第02讲 整式（讲义）【3大考点13大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第02讲 整式【3大考点13大题型】 考点一 代数式 1. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【题型1 实际问题中的代数式】 【例1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解． 【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元 故选C 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 【变式1-1】（2024中考·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可． 【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元， ∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等． 【变式1-2】（2024中考·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【变式1-3】（2024中考·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 【题型2 求代数式的值】 【例2】（2024中考·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 【变式2-1】（2024中考·四川泸州·中考真题）已知点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数，可得出a、b的值，即可计算的值． 【详解】∵与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查中心对称，理解关于原点对称的两点的关系是解题的关键． 【变式2-2】（2024中考·四川达州·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为 ． 【答案】2 【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解． 【详解】解：∵x=3＜4 ∴把x=3代入， 解得：， ∴值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键． 【变式2-3】（2024中考·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 【题型3 与代数式有关的规律探究】 【例3】（2024中考·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中第（1）个图形的面积为2，第（2）个图形的面积为8，第（3）个图形的面积为18，……，由第（10）个图形的面积为【 】 A．196 B．200 C．216 D．256 【答案】B 【详解】寻找规律：第（1）个图形由1=12个矩构成； 第（2）个图形由4=22个矩构成； 第（3）个图形由9=32个矩构成； 第（4）个图形由16=42个矩构成； …… 第（n）个图形由4=n2个矩构成． ∵图形都是由同样大小的矩形组成，第（1）个图形的面积为2， ∴第（n）个图形的面积为． ∴第（10）个图形的面积为．故选B． 【变式3-1】（2024中考·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解． 【详解】解：∵， ∴，，，，…….； 由此可得规律为按2、、、四个数字一循环， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律． 【变式3-2】（2024中考·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料 根. 【答案】 【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料． 【详解】解：∵第一个图形有根木料， 第二个图形有根木料， 第三个图形有根木料， 第四个图形有木料， ∴第个图形有根木料， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键． 【变式3-3】（2024中考·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 考点二 整式及其运算 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称整式。 3.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【题型4 整式的相关概念】 【例4】（2024中考·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 【变式4-1】（2024中考·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（2024中考·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（　　） A．x+1 B． C． D． 【答案】A 【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A、x+1是整式，故此选项正确； B、是分式，故此选项错误； C、是二次根式，故此选项错误； D、是分式，故此选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． 【变式4-3】（2024中考·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 【题型5 整式的加减与幂的运算】 【例5】（2024中考·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（2024中考·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（2024中考·吉林·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】（2024中考·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 【题型6 整式的乘除】 【例6】（2024中考·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D． 【变式6-1】（2024中考·山东青岛·中考真题）若，则p、q的值是（    ） A．2， B．， C．，8 D．2，8 【答案】A 【分析】首先把根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值． 【详解】解：∵， 而， ∴，． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的值． 【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 【变式6-3】（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 【题型7 乘法公式的应用】 【例7】（2024中考·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为． 【变式7-1】（2024中考·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 【变式7-2】（2024中考·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ． 【答案】3 【分析】观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论． 【详解】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键． 【变式7-3】（2024中考·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【题型8 化简求值】 【例8】（2024中考·吉林·中考真题）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)2ab+b2． 【分析】去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号；根据上述法则判断哪一步错误，再正确的去掉括号，合并同类项即可. 【详解】解：(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； (2)原式=a2+2ab-(a2-b2) =a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2． 故答案为(1)第二步，去括号时没有变号；(2)2ab+b2． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则. 【变式8-1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式8-2】（2024中考·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】12 【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将整体代入求值． 【详解】解：∵，∴． ∴ ． 【变式8-3】（2024中考·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=． 【答案】5 【分析】原式的第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，第三项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，最后把ab的值代入化简后的式子计算即可求出值． 【详解】解：原式=4﹣a2+a2﹣5ab+3ab =4﹣2ab， 当ab=﹣时， 原式=4+1=5． 【点睛】此题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型9 用图形面积验证乘法公式】 【例9】（2024中考·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①，②，④，③ (2)证明见解析 (3)①2 ②结论仍成立，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明； （3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形， 设， ∴，，，， ∴， ， ∴； 故答案为：2； ②成立，证明如下： 由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， 设，， ∴，，，， ∴， ， ∴仍成立． 【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键． 【变式9-1】（2024中考·浙江衢州·中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【答案】见解析 【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得： 方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2， 方案三：a2++==a2+2ab+b2=（a+b）2． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程． 【变式9-2】（2024中考·浙江金华·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】解：（1）. （2）. 【详解】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴． S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）； （2）根据题意得： （a+b）（a-b）= ． 【变式9-3】（2024中考·江苏常州·中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________； 【运用】：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． ①当，时，如图，　 　；当，　 　时，； ②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得　 　（用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②，见解析. 【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理． （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答． （3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． 【详解】（1）有三个其面积分别为，和． 直角梯形的面积为． 由图形可知： 整理得，， ． 故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中． （2）行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为，，，，…，． 由图形可知：． 故答案为． （3）①如图，当，时，， 如图，当，时，． ②方法1．对于一般的情形，在边形内画个点，第一个点将多边形分成了个三角形，以后三角形 内部每增加一个点，分割部分增加部分，故可得． 方法2．以的二个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把分割成个互不重叠的小三角形．以四边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点为顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形．故以边形的个顶点和它内部的个点，共（）个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形．故可得． 故答案为①，；②． 【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键． 考点三 因式分解 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 2.因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 【题型10 提公因式法因式分解】 【例10】（2024中考·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 【变式10-1】（2024中考·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ． 【答案】a（1＋b）2 【分析】先提公因式，再用完全平方公式． 【详解】原式＝， 故填：． 【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式和完全平方是关键． 【变式10-2】（2024中考·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 【变式10-3】（2024中考·青海西宁·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：． 【题型11 直接运用公式法因式分解】 【例11】（2024中考·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解． 【详解】∵ ∴ 即， ∴求得：， ∴把和代入得： 故选：A 【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键． 【变式11-1】（2024中考·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式11-2】（2024中考·四川自贡·中考真题）把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）． A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 【答案】A 【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1）， =x2-（y+1）2， =（x+y+1）（x-y-1）． 故选A． 【变式11-3】（2024中考·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 【题型12 提公因式后应用公式法因式分解】 【例12】（2024中考·四川绵阳·中考真题）把代数式分解因式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，解题的关键是掌握一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【变式12-1】（2024中考·江西南昌·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 【变式12-2】（2024中考·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ． 【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣． 【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得． 【详解】解：∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， 解得x＝2或x＝﹣1， 故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法． 【变式12-3】（2024中考·广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法. （1）二次项系数； （2）常数项 验算：“交叉相乘之和”； ；；； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】（x+3）（3x﹣4）． 【分析】根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）． 【点睛】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． 【题型13 因式分解的实际应用】 【例13】（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程-公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义． (为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ， ， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ， ∵为正奇数， ∴为整数， ∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数， ， ∵ ∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数 ∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ， ∴当时，的最大值是485， ∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 【变式13-1】（2024中考·陕西·中考真题）小颖说：“对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.”你同意他的说法吗？理由是什么？ 【答案】同意，理由见详解． 【详解】同意小颖的说法，理由如下： ∵ (n+7)2-(n-5)2=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=2(n+1)×12=24(n+1)， ∴ 能被24整除. 【变式13-2】（2024中考·浙江杭州·中考真题）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A） ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2=a2+b2 （C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形． 【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可； （2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况； （3）根据a=b，写出正确的结论即可． 【详解】解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为C； （2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况， 故答案为没有考虑a=b的情况； （3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形， 故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形． 【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面． 【变式13-3】（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如： 第1个数：． 第2个数：． 第3个数：． … (1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？ (2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解一元一次方程等知识点，掌握“好数”的定义成为解题的关键． （1）因式分解可得，再结合为奇数即可证明结论； （2）令,解得：.易得2024不是“好数”，再取,代入即可解答． 【详解】（1）解: 这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数,理由如下：. ∵为奇数, ∴由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数. （2）解：令,解得：. ∵不为整数， ∴2024不是“好数”. 取,代入得2020, ∴小于2024的最大“好数”是2020． 【新考向：新考法】 1．（2024中考·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 【答案】 4 1 【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可 ②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可 ③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可 【详解】答题空1： 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 依题意： 解得： 故答案为：4 答题空2： 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 第一次变化后，乙比甲多： 故答案为： 答题空3： 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子 则： 故答案为：1 【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法 2．（2024中考·浙江杭州·中考真题）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是 （写一个即可）． 【答案】-1 【分析】令，使其能利用平方差公式分解即可． 【详解】令，整式为 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 3．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】答题空1：根据“珊瑚数”和“明佳数”的定义，以及M是最大“珊瑚数”可得M和N的值，进而可求得的值； 答题空2：根据题意可得，，进而可得，由能被13整除，可得能被13整除．结合s和m 的范围，以及s、m都是正整数，即可求出m的值．进而可得P的值及P的“明佳数”的值，再求出的值，即可得的最小值． 本题考查了新定义运算，因式分解，求二元一次方程的特殊解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意， ∵M是最大“珊瑚数”， ∴，， ． 故答案为：10． ∵P、是“珊瑚数”，且 P的千位数字为m，十位数字为8， ∴P的百位数字为，个位数字为9， ． ∵Q是“珊瑚数”，且Q的百位数字为5，十位数字为s， ∴ Q的千位数字为4，个位数字为， ． ． ∵能被13整除，且52能被13整除， ∴能被13整除， ∵，， ∴， ∴． ∵m、n都是正整数，且， ∴或． 当时，， 则P的“明佳数”为4895， 则； 当时，， 则P的“明佳数”为5896， 则． ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 【新考向：新趋势】 1．（2024中考·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 【答案】39 【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案． 【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得： 16 7 4 ∴， 故答案为：39 【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键． 2.（2024中考·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 3．（2024中考·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可． 【详解】解：设如图表所示： 根据题意可得：x+6+20=22+z+y， 整理得：x-y=-4+z， x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m， 整理得：x=-2+z，y=2z-22， ∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z， 解得：z=12， ∴x+y =3z-24 =12 故选：D． 【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键． 【新考向：新情境】 1．（2024中考·贵州安顺·中考真题）给出三个整式，和． (1)当，时，求的值； (2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 【答案】(1)49 (2)若选，，则；若选，，则；若选，，则． 【分析】此题考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）将利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值； （2）对所选的整式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：若选，，则； 若选，，则； 若选，，则． 2．（2024中考·湖北宜昌·中考真题）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 【答案】C 【详解】解：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 =（x2﹣y2）（a2﹣b2） =（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b） 因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱，我，宜，昌， 所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”， 故选C． 3．（2024七年级上·江苏泰州·一模）天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式 ． 【答案】20 【分析】本题考查代数式求值，根据“天平数”的定义可得 ，进而可得，再利用整体代入法求解． 【详解】解： 与互为“天平数”， ， ， ， 故答案为：20． 4．（2024中考·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 5．（2024中考·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 【新考向：跨学科】 1．（2024中考·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 1．（2024中考·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 2．（2024中考·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024中考·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 4．（2024中考·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．（2024中考·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 6．（2024中考·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 7．（2024中考·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 8．（2024中考·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法． 9．（2024中考·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 10．（2024中考·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 11．（2024中考·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 12．（2024中考·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 13．（2024中考·辽宁沈阳·中考真题）已知x＋y＝3，x2＋y2－3xy＝4．求下列各式的值： (1)xy (2)x3y＋xy3 【答案】（1）1 （2）7 【详解】解：（1）由x＋y＝3 ,得（x+y）2=9 即x2+y2+2xy=9 ∴x2+y2=9 -2xy 代入x2＋y2－3xy＝4，得 9 -2xy－3xy＝4 解得 xy＝1 （2）∵x2＋y2－3xy＝4，xy＝1 ∴x2+y2=7 又∵x3y＋xy3= xy（x2+y2） ∴x3y＋xy3=7 14．（2024中考·四川内江·中考真题）（1）填空：= ； = ； = ． （2）猜想：= （其中n为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1） ，，；（2） ；（3）342． 【详解】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 试题解析：（1）=； =； =； 故答案为，，； （2）由（1）的规律可得：原式=，故答案为； （3）令， ∴ ==，∴S=342． 题型：1．平方差公式；2．规律型． 15．（2024中考·浙江衢州·中考真题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． 这个长方形的代数意义是____________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，那么需用2号卡片　______张，3号卡片_________张． 【答案】解：（1）图见详解 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）， （2）3，7． 【详解】(1) a2＋3ab＋2b2＝（a＋b）（a＋2b）； （2）1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab，所以需用2号卡片3张，3号卡片7张. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式【3大考点13大题型】 考点一 代数式 1. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【题型1 实际问题中的代数式】 【例1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】（2024中考·浙江温州·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-2】（2024中考·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【变式1-3】（2024中考·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 【题型2 求代数式的值】 【例2】（2024中考·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【变式2-1】（2024中考·四川泸州·中考真题）已知点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B．5 C．3 D． 【变式2-2】（2024中考·四川达州·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为 ． 【变式2-3】（2024中考·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 【题型3 与代数式有关的规律探究】 【例3】（2024中考·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中第（1）个图形的面积为2，第（2）个图形的面积为8，第（3）个图形的面积为18，……，由第（10）个图形的面积为【 】 A．196 B．200 C．216 D．256 【变式3-1】（2024中考·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（2024中考·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料 根. 【变式3-3】（2024中考·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 考点二 整式及其运算 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称整式。 3.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【题型4 整式的相关概念】 【例4】（2024中考·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【变式4-1】（2024中考·上海·中考真题）计算： ． 【变式4-2】（2024中考·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（　　） A．x+1 B． C． D． 【变式4-3】（2024中考·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型5 整式的加减与幂的运算】 【例5】（2024中考·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024中考·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024中考·吉林·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024中考·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 整式的乘除】 【例6】（2024中考·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【变式6-1】（2024中考·山东青岛·中考真题）若，则p、q的值是（    ） A．2， B．， C．，8 D．2，8 【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【变式6-3】（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【题型7 乘法公式的应用】 【例7】（2024中考·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【变式7-1】（2024中考·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【变式7-2】（2024中考·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ． 【变式7-3】（2024中考·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【题型8 化简求值】 【例8】（2024中考·吉林·中考真题）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步） =a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） =2ab﹣b2 （第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 【变式8-1】（2024中考·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式8-2】（2024中考·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【变式8-3】（2024中考·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=． 【题型9 用图形面积验证乘法公式】 【例9】（2024中考·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①： 公式②： 公式③： 公式④： 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为． ①若E为边AC的中点，则的值为_______； ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【变式9-1】（2024中考·浙江衢州·中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【变式9-2】（2024中考·浙江金华·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【变式9-3】（2024中考·江苏常州·中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】：（1）如图，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：________； 【运用】：（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以（）个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． ①当，时，如图，　 　；当，　 　时，； ②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得　 　（用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 考点三 因式分解 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 2.因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 【题型10 提公因式法因式分解】 【例10】（2024中考·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【变式10-1】（2024中考·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ． 【变式10-2】（2024中考·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【变式10-3】（2024中考·青海西宁·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ． 【题型11 直接运用公式法因式分解】 【例11】（2024中考·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024中考·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【变式11-2】（2024中考·四川自贡·中考真题）把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）． A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 【变式11-3】（2024中考·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【题型12 提公因式后应用公式法因式分解】 【例12】（2024中考·四川绵阳·中考真题）把代数式分解因式，下列结果中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式12-1】（2024中考·江西南昌·中考真题）分解因式： ． 【变式12-2】（2024中考·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ． 【变式12-3】（2024中考·广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法. （1）二次项系数； （2）常数项 验算：“交叉相乘之和”； ；；； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ． 【题型13 因式分解的实际应用】 【例13】（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【变式13-1】（2024中考·陕西·中考真题）小颖说：“对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.”你同意他的说法吗？理由是什么？ 【变式13-2】（2024中考·浙江杭州·中考真题）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A） ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2=a2+b2 （C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 【变式13-3】（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如： 第1个数：． 第2个数：． 第3个数：． … (1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？ (2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”． 【新考向：新考法】 1．（2024中考·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 2．（2024中考·浙江杭州·中考真题）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是 （写一个即可）． 3．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ． 【新考向：新趋势】 1．（2024中考·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 2.（2024中考·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 3．（2024中考·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【新考向：新情境】 1．（2024中考·贵州安顺·中考真题）给出三个整式，和． (1)当，时，求的值； (2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 2．（2024中考·湖北宜昌·中考真题）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 3．（2024七年级上·江苏泰州·一模）天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式 ． 4．（2024中考·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 5．（2024中考·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【新考向：跨学科】 1．（2024中考·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    1．（2024中考·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024中考·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024中考·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024中考·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 5．（2024中考·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 6．（2024中考·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 7．（2024中考·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 8．（2024中考·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 9．（2024中考·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 10．（2024中考·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 11．（2024中考·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 12．（2024中考·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 13．（2024中考·辽宁沈阳·中考真题）已知x＋y＝3，x2＋y2－3xy＝4．求下列各式的值： (1)xy (2)x3y＋xy3 14．（2024中考·四川内江·中考真题）（1）填空：= ； = ； = ． （2）猜想：= （其中n为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算：． 15．（2024中考·浙江衢州·中考真题）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． 这个长方形的代数意义是____________________________ （2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，那么需用2号卡片　______张，3号卡片_________张． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$