重难点突破02 圆综合中的动点与最值问题(方法分析+5题型+反馈练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

第24章 重难点突破专题02 圆综合中的动点与最值问题 学习目标 ①会根据旋转（轴对称）变换中动点运动情况分析条件，解决定值或存在性问题； ②会求圆外（内）一点到圆上的点的距离的最大值和最小值； ③会根据圆的定义作辅助圆，再转化为求圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题； ④会根据圆的对称性，转化问题，利用三点共线、垂线段最短等求最值问题。 方法01 圆外（内）一点到圆上的点的距离最值 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明：解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 方法02 根据垂径定理构造直角三角形 ·根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法：连接圆心与弦的端点，构造直角三角形 案例：①→ ②→ ·“将军饮马”（胡不归）最值模型：根据轴对称的性质，作关于动点所在直线的对称点，转化距离 【题型一：根据圆的性质分析动点的存在性或定值问题】 例1.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为 ． （2）当点P在上运动时（保持不变），则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、完全平方式在几何图形中的应用、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，完全平方公式等知识点，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题． （1）作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． （2）由，得到，因此，得到，即可解决问题． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． （2）由（1）知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式1.（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“幸运角”，如图， (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，的“幸运角”为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】（1）根据定义，证明即可． （2）连接，，证明，利用勾股定理求的长即可． 【详解】（1） 解：∵是直径，， ∴平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的“幸运角”． （2） 如图，连接，， ∵的“幸运角”为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了新定义，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 例2.（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． (1)求a、b满足的关系式及c的值； (2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，点Q坐标为或． 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、图形问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式； （2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为，根据（1）可推出，则，再根据题意即可证为等腰直角三角形，得出，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出a即可求出P点坐标； ②以AB为斜边的直角三角形，即点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以以线段AB的中点E为圆心，AE为半径作交PD于点，，由得，即得出，从而可求出和的长，由此即得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵对于一次函数，当x=0时，；y=0时，x=2， ∴点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)． 则在二次函数中， 将，代入中得： ， 即； （2）当时，，则二次函数表达式为． ①设点P横坐标为a，则点P坐标为 由（1）可知，在中，， ∴． 根据作图可知， ∴在中，，即 ∵点E为DP中点， ∴ ∴ 解得，（舍去）． 即点P坐标为，即为． ②是以为斜边的直角三角形，则以线段的中点为圆心，为半径作交于点，，如图： ∵点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)． ∴， 线段AB的中点E坐标为，在直线PD上， ∴， ∴， ∴ ∴点坐标为； ∴， ∴ ∴点坐标为． 综上可知，若是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为或． 【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型二：图形变换与动点轨迹问题】 ·旋转变换 例3.（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，和的顶点重合，． (1)如图①，当点分别在上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______； (2)探究证明：如图②，将图①中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，并求出线段的长度；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，垂直 (2)结论成立．理由见解析， 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）解直角三角形求出，可得结论； （2）结论不变，证明，推出，可得结论；设，则，，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， 与的延长线交于点，． ∴， 故答案为：，垂直； （2）解：结论成立． 证明如下：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 设，则， ， ， 又， 在中，， ， 整理得：， 解得：（舍去），． 即， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活运用这些知识． 例4.（2023·天津红桥·三模）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解； （2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解； （3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为．    ∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∵，轴 ∴． ∴． ∴点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴，垂足为．    由旋转得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． （3） 解：取线段的中点N，连接、，则    ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键． 例5.（2024·安徽合肥·一模）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，在中，，，点D是边上一点，，过点D作交于点E，将绕点A逆时针方向旋转． (1)将旋转至如图2的位置时，连接、．求证：； (2)若将旋转至B、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【分析】（1）在图2中证明即可； （2）分两种情况讨论：取的中点，连接，，过作于，如图，证明，，求解，，如图，当在的下方时，过作于，如图，同理可得：，，再利用线段的和差可得答案． 【详解】（1）证明：∵在图1中，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴在图2中， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵共线，， ∴，而， ∴， 取的中点，连接，，过作于，如图， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 如图，当在的下方时，过作于，如图， 同理可得：在以为圆心，为半径的圆上， ∴，， 同理可得：，， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． ·轴对称变换 例6．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）先利用对称的性质得到，则可判断四边形为矩形，再根据圆周角定理，由为直径得到，则，由于点与点关于对称，则于，如图，设，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，接着利用正方形的性质得，则，所以，解得，于是得到； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，先证明，得到，同时有，，设，则，，所以，在中，可表示出，，然后根据30度的直角三角形得，即，解方程求出即可得到的长． 