河南省南阳地区2024-2025学年高二上学期12月阶段检测数学试题

南阳地区2024年秋季高二年级12月阶段检测考试卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第四章。 园 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 的 题目要求的 1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1,1,一4)，点B(1,一1,4)，则点A和点B关于 的 A.x轴对称 B.平面yOz对称 哉 C.y轴对称 D.平面xOz对称 长 2.在长方体ABCD-A1B,C,D1中，AD+DB,-CB,= A.A方 B.AB C.AC D.DC 3.已知空间向量a=(1,2.2).b=(入，一1,3)，且b在a上的投影向量为3a,则入的值为 A.-13 B.23 C.5 D.27 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=(1.0,1),PD=(0,1,0),则异面直 东 线PC与AB所成角的余弦值为 A停 B号 游 5.如图，已知点P在棱长为4的正方体OBCD-O1B,C1D1的表面上运动，以O为原点，OB, OD,(OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若点P(x,y, z)满足x2+y2+(z-4)2=9,则点P的轨迹长为 A.3元 B.6x c豐 D 这 6.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),P(3,2,1),则三棱锥P-ABC的体积是 A.2 B号 C53 D.53 6 【高二数学第1页（共4页）】 ·25-207B· 7,如图，椭圆+X1a>b>0)的左、右焦点分别为F,P2,以线段 F:F:为边作等边三角形HF,F2,△HF,F2的两边HF,HF2分别 交该椭圆于A,B两点.若BF,=员H,,则该椭圆的离心率为 c n号 8.已知点M(4,11),直线l1:x+my-3m+4=0与直线l2:mx-y一2m-5=0交于点P,则 |PM的取值范围是 A.[10.18] B.[13,18] C.[8,18] D.[8,13] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线1经过点A(1,1,1),B(2,3,0),则下列命题是真命题的是 A.n=(一1，一2,1)是直线l的一个方向向量 B.若平面a的一个法向量是m=(2,1,4),则la C.若平面β的一个法向量是v=(-1,1,1),且l⊥a,则a⊥3 D.若0为坐标原点，且OC+2Od=(4,5,2),则A,B,C,D四点共面 10已知双曲线C若-号=1的左，右顶点分别为A,A,H(m,a)(m>4,>0)是双曲 线C上的点，直线HA1,HA2的倾斜角分别为0,2，则 A.双曲线C的实轴长为16 9 B当an0=16时，=牙 C.4tan01+tan02的最小值为3 D.当4tan0,十tan02取最小值时，△HA:A2的面积为16 1.在正三棱台ABC-A,B,C,中，∠A1AB=号，A市=xA店+yA花+zAA,AB=2,AA,=1, 其中x,y∈[0，十∞)，z∈[0,1]，则下列结论正确的有 A.当x十y十z=1时，点P在平面A,BC内 B当点P为△A,B,C的重心时，+y十：=号 C当2x+2y+:=1时，AP的最小值为写 D.当A户=A店+A,C+(-1一k)A,C时，x+y十z的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知空间向量a=(-4y,1),b=(1,2,x).若(a-2b)八a+b),则义=▲ 2 【高二数学第2页（共4页）】 ·25-207B· 13.已知点T(6,0).不关于r轴对称的M,N两点在抛物线y2=4x上，H为线段MN的中点， 且TH⊥MN,则点H的横坐标为▲ 11.在四悛柱A1BCD-A,B,CD,中.AM,⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB=AD=2AA,=2,AE =λA5,A,F=A,D,其中入∈[0，门红∈[0,1].若EF与底面ABCD所成角的正弦值为 后则r的最大值是一▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，设圆柱()，的一个轴截面为矩形ABCD,M是BC上靠近点B的三等分点，N是 AD上靠近点D的三等分点，且点M,N位于轴截面ABCD的两侧，BC=4.设BM=a, AN-b.BA=c. (1)用a,b,c表示BC,MN; (2)求MN·BC. 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AC=√2AA,=2,AB⊥AC,D为线段BC的 中点 (1)证明：C,D⊥平面AB,D. (2)求平面AB,D与平面AB,C,夹角的大小 17.(15分) 已知圆M:.x2+y2一a.x-2ay一40=0的圆心在直线x-y+1=0上，直线1：y=x+6. (1)求a的值： (2)求圆M关于直线1对称的圆M'的标准方程： (3)过(2)中的点M'作圆M的切线，求直线的一一般式方程， 【高二数学第3页（共4页）】 ·25-207B· 18.(17分) 设边长均为1的两个正方形ABCD,ABEF所在的平面互相垂直，点M,N分别在线段AC 和BF上（不含端点），且MN平面ADF, 1)证明：AM=FV. (2)当MV的长最小时，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值. 19.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)绕原点O逆时针旋转a角，利用公式 工=csa一ysin a可得到点P'(xy)(到原点的距离不变).现将双曲线y=1绕原 y'=xsin a+ycos a 將 点0逆时针旋转（到原点的距离不变）得到双曲线C。 立 (1)求双曲线C的方程， 洲 (2)若点K在直线x=1上，过点K作斜率为写的直线1，与双曲线C交于A,B两点，且K 为线段AB的中点，求点K的纵坐标 搬 (3)过双曲线C的右焦点作斜率不为0的直线m,与双曲线C的两支交于M,N两点.试问 是香存在定直线=，与x轴交于点E,与直线m交于点F,使得-恒成 哦 立？若存在，求出该定直线：若不存在，请说明理由. 陨 【高二数学第4页（共4页）】 ·25-207B· 南阳地区2024年秋季高二年级12月阶段检测考试卷 数学参考答案 1.A易得点A和点B关于x轴对称. 2.C AD+DB,-CB=AB,+B C=AC=A,Ci. 8B根据意可得石治-牛8解得=2双 4.D易得DC=AB=(1,0,1),所以P心=Pi+DC=(1,1,1).设异面直线PC与AB所成的 角为0，则cos0=os(P心，A1=1P心.A 1+1 6 IPCIIABI 1+1+TX/1I 3 5.C由x2+y2+(x一4)2=9可知，点P在以O,为球心，3为半径的球上.因为点P在正方 体OBCD-O,B,C,D,的表面上，所以点P的轨迹长为3个半径为3的四分之一的圆，所以 轨迹长为3×2πX3_9x 2 6.B易得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),BC=(0,-1,1),AP=(2,2,1),则1AB1= AC=BC=厄，所以△ABC的面积S-气×(E)P-设平面ABC的法向量为n= m·AB=-x+y=0. (红y2.则n·心=-z十=0 取n=(1,1,1),所以点P到平面ABC的距离d= A·nl= n 后则三楼鞋PABC的休积号×号×音-各 7.D连接F,B,则1BF,=音HF=号×2c=c,得1BP,1= V4c2+ 5 5 16 c=2a,得3c= 2,故该椭圆的离心率为后=导 8.C由题意可知，直线1与I2互相垂直，且直线1经过定点A(一4,3)，直线2经过定点 B(2,-5),所以PA.PB=0.设P(xy),则(-4-x)(2-x)+(3-y)(-5-y)=0,即(x 十1)2+(y+1)2=25,则点P在以点（一1，一1）为圆心，5为半径的圆（挖去（一4，一5）与(2， 3)两个点)上，所以1PM1的最大值为√(4+1)+(11+1)+5=13+5=18，最小值为 √(4+1)+(11+1)7-5=13-5=8. 9.ACD因为AB=(1,2,-1)=-n,所以A正确.因为AB·m=1×2+2×1-1×4=0,所 以AB⊥m,则1/a或1Ca,B错误.因为AB·v=1×(-1)+2X1-1×1=0,所以AB⊥， 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 ·25-207B· 又1⊥a,所以a⊥3，C正确.若0为坐标原点，则OA=(1,1,1),O店=(2,3,0)，因为2OA+ OB=(4,5,2)=O元+20币.所以O元=20A+O-20D,则A,B,C,D四点共面，D正确。 10.BCD易得双曲线C的实轴长为2a=2X4=8,A错误由%-号=1.得r=品(m 因为A,(仁4,0，A,(4,0,所以an0an0,=kmkm,=m十·m”= 号当m0,=是时，tan0=1.0,=子，B正确因为an0,>0,tm0,>0,所以4am0十 am0:≥2√4am0,am0店=3.