精品解析：湖南省长沙市一中集团2024--2025学年上学期九年级数学第三次月考试卷

一中集团初三数学第三次月考试卷 一、单选题 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：∵， 则信号最强的是， 故选：D． 2. 下列运算正确的是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行相加，字母和字母的指数部分保持不变，据此求解判断即可． 【详解】解：、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式 C. 一组数据的中位数可能有两个 D. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系． 【详解】解：．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不符合题意； ．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项符合题意； ．一组数据的中位数只有1个，故该选项不符合题意； ．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键． 4. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 5. 每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转． 故选D． 6. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ，，， ． ∴是等边三角形， ． 故选：A． 7. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，轴于点A，交于点B， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（ ）度． A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，已知，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 10. 如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象和性质，熟练掌握图象与x轴的交点，函数的增减性，最值的计算方法，两个函数图象的交点，是解题的关键． 根据函数图象的性质特点进行逐项分析即可． 【详解】由函数图象知，当时，或，故①正确； 当时，图象有最低点，没有最高点， ∴y有最小值，没有最大值，故②正确； 当时，y隋x的增大而减小，故③不正确； ∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点， ∴点在函数图象上，则m的值只有3个，故④正确 故选：B 二、填空题 11. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键． 12. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 13. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：． 故答案为： 14. 如图是一条高速公路隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽________ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，首先根据题意得到，然后利用勾股定理求出，然后利用垂径定理求解即可．解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 【详解】∵半径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：8． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象中的数据，可以得到函数的对称轴和与轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后根据函数图象即可得到当，的取值范围． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，则该函数与x轴的另外一个交点为， 故当时，x轴的取值范围为， 故答案为：． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的关系，圆周角定理，勾股定理，明确点在以为直径的圆上是解题的关键．取的中点，连接，推出，得到点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 为的中点， ， ， 点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键，分别根据有理数的乘方，零指数幂和算术平方根的运算法则计算，再利用加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键． 19. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ． 20. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如下： （2）810人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：结合两幅图可得：（人）， ∴本次调查总人数为200； ∵（人）， ∴喜欢自制地球仪的有50人； 【小问2详解】 解：（人）， ∴该校参加环保调查学生人数约为810人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是． 21. 如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）(0，1)和(0，-1) 【解析】 【分析】（1）利用矩形的面积和ON的值即可求出PM，进而得到P点的坐标，再利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出A点的坐标，即可得到OA的长度；利用矩形的面积求出△QOA的面积，根据G点在y轴上，则有OG⊥OA，即可表示出△QOA的面积，进而求出OG的长度，则在y轴的正半轴和负半轴各有一个符合要求的G点，其坐标可得． 【小问1详解】 ∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，矩形ONPM的面积是2，ON=1， ∴PM=ON=1， ∴PN=OM=2，即P点坐标为(1,2)， ∵反比例函数和一次函数都进过P点， ∴将P点坐标分别代入得：，， ∴k=2，b=1， ∴反比例函数的解析式为：和一次函数； 【小问2详解】 将y=0代入得x=-1， ∴直线与x轴的交点A的坐标为(-1,0)， ∴OA=1， ∵，=2， ∴， ∵G点在y轴上， ∴OG⊥OA，即， 又∵OA=1， ∴OG=1，即G点到x轴的距离为1， ∵G点在y轴上， ∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点， ∴G的坐标为：(0，1)、(0，-1)． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解反比例函数、一次函数的解析式等知识，正确求出P点坐标是解答本题的关键． 22. 如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园边的长为，面积为. （1）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； （2）当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，小花园的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意正确求出S与x之间的函数关系式是解题关键． （1）根据题意可知，再根据矩形的面积公式计算即可得出S与x之间的函数关系式，根据，列出一元一次不等式组求解，即得出自变量取值范围； （2）将S与x之间的二次函数关系式改为顶点式，求解即可． 【小问1详解】 解：设矩形小花园边的长为，则， 根据题意有：． ∵， ∴， 解得：， ∴S与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵， ∴当时，最大，且， ∴当时，小花园的面积最大，最大面积是． 23. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． （2） 证明：线段是的直径， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 【答案】（1）存在；“幸福点”坐标为，； （2）“向光函数”的解析式为：或； （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围． 【小问1详解】 假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则 ∴， 解并检验得：，， ∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为，； 【小问2详解】 ∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 所以与反比例函数只有一个交点， ∴，， 整理得：， ， 解得：，， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， ∴“向光函数”的解析式为：或． 【小问3详解】 ∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上， ∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标， ∴， 整理得：， 又∵“向光函数”为， ∴与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③， ∴， ∴， ∴， 即“向光函数”为 又∵， ∴， ∴， 又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 令“向光函数”中，得即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键． 25. 如图1，在中，是斜边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆A交于点F，设圆A半径为r，若满足，连接并延长交圆A于点E，连接． （1）如图1，若，求半径； （2）如图2，点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）当点D在斜边上运动时，求的取值范围 ． 【答案】（1）4 （2） ，理由如下： 如图，延长FA交于点N，连接EN， ∴， ∵四边形DENF是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行的性质及，推得，由勾股定理求得的长，进而求得的长； （2）延长FA交于点N，连接EN，则，由圆内接四边形的性质即可求得两角的关系； （3）延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H，易证明，可得；由，得，则可求得、，由可得关于的表达式，根据已知确定的取值范围，最后由二次函数的性质可确定的范围． 【小问1详解】 解：如图： ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H， 由（2）得：，， ∴， ∴，即， ∵圆的半径为r， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，所以在上函数值随r的增大而减小， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，添加适当辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一中集团初三数学第三次月考试卷 一、单选题 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是 （ ）． A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式 C. 一组数据的中位数可能有两个 D. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 4. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. 10 B. 20 C. D. 7. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 无法计算 8. 如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（ ）度． A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 9. 如图，已知，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知函数图像与x轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或；②当时，y有最小值，没有最大值；③当时，y随x的增大而增大；④若点在函数图象上，则m的值只有3个．上述四个结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题 11. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________． 12. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 13. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 14. 如图是一条高速公路隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽________ 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，P是反比例函数（x＞0）的图象上的一点，PN垂直x轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON＝1，一次函数y＝x＋b的图象经过点P． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线y＝x＋b与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出点Q的坐标． 22. 如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园边的长为，面积为. （1）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； （2）当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 25. 如图1，在中，是斜边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆A交于点F，设圆A半径为r，若满足，连接并延长交圆A于点E，连接． （1）如图1，若，求半径； （2）如图2，点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）当点D在斜边上运动时，求的取值范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $