集 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. “数列 为等差数列” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 如图所示,5 个(x, y)数据,去掉 后,下列说法正确的是( ) A. 相关系数 变小 B. 决定系数 变小 C. 残差平方和变小 D. 解释变量 与预报变量 的相关性变弱 4. 函数 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 5. 已知 ,则 ) A. B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知 为空间两条不同的直线, 为两个不同的平面,下列命题中不正确的是( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 7. 已知 为双曲线 的左、右焦点,点 在 上,若 , 的面积为 ,则 的方程为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 的部分图象如图所示,关于该函数有下列四个说法: ① 的图象关于点 对称； ② 的图象关于直线 对称； ③ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到; ④ 若方程 在 上有且只有两个极值点,则 的最大值为 . 以上四个说法中,正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数 是定义域为 的偶函数,当 时, ,若关于 的方程 有且仅有 6 个不同的实数根,则实数 的取值范围是 ( ) A. c. D. 二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 请将正确的答案填写到答题卡上. 试题中包含 2 个空的, 答对 1 个空的得 3 分, 全部答对的得 5 分. 10. 已知 是虚数单位,复数 为 的共轭复数,则 的虚部为_____. 11. 的展开式中,二项式系数最大的项的系数是_____. (用数字作答) 12. 已知 在 处的切线与圆 相切,则 _____. 13. 已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的 4 个红球, 3 个白球和 2 个黑球. 若不放回地摸球, 每次摸 1 个球,摸取 4 次,则恰有 3 次摸到红球的概率为_____；若有放回地摸球,每次摸 1 个球,摸取 3 次,则摸到红球的次数 的期望为_____. 14. 所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体. 在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面, 其余各面叫作拟柱体的侧面, 两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高. 现有一拟柱体, 上下底面均为正六边形, 且下底面边长为 4 , 上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点, 高为 2,则该拟柱体的体积为_____. 15. 已知平面向量 满足 ,且 . 记 的夹角为 ,则 的最小值为_____； 的最小值为_____. 三. 解答题: 本大题共 5 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 14 分) 在 中,角 所对的边分别为 . 已知 . (1) 求角 ; ( 2 )若 ,求 的值； (3)若 的面积为 ,求 的周长. 17. (本小题满分 15 分) 如图所示的几何体中,四边形 为矩形, 平面 , ,点 为棱 的中点. ( 1 )求证: 平面 ； ( 2 )求平面 与平面 的夹角的余弦值； (3) 求点 到平面 的距离. 18.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 的左顶点为 ,离心率为 ,过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于点 与 轴交于点 . (1)求椭圆的方程: (2) 设点 为 的中点. 若 轴上存在点 ,对于任意的 ,都有 ( 为原点). (i) 求出点 的坐标；(ii)若 ,求 的值. 19. (本小题满分 15 分) 设数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2) 求 ; (3)若 ,抽去数列 中的第 1 项,第 4 项,第 7 项,……,第 3 n-2 项,……余下的项顺序不变,组成一个新数列 ,若 的前 项和为 ,求证: 当 为奇数时, . 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 . (1)当 时,求函数 在点 处的切线方程: (2)若函数 的最大值为 1,求 的值: (3)在 (2) 的条件下证明 . 2024-2025 学年第一学期高三年级第四次阶段性测试 数学学科答案 一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.D 二、填空题 10.-5; 12.24; 13. 14. 15. 三、解答题 16. 在 中,角 所对的边分别为 . 已知 . (1) 求角 ; ( 2 )若 ,求 的值； (3)若 的积为 ,求 的周长. 【详解】( 1 )由正弦定理得, ,即 ; (2) , ; (3)由余弦定理得 ,由面积公式得, 则 的周长为 17. 如图所示的几何体中,四边形 为矩形, 平面 , ,点 为棱 的中点. ( 1 )求证: 平面 ； (2) 求平面 与平面 的夹角的余弦值; (3) 求点 到平面 的距离. 【详解】(1) 连接 ,交 于点 ,由 分别为 和 的中点,得 , 而 平面 平面 ,所以 平面 . (2)由直线 平面 平面 ,得 由矩形 ,得 ,以 为原点,直线 分别为 轴,建立空间直角坐标系, 则 , 设平面 的法向量 ,则 ,令 , 得 , 设平面 的法向量为 ,则 , 令 ,得 , 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . (3)由(2)知,平面 的法向量 ,而 , 所以点 到平面 的距离 . 18. 已知椭圆 的左顶点为 ,离心率为 ,过点 且斜率为 的 直线 与椭圆交于点 与 轴交于点 . (1)求椭圆的方程；(2)设点 为 的中点. 若 轴上存在点 ,对于任意的 ,都有 ( 为原点). (i) 求出点 的坐标; (ii) 若 ,求 的值. 【详解】(I)由已知得 又 椭圆方程为: , (II) (i) 假设 轴上存在着点 使得 , 设 所在的直线方程为: ,点 由 解得 , , , , 解得 轴上存在着点 使得 成立, (ii) 19. 设数列 的前 项和为 (1) 求 的通项公式; (2) 求 ; (3) 若 ,抽去数列 中的第 1 项,第 4 项,第 7 项, 不变,组成一个新数列 ,若 的前 项和为 ,求证: 当 为奇数时, . 【详解】(1) 由 ,得 , ,两式相减得 , 当 时,代入上式,求得 , 所以 . (2)由(1)知, , 则 则 , (3)由题知, , 所以数列 为 , 它的奇数项组成以 4 为首项, 公比为 8 的等比数列; 偶数项组成以 8 为首项, 公比为 8 的等比数列; 当 为奇数,即 时, , . 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 . (1)当 时,求函数 在点 处的切线方程; (2)若函数 的最大值为 1,求 的值; (3)在(2)的条件下证明 【解析】( I ) 由题意 , ,切线方程为 ; (II) , 故当 时, ,当 时, , 所以函数 在 上单调递增,函数 上单调递减; 所以 在 处取到最大值,即 ,所以 . (III) 解法一: 欲证 ,即证明 , 令 , 则 , 所以函数 为增函数,又 , 所以存在 ,所以 , 由 得, ,设 ,则 , 所以 为增函数,所以 , 所以 , 即 ,即 . 解法二: 欲证 ,即证明 , 设 , ,因 为增函数, 得 在区间 上存在唯一零点 ,此时 在 时,有最小值 ,因 为减函数, 得 在区间 上存在唯一零点 , 此时 ,所以 ,即 , 在 时,有最大值 , 所以 ,即 . ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$