当且仅当an=tan,即知产即m=9n 4时，等号成立，此时△HA,A:的面积为号×8×4=16，C,D正确。 11.ACD当x十y+z=1时，易得点P在平面A,BC内，A正确.当点P为△AB,C,的重心 时.A户=号×A,B+A,C)=名+C,所以A=Am+A,-名A+Ad +AA,因为A户=xA+AC+A,所以x=y=石2=1，所以x十y十=3B错误. Ap:=AB:+yAC:+AA+2xyAB.AC+2xsAB.AA:+2ysAC.AA=4x*+ 4y2+x2+4xy+2xz+2y=(2x+2y+z)2-2(2xy+xz+yx)=1-2(2xy+xz+yz),由 2x+2y+x=1,=1-2(x+y),2ry+xz+yz=2ry+(x+y)z=2xy+(x+y)[1 -2x+y]=2y+x+y)-2x+yy≤+2++）-2a+y)P=- 3 2 (x+y) +(+)=-(+y-)广+日<合，当且仅当x+y=时，等号成立所以A=1- 22y十+1-2X言-号所以≥号，所以AP的最小值为号C正确当 A,户=A,B+kA,C+(1-1-k)A,C时，点P在平面BB,C,C内，则存在唯一实数对(a, ,使得B萨=BB+BC=BB+u(AC-A),则A市=A店+B成=(1-之-)A店+ 花+A.因为A市=xA+yAC+A,所以x=1-含-y==A,所以x+y 十=1-含a+a+A=1+2.因为A=:[01门，所以1+2A∈[1,2]，所以x+y+: 的最大值为，D正确 12.32根据题意可得a一2b=(-6,y一4,1一2：)，a+b=(一3，y+2,1+2),则 y-4=2(y+2), y=-8, 解得 1故之=32 1-2x=2(1+), =一4 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·25-207B· x= 2 13.4设M(x1,y1),N(x2,y:),H(xo,y%),则 由 i=4红'得二半 y=十y yi=4x2.I-x: 2 4 、=名.因为TH1MN,所以-当=2=-二6 yi+y:yo x-x:yo ,解得xo=4. yo 2-(或32) 以A为坐标原点，AB,AD,AA,所在直线 分别为xy,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0),B A,(0.0.1).B(2,0,1),D(0,2,0),所以AM,=(0,0,1),B1A= (-2,0,-1),A1D=(0,2,-1),EA=xB1A=(-2,0,-A), AF=uA,D=(0,2μ，-)，则E京=Ei+AA+A,F=(-2a,2,-入-u+1.易得 AA=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. los(E亦，AA1=E萨.AA 1-λ-+1 5 E1AA,√+4+(-λ-u+1) ，即2+1=2A+2μ. 因为λ∈[0,1]，4∈[0,1]，所以2+1=2λ+2≥2√44，当且仅当入=：时，等号成立.令 1=m则2-4+10，解得0<<1-号或≥1+号（舍去）.则0<≤号-反，故 的最大值为号-反. 15.解：(1)连接MC,由题意易得MC∥AN,且MC=AN.… …1分 BC-BM+M心-BM+AN=a+b,… 3分 MN=Mi+BA+A=-a十b十c.…6分 (2)因为BMLM心，所以BM⊥AN,则a·b=0.…7分 因为M是BC上靠近点B的三等分点，N是AD上靠近点D的三等 分点， 所以∠MBC=号，∠MCB=吾，所以Bi=2,AN1=25, …9分 所以MN.BC=(-a+b+c),(a+b)=-a2-a·b+a·b+b+a·c+b·c=-4+ 12=8. …13分 16.(1)证明：根据题意易得BC=B,C,=2√2，则AD=CD=BD=√2，AC,=√6，B,D=C1D =√/2十2=2，…1分 得AD2十C,D=AC,B1D2十C1D2=B1C阴，…3分 所以AD⊥C!D,B1D⊥C1D。…5分 因为AD∩B,D=D,ADC平面AB,D,B,DC平面AB,D,所以C1D⊥平面AB:D. …6分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·25-207B· (2)解：如图，以A为原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、 y轴、之轴建立空间直角坐标系。…7分 A(0,0,0),B,(2,0,2),C1(0,2,N2),D(1,1.0),AB=(2,0, 2),AC=(0,2,2).…8分 由(1)易得平面AB,D的一个法向量为CD=(1,-1,一2). …9分 n·AB,=2x+2z=0, 设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,x),则 …11分 m.ACi-2y+/+=0. 取之=一√2，则x=1,y=1,即n=(1,1,一2).…12分 cosn,CD)=n·Cd 1-1+2 1 nllC,D1√+1+2×√/1+1+22' …14分 所以平面AB,D与平面AB,C的夹角为受 …15分 17.解：(1)根据题意可得圆M的圆心坐标为号a), …1分 则号-a+1=0,解得a=2. …3分 (2)由(1)得圆M:(x一1)2十(y-2)2=45,M(1,2).…4分 1=-1 设M(1,n),由对称关系可知 …6分 n+2-1+6. 2 2 1=-4, 解得n=7, 所以M(一4,7)，…8分 因为对称圆的半径不变，所以M的标准方程为(x十4)2十(y一7)2=45.…9分 (3)根据题意可得直线m的斜率存在，则可设直线m的方程为y一7=k(x十4)， 即kx-y十4k+7=0. …10分 由6-2+4+7=35， …11分 V+1 解得k=2或之 …13分 故直线m的一般式方程为2x一y十15=0或x一2y十18=0.…15分 18.(1)证明：在边AD,AF上分别取点P,Q,连接PQ,MP,NQ,使得MP∥AB,NQ∥AB,则 MP/NQ,所以M,P,Q,N四点共面。…1分 因为MN/∥平面ADF,MNC平面MPQN,平面MPQN∩平面ADF=PQ,所以MN∥ PQ,…3分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·25-207B· 则四边形MPQN为平行四边形，所以MP=NQ.…4分 因为AB=CD,所以光-部-器-器 …6分 又因为AC=FB,所以AM=FN.…7分 (2)解：依题意得AD⊥AB,AF⊥AB,则∠DAF是二面角D-AB-F的 平面角，因为平面ABCD⊥平面ABEF,所以∠DAF=受，即AD⊥AF. 以AF,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴、：轴建立如图所示的空间直 角坐标系.…8分 设M0aa)0<a<).则N1-aa,0.P=1-a)r+a2=2e-号)广+号， 10分 当a=时.M取最小值此时M(0,号，)，则N(分7o) ，…11分 因为A00,0),B0,1.0,所以Ai=(0,号2)，A=(分70），A=(0,1.0.… …12分 n…A=2y+2=0, 设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),则 取n=(1,一1,1)，… =+y= 14分 所以cosA店m=A店.n=二1一 3 16分 ABIIn 3 、故直线AB与平面AMN所成角的正弦值为令。】 …17分 19.解：(1)设曲线y-1上任意一点(x,)绕原点0逆时针旋转乎后的坐标为('，)， r'=xcos 3_ 3元 4-ysin 4 则 00000004080000000000000000e08004e0000000404000000008000000t000000000000000。 1分 3π y=xsin经十ycos x'② -x-y), 即 …3分 y'= 2x-y. 得)-6=2=2则号-学=1.放所球双自线C的方程号-苦1一 2 …4分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·25-207B· (2)设A(x1y1),B(x2y:) =1 22 根据题意可得 …5分 两式作差，可得(x1一x2)(x1十x)=(y1一y:)(y1十yz),…6分 因为-官+=8， …7分 所以2=，十，得兰=3，经检验，此时直线1与双曲线C有两个交点，故点K的 2 纵坐标为3. …9分 (3)根据题意易得直线m的斜率存在，且不为0.设直线m的方程为x=ty十2，其中t<一1 或1>1因为别-别恒成立所以EF为∠MEN的角平分线，…10分 设M(xya),N(x1y,),假设存在E(xo,0). (x=ty+2, 得(12-1)y2十41y十2=0，…11分 4t 2 -1≠0y十y=-1yy= 12分 因为kaw十k=0,所以”，十兰=0，即yy,+2-x)+y,(y十2-x0)=0, 2+2-0,+)=0.即21·号+2-(-）=0，…14分 因为1≠0，整理可得xo=1,即E(1,0),…16分 所以存在定直线三，使得兴=恒成立。……………7 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 ·25-207B·