四川省成都市双流区立格实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

立格实验校 2024-2025 学年高 2023 级上学期期中考试试题 数 学 命题人：骆波 审题人：高二数学备课组 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共 10 页；答题卡共 2 页。满分 150 分，考试时间 150 分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将 考号准确填涂在“考号 ”栏 目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其 它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 第 I 卷（选择题） 一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确) 1 ．已知点 A(1,0), B(2,1) ，则直线AB 的倾斜角为 ( ) A ． B ． C ． D . 2 ．过原点且与直线2x + y -1 = 0 垂直的直线方程为 ( ) A ． y = 2x B ． C ． D ． y = -2x 3．如图，棱长为 1 的正方形 ABCD - A1 B1 C1D1 中，异面直线 AC 与 A1B 所成的角是( ) A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 4 ．已知焦点在x 轴上的椭圆的焦距为 6 ，则实数m 等于 ( ) A ．12 B ．12 - 6 C ． D . 5．如图所示，在棱长为 2 的正方体ABCD - A1 B1 C1D1 中，则直线B1C1 到平面 A1BCD1 的 距离是 ( ) A ．2 B ． 2 C ． 2 2 D ． 2 ·3 6 ．直线x + y + 2 = 0 分别与x 轴， y 轴交于 A, B 两点，点P 在圆(x - 2)2 + y2 = 2上，则 △ABP 面积的取值范 围是 ( ) A ． [2, 6] B ． [4, 8] C . ·i2 , 3 ·i2 D ． 2 ·i2 , 3·i2 1 学科网（北京）股份有限公司 7 ．已知F1, F2 分别为椭圆E : + = 1 (a >b > 0 ) 的两个焦点， P 是椭圆E 上的点， PF1 丄 PF2 ，且 PF1 = 2 PF2 ，则椭圆E 的离心率为 ( ) A ． B ． C ． D . 2 学科网（北京）股份有限公司 8 ．如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 4 ，点H 在棱 AA1 上，且 HA1 = 1 ．点E ，F 分别为棱 B1C1 ，C1C 的中点，P 是侧面BCC1B1 内一 动点，且满足 PE 丄 PF .则当点 P 运动时， HP2 的最小值是 ( ) A. 7 - 2 B. 14 - 2-2 C. 51 -142 D. 27 - 62 ( D 1 C 1 E A 1 B 1 F H P D C ) A B 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分)。 9 ．设F1 ， F2 是椭圆 + = 1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，则下列说法中正确的是 ( ) A ．椭圆长轴长为 8 B ．椭圆的离心率为 C . △PF1F2 的周长为 12 D . △PF1F2 的面积的最大值为 4 10 ．对于直线l : (m - 2)x + y - 2m +1 = 0 与圆C : x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0，下列说法正确的是 ( ) A ．直线l 过定点 A(2, 3) B ．圆C 与圆C1 : x2 + y2 = 1 的公切线恰有 4 条 C ．直线l 与C 可能相切 D ．直线l 被C 截得的弦长最小值为2 · 11 ．1694 年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角 坐标系xOy 中，把到定点F1 (-a, 0), F2 (a, 0)距离之积等于a2 (a > 0) 的点的轨迹称为双纽线，已知点px0, y0 是a =1 时的双纽线C 上一点，下列说法正确的是 ( ) A ．双纽线C 的方程为(x2 + y2 )2 = 2 (x2 - y2 ) ≤ y0 ≤ ( (4,4 + 2 3) )C ． PO 的最大值为 ·2 D . △PF1F2 的周长的取值范围为 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（每个小题 5 分，共 15 分） 12 ．已知向量 = (1, m, 3) ， b (→) = (2, 4, 6) .若 ∥ b (→) ，则实数m = . 13 ．已知点P 在圆(x -5)2 + (y -5)2 = 16 上，点A(4, 0 ), B (0, 2 ) ，当上PBA 最小时， PB = . 14 ．已知A ，点M 满足2 ，则 ΔABM 面积的最大值为______ 四、解答题 15.(13 分)已知 ΔABC的三个顶点分别为 A(0, 0)，B (1, 1)，C (4, 2) . (1)求边 AC 的垂直平分线l 的方程； (2)求 ΔABC的外接圆的方程. 16．（15 分）如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1D1 中，AB=AD= AA1 =2，上DAB = 90。，上BAA1 = 上DAA1 = 60。， E 是CC1 的中点，设 A (-)- = ， A (-)- = b (→) ， A (-)-A = . ( --- → --- → )(1)用向量 a, b, c 表示向量AE ,并求向量AE的模； (2)证明: AE 丄 BD . 3 学科网（北京）股份有限公司 17 ．（15 分）已知以点 A(-1，2) 为圆心的圆与直线l : x + 2y + 7 = 0 相切．过点B(-2, 0) 的直线 m 与圆A 相交 于M , N 两点. (1)求圆A 的标准方程； 当 19 时，求直线 m 的方程. 18．（17 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD ，AD⊥AB ，AB∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2， AB ＝1 ，点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明： BE // 平面PAD ； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足BF⊥AC ，求平面 ABF 与平面 ABP 所成角的余弦值. 19.（17 分） 已知 A 为圆 O : x2 + y2 = 1上一点，过点 A 作 y 轴的垂线交轴于点 B ，点 P 满足BP = 2BA . （1）求动点 P 的轨迹Γ 的方程； （2） 已知斜率为 k 的直线l 与曲线Γ 交于 C,D 两点. （i）若直线l 过点 (0,-2) ，当△OCD 的面积最大时，求 l 的方程; （ii）若线段 CD 的中点.为 ．证明： k < - . 4 学科网（北京）股份有限公司 $$