精品解析：云南省昆明行知中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

昆明行知中学高一年级12月月考（数学） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “ booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（    ） A. B. C. D. 11. 在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（ ）． A. B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. 13. 若命题“成立”是假命题，则实数的取值范围是_________． 14. 若定义运算，则函数的值域是___. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）在平面直角坐标系中直接画出函数的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 16. 已知（且），且. （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的值域. 17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 18. 定义在上的函数，满足，，当时，. （1）求的值； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解关于的不等式. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质求证：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明行知中学高一年级12月月考（数学） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “ booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由集合中元素不能重复，在booknote中找出不同字母的个数，可得答案. 【详解】booknote中有不同的字母 共6个 所以由 booknote中字母”构成一个集合的元素共有6个 故选：B 【点睛】本题考查集合中元素的特征，元素不能重复，属于基础题. 2. 若关于的不等式的解集是，则实数的值是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于的不等式的解集，可得方程的两根为，利用韦达定理，即可求解． 【详解】由题意，关于的不等式的解集为， 所以方程的两根为， 由韦达定理可得，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式和一元二次方程，以及一元二次函数之间的关系的相互转化是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 3. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件化为，则，通过基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时取等号，最小值为. 故选：B. 5. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集结合韦达定理即可求得的值. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则的两根为，由韦达定理可知，， 又，解得，所以. 故选：C 6. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集为可求得间的关系,再代入,化简根据分式不等式的方法求解即可. 【详解】因为不等式的解集为,故,且-2,3为的两根. 由根据韦达定理有,. 故即,故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集的区间端点与系数的关系,同时也考查了分式不等式的求解,属于中档题. 7. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论， 【详解】若，则，选项C符合； 若，则函数定义域为R，选项B符合 若，则，选项A符合，所以不可能是选项D. 故选：D. 8. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小. 【详解】根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于， 由，得， 所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得， 且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于， 由，得，不符合题意. 故选：AC 10. 函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项分别写出函数，判断与的关系，即可得到是否关于轴对称. 【详解】由，令，则， 得，化简得，即， 则，故关于轴对称； B选项，将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，故的图象关于直线对称，不关于轴对称； C选项，因为，，不恒成立， 故函数的图象不关于轴对称； D选项，由A选项可知，，则，易知的图象关于轴对称. 故选：AD 11. 在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（ ）． A. B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据三角形内角关系和诱导公式即可判断；对B，根据大角对大边和正弦定理即可判断；对C，利用余弦定理和正弦定理即可判断；对D，利用正弦定理结合倍角公式化简判断. 【详解】对于A，因为在中，则，故A正确； 对B，根据大角对大边，则推出，再根据正弦定理有，故B正确； 对C，若为锐角三角形，则锐角，则由余弦定理有， 则，即，再根据正弦定理进行边换角得，故C错误； 对于D，中，若，则，则根据二倍角的正弦公式有， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意列式或且,可解得. 【详解】因为命题“”是真命题, 所以对任意实数都成立, 所以或且, 所以或, 综上所述:实数的取值范围是. 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题. 13. 若命题“成立”是假命题，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】若成立是真命题，即恒成立，求出的取值范围，所以“成立”是假命题，求其补集即可. 【详解】若成立是真命题， 即恒成立， 所以，所以， 所以“成立”是假命题，则实数或， 故实数的取值范围是：. 故答案为：. 14. 若定义运算，则函数的值域是___. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出的解析式，再判断出函数的单调性，即可得到答案． 【详解】解：由得，， 在上是增函数，在上是减函数， ， 则函数的值域是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分段函数的值域，即每段值域的并集，也是一个新定义运算问题：取两者中较小的一个，求出函数的解析式并判断出其单调性是解题的关键，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）在平面直角坐标系中直接画出函数的图象； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义将函数分成三段，即可求得函数解析式； （2）根据分段函数解析式直接画出图象即可. （3）根据函数单调区间列不等式组直接求解即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，， 所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由可知，因此符合区间的定义， 由知函数的增区间为 函数在区间上单调递增，因此，解得， 故的取值范围为． 16. 已知（且），且. （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出参数的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域； （2）由（1）可得，设，，根据二次函数的性质求出的取值范围，从而求出的值域. 【小问1详解】 解：由得，即，所以，解得， 所以， 由，解得，故的定义域为； 【小问2详解】 解：由（1）及条件知， 设，，则当时，， 当时，；当时，， 所以当时，，即， 所以，， 所以在的值域为. 17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 【答案】（1） （2）时有最小值，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数； （2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值. 【小问1详解】 由题可先写出速度关于时间的函数， 代入与公式可得 解得； 【小问2详解】 ①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值； ②疲劳阶段， 则有， 当且仅当，即时，“”成立， 所以疲劳阶段中体力最低值为， 由于，因此，在时，运动员体力有最小值. 18. 定义在上的函数，满足，，当时，. （1）求的值； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 由已知，可得， 任取，，且，即， 所以， 即， 即函数在上是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可特函数值； （2）利用定义法可得函数单调性； （3）根据函数单调性解不等式. 【小问1详解】 由已知， 令时，， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知， 即， 又， 所以即为， 又函数在上单调递增， 则， 解得. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质求证：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质 （2） 设二次函数满足性质， 则对任意，满足， 若，取， 则，矛盾， 所以，此时， 满足，即为偶函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质的定义列不等式，若，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数； （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【小问1详解】 对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得， 取时，有， 所以不具有性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于，函数的定义域为， ， 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即，即， 由于函数在上递增，得， 即， 因为，所以，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解，求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $