精品解析：重庆市潼南区初中学校2024-2025学年九年级上学期第二次联合测试数学试题

2022级九年级上期第二次联合测试数学试题答案 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A B. C. D. 2. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 3. 抛物线顶点坐标是（） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在边上，则的长为（） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 5. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 如图，为切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，则的长为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 一定有两个不等实数根 D. 9. 若常数使二次函数与轴有两个不同交点，且使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有值的和为（ ） A. B. C. D. 10. 对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一元二次方程的解是____． 12. 在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为________． 13. 若点与关于原点对称，则的值为________． 14. 如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是________． 15. 如图，为的直径，为的弦，，，，则劣弧的长为_______． 16. 如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是___________． 17. 如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，得到新的四位数N，称N为M的“一对称数”，并规定．例如：3412的“对称数”为2143，，则______；若（m为整数，），（n为整数，），且，s和t的各数位数字均不为0，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定，则k最大值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，20-26每小题10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）求一元二次方程的根； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 20. 如图，在四边形中，，．连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， ① ． ， ， ，， （ ② ）， ， ③ ， 即， ， ， ， ∴四边形形是 ④ ． ⑤ ． 四边形为菱形． 21. 2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》（简称通知），要求各省（区、市）教育督导部门，组织当地中小学校责任督学开展“五项管理”督导工作．为贯彻《通知》精神，开州区某学校团委组织了“手机管理”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数 人， ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女姓）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 22. 如图，是圆的直径，点在圆上，点在的延长线上，是的切线． （1）证明：； （2）若的半径是5，，求的长． 23. 冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销。綦江区某商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足函数关系： . （1）商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2250元，该如何给这种保暖内衣定价？ （2）请问这种保暖内衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润是多少？ 24. 如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动一个动点（不含、），运动速度为1个单位长度/秒；是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），运动速度为2个单位长度/秒．点同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个点立即停止运动．连接，，设点的运动时间为秒，的面积为的面积为 （1）请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围； （2）在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质： （3）若，请结合函数图象直接写出的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标． 26. 已知在中，，四边形是正方形，为所在的直线与的交点． （1）如图1，当点在上时，请判断和关系，并说明理由． （2）如图2，将正方形绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级九年级上期第二次联合测试数学试题答案 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，轴对称图形的识别等知识点，熟练掌握中心对称图形的概念和轴对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等． 根据中心对称图形的概念与轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； C. 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ） A 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可解答． 【详解】解：∵经过有交通信号灯的路口，可能遇见绿灯，可能遇见红灯，可能遇见黄灯， ∴经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件． 故选A． 3. 抛物线顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：由的图象与性质可知： 抛物线顶点坐标是：， 故选：． 4. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在边上，则的长为（） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键； 由旋转可得：，从而可得是等边三角形，然后求出即可解答． 【详解】由旋转可得：， ∴是等边三角形， 故选：D． 5. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：A． 6. 如图，为的切线，切点为，连接、，交于点，点在上，连接、，若，则的长为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，解即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵为的切线， ∴， 在中，, 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由图可知，活动场所的面积可以看作长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可．正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． 【详解】解：设绿化带的宽度x米，由题意，得：； 故选：D． 8. 二次函数的部分图象如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 一定有两个不等实数根 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与二次函数系数的关系．根据抛物线的开口方向，与坐标轴的交点个数和位置，对称轴的位置，以及抛物线上的点的特征，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线，即：， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴；选项正确，不符合题意； B、∵图象经过点，， ∴，即， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； C、观察图象，抛物线与直线有两个交点， ∴一定有两个不等实数根，选项正确，不符合题意； D、抛物线关于直线对称， ∴的函数值等于的函数值， ∴时，函数值大于0， 即：，选项错误，符合题意； 故选：D． 9. 若常数使二次函数与轴有两个不同交点，且使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有值的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数和一元二次方程解的个数的关系、一元二次方程根的判别式以及分式方程的解，掌握以上知识点是解答本题的关键． 由二次函数与轴有两个不同交点得一元二次方程有两个不相等的实数解，进而可得的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合非负整数可得答案． 【详解】解：常数使二次函数与轴有两个不同交点， 一元二次方程有两个不相等的实数解， ， 即， 解关于的分式方程，可得且， 解为非负整数， ，且为奇数， 或， 满足条件的所有值的和为：， 故答案为：D． 10. 对于多项式：，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”例如：，，， 给出下列说法： ① 为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②至少存在一种“双减操作”，使其结果为； ③所有的“双减操作”共有5种不同的结果． 以上说法中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，清晰的分类讨论是解本题的关键；令，，，，所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，再分类计算，再根据结果进行判断即可. 【详解】解：令，，，， 所有“双减操作”的结果就是在A、B、C、D四个整式前面增添两个“”号和两个“+”号，则有以下几种计算结果： 第1种：， 第2种：， 第3种：， 第4种：， 第5种：， 第6种：， 由上可知，所有的“双减操作”，x为整数时，其结果均为能被2整除；故①说法正确； 不存在哪种“双减操作”，其结果为；故②说法错误； 所有的“双减操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故选： B． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一元二次方程的解是____． 【答案】x1=-1，x2=2 【解析】 【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0， 分解因式得：（x+1）（x-2）=0， 可得x+1=0或x-2=0， 解得：x1=-1，x2=2． 故答案为：x1=-1，x2=2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是本题解题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为． 故答案为． 13. 若点与关于原点对称，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了已知两点关于原点对称求参数，解二元一次方程组，代数式求值等知识点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键：若两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反，即对应点的横坐标的和、纵坐标的和都为． 根据关于原点对称的点的坐标特征可得，解方程组即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：点与关于原点对称， ， 解得：， ， 故答案为：． 14. 如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标有奇数的三角形有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率． 【详解】解：一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，上面分别标有奇数的三角形有3个，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数，这个数是一个奇数的概率是：． 故答案：． 【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 15. 如图，为的直径，为的弦，，，，则劣弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，弧长公式等，先根据垂直平分，得出，进而证明是等边三角形，得出，再解求出半径，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ，， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，为的直径，， ， 在中，， ， ， 劣弧的长， 故答案为：． 16. 如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∵图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 17. 如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接，，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，根据阴影部分面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵、是的切线， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键． 18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，得到新的四位数N，称N为M的“一对称数”，并规定．例如：3412的“对称数”为2143，，则______；若（m为整数，），（n为整数，），且，s和t的各数位数字均不为0，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定，则k最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据代入求解即可；首先表示出s和t的“对称数”，然后求出的取值范围，然后代入求解即可． 【详解】根据题意可得， ； ∵（m为整数，）， ∴s的千位数字为6，百位数字为5，十位数字为，个位数字为1， ∴s的“对称数”为， ∵（n为整数，）， ∴t的千位数字为3，百位数字为2，十位数字为n，个位数字为7， ∴t的“对称数”为， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵m，n都是整数， ∴是整数， ∴，11，12，13，14，15，16，17， ∴ ∵s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除 ∴将，11，12，13，14，15，16，17，分别代入可得， ∴当时，s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除 ∴ 当时，k的最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，20-26每小题10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）求一元二次方程的根； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，二次函数的性质： （1）先 化为一般式，再利用公式法求解即可； （2）令即可求得交点坐标． 【详解】（1）解：， 化为一般式为：， ∴， ∴，； （2）由题意，令，得， 解得，， ∴抛物线与x轴交点为，． 20. 如图，在四边形中，，．连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， ① ． ， ， ，， （ ② ）， ， ③ ， 即， ， ， ， ∴四边形形是 ④ ． ⑤ ． 四边形为菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）；等角的余角相等；；平行四边形； 【解析】 【分析】（1），分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，交于点F，交于点E，则直线即为所求作的线段的垂直平分线，连接； （2），先根据线段垂直平分线的性质得，再根据等角的余角相等得，进而得出，接下来可得,然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，（等角的余角相等）， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：；等角的余角相等；；平行四边形；． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段的垂直平分线，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，灵活选择菱形的判定定理是解题的关键． 21. 2021年8月，国务院教育督导委员会办公室印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》（简称通知），要求各省（区、市）教育督导部门，组织当地中小学校责任督学开展“五项管理”督导工作．为贯彻《通知》精神，开州区某学校团委组织了“手机管理”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 人， ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女姓）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值； （2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：获奖总人数为8÷20%=40（人）， m%=×100%=30%， 即m=30； 故答案为40；30； 【小问2详解】 解：“三等奖”人数为40-4-8-16=12（人）， 条形统计图补充为： 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率==． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22. 如图，是圆的直径，点在圆上，点在的延长线上，是的切线． （1）证明：； （2）若的半径是5，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）的长为8． 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，再根据圆的性质可得，即可求解； （2）根据勾股定理求得线段，即可求解． 【详解】证明：（1）是圆的直径， ，即， 又是圆的切线， ， ； （2）在中，由勾股定理得， ∴ ∴． 的长为8． 【点睛】此题考查了圆的有关性质和勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 23. 冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销。綦江区某商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足函数关系： . （1）商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2250元，该如何给这种保暖内衣定价？ （2）请问这种保暖内衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润是多少？ 【答案】（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元 （2）售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元 【解析】 【分析】（1）根据“每件的利润×销售量=总利润”，列出相应的方程，然后求解即可，注意售价的取值范围； （2）根据“每件的利润×销售量=总利润”，写出月利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数的增减性质和售价的取值范围，即可得到利润的最大值． 本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用——利润问题．解答本题的关键是熟练掌握总利润与每件利润和数量的关系，列出相应的方程，相应的函数解析式，利用二次函数的增减性质求最值． 【小问1详解】 由题意可得， ， 解得，（不符题意，舍去）， 答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元； 【小问2详解】 设利润为w元， 由题意可得：， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵物价部门规定每件售价不得高于80元， ∴， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元． 24. 如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），运动速度为1个单位长度/秒；是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），运动速度为2个单位长度/秒．点同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个点立即停止运动．连接，，设点的运动时间为秒，的面积为的面积为 （1）请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围； （2）在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质： （3）若，请结合函数图象直接写出的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1），， （2）当时，函数有最大值9（答案不唯一） （3）当时，的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数函数的图象与性质，画二次函数图象，根据函数图象解不等式． （1）作于G，可得四边形为矩形，，由题意可知：，则，再根据，，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围； （2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质； （3）由，可得，结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可． 【小问1详解】 作于， ，，， ，，四边形为矩形， ， 由题意可知：，则，， 的面积， 的面积：， 当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 则点运动时间最多为：秒，点运动时间最多为：秒， ，，； 【小问2详解】 列表： 描点，，，，（用空心圆圈）， 画出关于的函数图象如图所示： ， 由此可知：①当时，函数有最大值9； ②当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 故答案为：当时，函数有最大值9（答案不唯一）； 【小问3详解】 ，，即，即：， 只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可， 由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分在上方， 当时，的取值范围为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线解析式，可得，解方程组即可求出，的值，进而得到抛物线的表达式； （2）由（1）可得，抛物线的表达式为：，先求抛物线与轴的交点坐标，即令，则，解方程即可求得点坐标，然后再求抛物线与轴的交点坐标，令求的值，即可求得点坐标，求出直线的表达式，由中的几何关系可求得，由中的几何关系可求得，设点的坐标为，则点，于是可得，进而可得，然后根据二次函数的图象与系数的关系及的图象与性质，即可得出的最大值及此时点的坐标． 【小问1详解】 解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线的表达式为：， 令，则， 解得：，， ， 当时，， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， ，， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 设点的坐标为：，则点， ， ， ，故有最大值， 当时，的最大值为：，此时点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，求抛物线与轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行内错角相等，等角对等边，勾股定理，整式的加减运算，去括号，合并同类项，将化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 26. 已知在中，，四边形是正方形，为所在的直线与的交点． （1）如图1，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由． （2）如图2，将正方形绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：； 【答案】（1）且，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证可得，再证即可解答； （2）如图，在线段上截取，连接．先证可得，再证是等腰直角三角形，则，最后根据线段的和差即可证明结论； 【小问1详解】 解：且．理由如下： ，， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ； 综上：且． 【小问2详解】 证明：如图，在线段上截取，连接． 由（1）可知：， 和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$