【详解】解：（1）∵点与点关于对称，点与点关于点对称， ∴，， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵为直径， ∴， 在中， ∵， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴于，如图， 设， 在中， ∵，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而， ∴，解得， ∴； 故答案为：； （2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则， ∵四边形为矩形， ∴，， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，则， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【题型三：根据圆的性质转化为垂线段最短解最值问题】 例7.（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为 ． （2）当点M在上移动时，的最小值为 ． 【答案】 4 【知识点】坐标与图形、求一点到圆上点距离的最值、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意作图，可证，可得，由此即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接，，可得为等腰三角形，可得点在直线上运动，当时，的值最小，作轴，由（1）的证明方法可得，设，可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，可得是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， （1）当是的中点，如图所示， ， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：4； （2）， ， ， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， ，即是等腰三角形， 点在上运动时，始终是等腰三角形， 点在直线上运动， 当时，的值最小， 如图所示，过点作轴于点， 在和中， ， ∴， ，， 设，则， ，点，且， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为：， 设直线与轴交于点，当时，， ， ， ， ， ，且， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，轴对称等知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质及运用是解题的关键． 【题型四：根据圆的性质转化为三点共线解最值问题】 例8．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求抛物线与x轴的交点坐标、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】连接，为的中位线，则要使最大，即要使最大，根据圆的性质得，当、、三点共线时，最大，求出此时的值即可求解． 【详解】解：如图，连接，    依题得，为中点， 为中点， 为的中位线， 即， 当最大时，则最大， 由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大， ， ，，， ， 又圆半径为， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、二次函数的图像与性质、圆的性质、勾股定理，解题关键是合理添加辅助线，善用“中点”解题． 变式8．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，正方形与正方形有公共顶点C，连接、、，，． （1）线段 ． （2）若点E是平面内一动点，的最小值等于 ． 【答案】 / 【知识点】圆的基本概念辨析、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的概念，正方形的性质等知识，证明，可求出，则判断出点G在以A为圆心，为半径的圆上运动，当A、G、B三点共线，且G在上时，最小，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在以A为圆心，为半径的圆上运动， 当A、G、B三点共线，且G在上时，最小，最小值． 故答案为：，． 例9．（2024·安徽池州·二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由P为两条角平分线的交点，得出P为的内心，进而可证出，过作，连，，作交于点H，利用圆周角定理和垂径定理可得的值，然后可得A点到的距离最大值是6，进而即可得解． 【详解】∵P为两条角平分线的交点， ∴P为的内心， ∴， 如图，过点作交点M， ∴在中，， ∴， 如图，过作，连，，作交于点H， ∵所对的圆周角为，圆心角为， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴是个定值， 又∵， ∴当三点共线时，A点到的距离最大值是6， ∴的最大值是6， ∴， ∴，即的最大值为2， 故选：B． 【点晴】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内切圆，外接圆，三角函数等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【题型五：借助辅助圆转化为三角形的三边关系解最值问题】 例10．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是 ； （2）若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 1或 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、含30度角的直角三角形、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）找到点的运动轨迹，用三角形三边关系确定的最小值即可； （2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题． 【详解】解：（1）由题意可得，， 在以为圆心为半径的圆上，如图一所示： 在点运动过程中，在中，由三边关系得， ， 在变化过程中，和保持不变， 故的最小值为，即如图二所示： 在中，，， ，， ， 在中，，， ， 故的最小值为． （2）为直角三角形，分两种情况： ①， 在中，，， ， 设，， 在中，，，， ， 解得， 即． ②，过点作交的延长线与点，如图四所示： 由折叠的性质可知，， ， ， ， 设， 在中，，， 在和中 ， 在中，，，， ， 解得：． 综上，的长是1或． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题． 变式10．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 1.（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，以的边、为直角边，为直角顶点，作和，且，连接和交于点． (1)求证：； (2)若点在平面内运动，，，求的最小值和最大值； (3)连接，若，，求值． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，最大值为 (3) 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，点与圆的位置关系； （1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，即，进而根据，可得； （2）根据得出，当取得最值时，取得最值，根据题意可得在以为圆心为半径的圆上运动，当在的延长线上时，最大，当在线段上时，最小，进而求得的最值，即可求解； （3）根据相似三角形的性质以及已知条件得出，进而根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵和，且， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， （2）解：由（1）可得 ∴，即， ∴当取得最值时，取得最值， ∵点在平面内运动，，则在以为圆心，为半径的圆上运动，则在以为圆心为半径的圆上运动， ∴当在的延长线上时，最大，当在线段上时，最小， ∵，，， ∴，， ∴最大为，的最小值为 ∴的最小值为，最大值为 （3）解：∵ ∴, ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， 在和， ∴ 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接相交于点F，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等： （1）先证明，再由，即可证明； （2）证明，得到四点共圆，则，设，则，进而得到，，则，即可证明； （3）先证明，求出，则，利用勾股定理得到，解直角三角形得到，再解得到，则，即可求出；设，则，证明，求出，则，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）∴， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）； ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴． 3．（2024·安徽滁州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（       ） A．当时， B．当时， C．的最小值为 D．当时， 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析 【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断C；先求得，，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断D． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图，过点D作交于点M， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，垂直， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴点H在以为直径的圆上， 当最短时，点F为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为，故C错误，符合题意； 当时，， ∴，，， 过点B作交的延长线于点N，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，的对角线交于点O，E是边上的动点，连接交于点F．若，则下列结论中错误的是（　　）    A．的最小值是 B．总小于 C．当点E是的中点时，的面积是 D．周长的最小值是 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、解直角三角形的相关计算 【分析】由题可证是直角三角形，．A．当时，取最小值，可得的最小值是3；B．如图1，过点作交于，连接，易知．以为直径画交于点，当与或重合时，，当点在线段上(不含端点)，大于．C．得出的面积为，当是的中点时，的面积为，则，可得的面积是为．D、如图2，作关于的对称点，连接，交于，此时的周长取最小值，，则，推出，此时的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 过点D作交于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， A．当时，取最小值，可得的最小值，该选项正确； B．如图1，过点作交于， 连接，则， ， ， ， ． 以为直径画交于点，    当与或重合时，， 当点在线段上(不含端点)，大于，故该选项错误； C．的面积为， 当是的中点时， 则的面积， ， ， ， 可得的面积是为，故该选项正确； D．如图2，作关于的对称点，    连接，交于，则， ∴， 当三点共线时，此时的周长取最小值， 则， ， ， 此时的周长，故该选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积．平行四边形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5.（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ． 【答案】 /45度 / 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】通过证明点A，F，C，E四点共圆，可得，可求的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求，，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴点A，F，C，E四点共圆， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 过点F作，交的延长线于N，交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交边于点． (1)求的度数； (2)如图，连接与交于点，与交于点，设与交于点． ①若，求证：； ②如图，若正方形的边长为，点是的中点，试求的长． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②． 【知识点】根据正方形的性质求角度、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、圆周角定理 【分析】（）由正方形的性质可得，，又由可得，进而可得四点在以为直径的圆上，再根据圆周角定理即可求解； （）①证明，得到，进而由即可求证；② 如图，过点作，垂足为点，可得，设，则，，可得，再证明可得，即得，又由直角三角形的性质可得，最后证明得到，即得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四点在以为直径的圆上， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：如图，过点作，垂足为点， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去）， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 重难点突破专题02 圆综合中的动点与最值问题 学习目标 ①会根据旋转（轴对称）变换中动点运动情况分析条件，解决定值或存在性问题； ②会求圆外（内）一点到圆上的点的距离的最大值和最小值； ③会根据圆的定义作辅助圆，再转化为求圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题； ④会根据圆的对称性，转化问题，利用三点共线、垂线段最短等求最值问题。 方法01 圆外（内）一点到圆上的点的距离最值 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO。 说明：解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 方法02 根据垂径定理构造直角三角形 ·根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法：连接圆心与弦的端点，构造直角三角形 案例：①→ ②→ ·“将军饮马”（胡不归）最值模型：根据轴对称的性质，作关于动点所在直线的对称点，转化距离 【题型一：根据圆的性质分析动点的存在性或定值问题】 例1.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为 ． （2）当点P在上运动时（保持不变），则 ． 变式1.（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“幸运角”，如图， (1)如图2，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．求证：是的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，的“幸运角”为，求的长． 例2.（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． (1)求a、b满足的关系式及c的值； (2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二：图形变换与动点轨迹问题】 ·旋转变换 例3.（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，和的顶点重合，． (1)如图①，当点分别在上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______； (2)探究证明：如图②，将图①中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，并求出线段的长度；若不成立，请说明理由． 例4.（2023·天津红桥·三模）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 例5.（2024·安徽合肥·一模）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，在中，，，点D是边上一点，，过点D作交于点E，将绕点A逆时针方向旋转． (1)将旋转至如图2的位置时，连接、．求证：； (2)若将旋转至B、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． ·轴对称变换 例6．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 【题型三：根据圆的性质转化为垂线段最短解最值问题】 例7.（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为 ． （2）当点M在上移动时，的最小值为 ． 【题型四：根据圆的性质转化为三点共线解最值问题】 例8．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 变式8．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，正方形与正方形有公共顶点C，连接、、，，． （1）线段 ． （2）若点E是平面内一动点，的最小值等于 ． 例9．（2024·安徽池州·二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【题型五：借助辅助圆转化为三角形的三边关系解最值问题】 例10．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是 ； （2）若为直角三角形，则的长为 ． 变式10．（2024·安徽淮北·三模）如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 1.（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，以的边、为直角边，为直角顶点，作和，且，连接和交于点． (1)求证：； (2)若点在平面内运动，，，求的最小值和最大值； (3)连接，若，，求值． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接相交于点F，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 3．（2024·安徽滁州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（       ） A．当时， B．当时， C．的最小值为 D．当时， 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，的对角线交于点O，E是边上的动点，连接交于点F．若，则下列结论中错误的是（　　）    A．的最小值是 B．总小于 C．当点E是的中点时，的面积是 D．周长的最小值是 5.（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ． 6.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交边于点． (1)求的度数； (2)如图，连接与交于点，与交于点，设与交于点． ①若，求证：； ②如图，若正方形的边长为，点是的中点，试求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$