上海市宝山区2024-2025学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷

2024学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3,在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4、可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分， 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分). 1.集合A=(-1,I),B=Z,则A∩B= 2.函数y=c0s2x+1的最小正周期为 3.设i为虚数单位，若(a-2)+(2a-1)i为纯虚数，则实数a=」 4.在(x+2)的展开式中x3的系数为 5.已知a、b为实数，且函数y=x2+ax+1x∈[b,4]是偶函数，则a-b= 6.某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：9.6,9.9,2， 9.4,9.9,10.1.10.2,9.7,9.6,93,10.0,10.4,则这组数据的第25百分位数为 7.已知关于正整数x的方程C=C5,则该方程的解为 8.若9°=4=m,且上+上=2，则m= a b 9.过双曲线父-二=1的左焦点F作圆2+y=9的切线，切点为M.延长切线交双曲线 916 的右支于点P,O为坐标原点，点T为线段FP的中点，则OT= 10.将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为 11.某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙 的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为x米 （4≤x≤6)现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每 平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元：乙 队给出的整体报价为(1+)×6k×10元(k>0).不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功， 则实数k的取值范围是 12.已知平面向量a、b满足：|a=1,|b=m∈(1,2)，且对任意的单位向量c满足 |ac+bcS√6，则ab的最大值为 ·(用含m的式子表示) 2024学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 二、选抨题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内 的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分). 13.设b>0,则“a>b"是“1<是”的（) a h A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.下列函数中，在区间(0，+∞)上是严格增函数且存在零点的是（一 A.y=ex B.y=vx+2 C.y=-logx D.y=(x-2} 2 15.如图，正四棱柱ABCD-AB,C,D,的底面ABCD边长为1， E为AD上任意一点，F为CC中点，若棱CD上至少存在 一点P使得PE⊥PF,则棱长A4的最大值为() A.② B.1 C.√2 2 D.2 16.设△AnB,Cn的三边长分别为an、b。、cn,面积为Sn(n为正整数).若b-G= 其种G>4=a,a-6+名，=6+0则() A.{S}为严格减数列 B.{Sn}为严格增数列 C.{S2n}为严格增数列，{S2n}为严格减数列 D.{S2m}为严格减数列，{S2n}为严格增数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号)内写出必要的步骤). 17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA=PB=AD=3,AB=4,且该四 棱锥的体积为45. (1)证明：平面PAB⊥底面ABCD: (2)求异面直线PC和AB所成角的余弦值 2024学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 第2页共4页 18.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分) 在△ABC中，已知b2+c2=a2+bc. (I)若sinC=2sinB,且b=2,求△ABC的面积； (2)若b+c=1,求a的取值范围. 19.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗 (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率： (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大7的概率： (3)若第一次掷出点数之和大于6的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷， 直到比赛结束.例知，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：5、4、3、7，此时乙为胜者.设 甲先投掷，求甲最终获胜的概率。 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分) 已知椭圆r:之+上=1，直线1经过椭圆T的右顶点P且与椭圆交于另一点A,设线 9 3 段AP的中点为M. (1)求椭圆广的焦距和离心率： 2)若koM=-,求直线P的方程： 3 (3)过点P再作一条直线与椭圆T交于点B,线段BP的中点为N.若OM⊥ON,则直线 AB是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标：若不经过定点，请说明理由、 影 2024学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷 21,(本题澜分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)， 已知y=(x),y=g(x)都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数k,当m、n分别 是y=f(x)和y=g(x)的驻点时，记△xm-nk若△x≤k,则称f(x)和g(x)满足P()性 质：当∈R,且g()≠g()时，记△y= )-f,若△y≥k,则称f)和g() 8()-g(x2)） 满足Qk)性质. (I)若f()=2文+1，g(x)=x,判断f(x)和g(x)是否满足2)性质，并说明理由： ②若=(x-,g树-x中，且了倒和g树)满足P0)性质，求实数a的取值范围； (3)若y=f(x)的最小正周期为4，且g(-1)=f(-1),g)=f).当x∈[-1,3]时，y=f(x) 的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： x -1 (-1,1) 1,3) 3 f'(x) 0 0 f(x) 极小值-1 极大值1 极小值-1 己知f(x)和g(x)满足Q()性质，请写出f(x)=g(x)的充要条件，并说明理由 2024学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试卷2024学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.{o 2.π 3.2 4.40 5.4 6.9.5 m,m∈(1，√6- 7.1或3 8.6 9.510.2π 11 0, 12. 5m6-到 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.C 14.C 15.A 16.B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) ①证明：设该四棱锥的高为h,则体积VS×h=×3x4h=4W固 ..1分 从而h=√5... .2分 等腰△PAB中，设边AB的中点为E,易知PE⊥AB 在Rt△PAE中，PA=3,AE=2,所以PE=5.. …4分 所以该四棱锥的高为h即为PE=√5 ……….5分 即PE⊥底面ABCD,又PE∈面PAB 所以面PAB⊥底面ABCD.7分 (2)因为AB∥CD, 所以∠PCD即为异面直线PC和AB所成的角或其补角：9分 由(1)知平面PAB⊥底面ABCD,且平面PAB∩底面ABCD=AB 矩形ABCD中，CB⊥AB,所以CB⊥面PAB,从而CB⊥PB......I0分 R△PBC中，PB=BC=3,所以PC=3V2..11分 同理可得PD=32...12分 △PCD中，PC=PD=3N2,CD=4 由余弦定理可得cos∠PCD=PC2+CD-PD2_18+16-18V5 .13分 2PC.CD 2×3V2×43 所以异面直线PC和AB所成角的余弦值为 3 …,14分 另解：（空间向量法）以AB的中点为E为原点， EB、EP为x、z轴建立空间坐标系， 则P0,05)B2,00bA(-2,0.0)C(2,3.0) 所以AB=(40,0)PC=(2,3,-V5) ….9分 PC·AB 8 cos(PC,AB〉 2 PC.AB .13分（公式2分，数值2分） √4+9+5.43 所以异面直线PC和AB所成角d余弦值为 ,14分 3 18.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分) 解：()由正弦定理得S=sinC 2,又b=2,从而C=4.2分 b sin B 由b2+c2=a2+bc得cosA= b2+c2-a2 be I ，,4分 2be 2bc2 从而A= 3 5分 所以△4BC的而积S=bcsin=x2x4xsin7=2N5 1 8分 3 (公式2分，结果上分) (2)a2=b2+c2-bc=(b+c-3bc=1-3bc...9分 由平均值不等式bc≤ b+cy 2 当且仅当b=c=二时取等号..11分 从而a2≥1- 31 所以a≥ 4 ……12分 又因为△ABC中，b+c>a,从而a<1... ,.13分 所以a的范围 ……14分 19.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 61 解：(1)甲掷一次，两颗散子点数相等的概率为 6×66 .2分 15 所以两颗骰子点数不同的概率为1一二=二：，4分 66 (2)解：甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的情形如下表： 甲的点数 乙的点数 甲的点数和 乙的点数和 (3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3) (L,I) 9 2 (4,6)、(5,5)、(6,4) (1,2)、(2,1) 10 (5,6)、(6,5) (1,3)、(2,2)、(3,1) 11 (6,6) (1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1) 12 ·….8分 所以P= 4×1+3×2+2×3+1×45 6 324 5……10分 另解：设掷一次两颗骰子的点数和为X,则X=2,3,4,,12 则Px=2=Px=12)=1x1=1 6×636 PX=3)=PX=11)= 21 6×618 PX=4)=Px=10)=3=⊥ 6×612 Px=5)=PX=9)=4= 6×69 PX=6)=P(X=8=5=3 6×636 Px=7)=6=1 6×66 所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 11,11.11,115 36918121218936324 …….10分 (3)由(2)可知掷两颗骰子点数和大于6的概率为 2Px==+ 15,1,11,17 十一十 636912183612 …12分 若甲第一轮获胜，概率为月=召 若甲第二轮获脏，即第一轮投据后两人的点政和都不大于6，概率为月=（侣子 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于6，概率为P 由以上可得，若甲第川风n≥1)轮获胜，即前n-1轮投掷后两人的点数和都不大于6，概率为 ……14分 3 手是，RR,RR粗度一-个以品为省项 5 为公比的无穷等比数列. 12 7 所以甲最终获胜的总概率为P+P++…+Pn+…= 12 12 ,16分 1- 5 12 17 12 20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分) 解：(1)由a=3,b=3得c=√a2-b2=√6......2分 所以焦距2C=2√6，...3分 离心率e=c-V6 03…4分 (2)P3,0),设直线AP的方程x=y+3 与椭圆r:+片1联立得：+3+6砂=05分 9 因为点M与点P不重合，所以可得点M -3t 2+32+3 于是由ko心=。=-3得1=l …7分 直线AP的方程：x-y-3=0. 8分 )①当直线B斜率存在时，设方程为：y三：+m,与椭圆工。+1联立和 (3k2+1k2+6kmx+3m2-9=0...9分 设Ax,人Bx2,2) -6km += 3k2+1 由韦达定理得 ,10分 3m2-9 x= 3k2+1 且△=36k2m2-43k2+13m2-9>0,化简得m2-9k2-3<0 又o从商M2}梦受 由OM⊥ON可得OM.ON=0,从而(：+3(：2+3)+2=0 将y=x+m代换，(x+3(x2+3)+(x+mkx2+m)=0 整理得：(k2+1kx2+(km+3Xx+x2)+m2+9=0 韦达定理代入化简得9k2-9km+2m2=0. 3 (3k-2m3k-m）=0,所以m=3k或m=三k....12分 当m=3k时，直线AB经过点(3,0)，舍：.13分 当m=2k时，此时？k2-9k?-3<0成立，直线4B经过定 ..14分 4 20 @当直线B斜率不车在时，设小风m,小.则M四}2号 代入OM.0N=0得n2=(m+3 与m2n 9+3 =1联立得2m2+9m+9=0解得m=- 3 2 33 此时直线AB也经过点 ,0 2 …,16分 综上，直线AB经过定点 0 2 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)， 解：(1)△y= (2x+1)-(2x2+1) 2(x-x2） 222.,2分 X2-X1 所以f(x)和g(x)是满足Q(2)性质. ……4分 (2)由f(x)=2(x-1)可知，驻点m=1.....5分 又g'(m)=a-1-r 当a=0时，g(x)不存在驻点： 当a≠0时， 89的驻点n=a-」 ………………7分 a 由题意可知 a- ≤1 0 ……。8分 解得ae(-o,-1]U[L,+o). 4“◆44.444“++“44。本4.4“44“4“=4“=+÷▣“4…✉44=。。1 (3)f(x)=g(x)的充要条件是k=1.11分 首先证明必要性： 当f(x)=g(x)时，由题意可知f(x)不是常函数，所以△y= f)-f)=1 g(x)-g(x2) 因为f(x)和g(x)满足Qk)性质，所以△y≥k,所以k≤1， 又k是正整数，故k=1.·.12分 其次证明充分性： 由圈意可知-1≤f)s1,g-)=f-=-1,g0=f0=l,且/x)-fs ≥1 g()-g(x2) ①当x≠4k±1(k∈Z)时， 可知g(x)≠g(-1): 否则，若存在x≠4k±1(k∈Z),有g(x)=g(-)=-1 因为-1<f)<1,所以）》-四=f。-山<1与已知矛盾。 g(x)-g0) 2 同理，g(x)≠g0) 0。,。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,。。14分 故 f(x)-f(-1) f(x)+1 fx)+121 g(x)-g(-1) g(x)+1 g(x)+1川 所以|g(x)+1Kf(x)+1,即-f(x)-2≤g(x)≤f(x) 同理， f(x)-f0)_fx)-1 g(x)-g0)g(x)-1 1-f田≥1，得fx)≤g)≤2-f) 1g(x)-1 所以f(x)=g(x) ....16分 ②当x=4k-1(k∈Z)时，f(4k-1)=-1 任意t∈(-1,1)，有-1<f0<1,又由①可知，f()=g) 若存在k∈Z,t6∈(-1，)有g(4k-1)=g(),则g(4k-1)e(-1,I), 所以g(4k-1)≠g(-1) 由己知 4k-)--≥1，其中f4k-)=f-)=- g(4k-1)-g(-1) 于是有0≥1，矛盾，所以g(4k-1)≠g() 所以(4k-1)-f0 -1-f) 1+f() 21, g(4k-1)-g()g(4k-1)-g(t)1g(4k-1)-f(t)1 得-1≤g(4k-1)≤1+2f() 因为-1<f(t<1,所以-1<1+2f)<3,从而g(4k-1)=-1,即g(4k-1)=f(4k-1). ③当x=4k+1(k∈Z)时，f(4k+1)=1 任意t∈(-1,1)，有-1<f()<1,同理可得g(4k+I)≠gt) 所以4h+)-f 1-f) 1-f(t) g(4k+1)-g) 8(4+)-8可1g4+)-f21, 得-1+2f)≤g(4k+1)≤1 因为-1<f)<1,所以-3<1+2f)<1,从而g(4k+1)=-1,即g(4k+1)=f(4k+). 综上，(x)=g(x)..18分 (3)另解：（反证法） 由题意可知-1≤fs1,g(-)=-)=-1,g0=f0=1,且/)-f≥1. g(x)-g(x2) ②任意x∈(-1，)时，可知g(x)≠g(-1): 否则，若存在x∈(-1,1)，使g(x)=g(-1)=-1 因为-1<f(x)<1,所以 /)-f四_fx)-l<1与已知矛盾. 1g(x)-g(0) 同理，g(x)≠g). .14分 ②先证任意x∈(-1,1)时，有f(x)=g(x). 反证，若存在x∈(-1,1)，使f(x)≠g(x) 若1>f()>g(x)时， 则/)-f f(x)-1 <1与已知矛盾. g(xa)-g(1) 8(x)-1 若-1<f(x)<g(x)时， 则)-f- _f(x)+1 <1与已知矛盾. g(x)-g(-1)g(x)+1 由于g(-1)=f(-1)=-1,g()=f0)=1, 可得，任意x∈[-1，]时，有f(x)=g(x)..16分 ③下证任意x∈(-0，-1)U(1,+o)时，有f(x)=g(x) 反证，若存在∈(-0，-1)U(1,+∞)，使f(x)≠g(x) 由于-1≤f(x)≤1，可得存在m∈[-1，满足f(x)=f(m)=g(m). 则/)-fm) 0 <1与已知矛盾. g(xo)-g(m)g(xo)-f(xo) 综上，f(x)=g(x).…18分